CHAPITRE XI

Aliments de G^omirRiE descriptive.

801. Les problèmes résolus aux n** 489, 490 et 493 offrent un exemple de quesUons de Géomélrie dans l'espace résolues par des opérations graphiques effectuées sur un plan. On comprend sans peine l'avantage qull y aurait à ra- "**? ^"^ ■''*»* tous les problèmes qu'on peut se proposer sur les lignes et sur les surfaces à de simples questions de Géométrie plane susceptibles d'Otre résolues

GÊOMÊTaiE DAMS L'fiSPÂCE. *2M

avec la r^le et le compas. MaU, pour cela , il faudrait que les données du pro* blême pussent être elles-mêmes représentées sur un plan. Or, c'est à quoi Ton parvient à l'aide de la Méthode des projections, aussi nommée Géométrie descriptive.

Ce chapitre sera consacré à l'exposition succincie de celte méthode, en nous bornant toutefois aux problèmes relatifs à la ligne droite et au plan. Ce sera , pour ainsi dire, le complément de ce que nous avons déjà dit sur cette matière!

Stî. Pour fixer la position d'un point quelconque M (fig. 388) de l'espace on le rapporte à deux plans fixes , l'un XH hori2ontal , l'autre XV vertical dont Tintersection XY se nomme la ligne de terre, '

On abaisse du point M une perpendiculaire Mm sur le plan horizontal ; le pied m de cette perpendiculaire est la projection horizontale du point M. On abaisse de ce même point M une perpendiculaire Mm' sur le plan vertical; le pied m' de celte perpendiculaire est la projection verticale du point M,

Les plans XH et XV se nomment, pour celle raison , les plans de projection.

On suppose toujours le plan vertical XV raballu sur le plan horizontal XH en XV', en tournant autour de la ligne de terre XY comme charnière. On le redresse par la pensée quand on veut se rendre compte de la figure.

503. Les projections d'un même point de Vespace sont situées sur une même perpendiculaire à la ligne de terre (quand le plan vertical est rabattu).

En effet , soient M le point de l'espace, m et m' ses projections.

Suivant les droites Mm et Mm', conduisons un plan ; il coupera les plans de projection suivant les droites Om et Om'. Le plan MmOm', étant mené suivant Mm, sera perpendiculaire à XH (444); étant aussi mené suivant Mm', il sera perpendiculaire à XV. U sera donc perpendiculaire à la ligne de terre XY, intersection des plans XH et XV (443). 11 en résulte que les angles XOm et XOm' sont droits.

Imaginons maintenant que le plan vertical XV tourne autour de la ligne de terre comme charnière , jusqu'à ce qu'il vienne se rabattre sur le plan horizontal en XV', la droite Om', dans ce mouvement, ne cessant pas d'être perpendiculaire à XY, viendra se rabattre en Om", sur le prolongement de Om, qui est aussi perpendiculaire à XY.

Rekabque. L'angle mOm' mesure l'angle dièdre des plans de projection; or, cet angle est droit, puisque l'un de ces plans est horizontal et l'autre vertical* d'ailleurs, les angles MmO et Mm'O sont droits aussi. La figure MmOm' est donc un rectangle, et l'on a mO=Mm' elm'0=Mm, c'est-à-dire que mO exprime la distance du point M au plan vertical , et m'O sa distance au plan horizontal.

504. Deux points m et m", situés sur une même perpendiculaire à la ligne de terre, sont toujours les projections d*un même point de Vespace.

Rendons en effet au plan XV' sa position verticale XV; par les droites Om' et Om, conduisons un plan : ce plan sera perpendiculaire à la ligne de terre XY, puisque celle-ci est perpendiculaire à deux droites, Om' et Om, menées par son pied dans ce plan. Ce même plan sera aussi perpendiculaire aux plans de projection , puisqu'il est perpendiculaire à une ligne XY contenue dans ces plans (444, Coroll. I). Élevons par le point m une perpendiculaire mM au plan XH, elle sera tout entière dans le plan m'Om, perpendiculaire à XH (443, Coroll. 1). Élevons par le point m' une perpendiculaire à XV , elle sera tout entière dans le plan m'Om perpendiculaire à XV. Les droites mM et m'M étant dans un même plan , et perpendiculaires aux droites Om et Om' qui se coupent , se couperont elles-mêmes en un point M, qui sera celui dont les projections sont m et m'.

StS. La surface sur laquelle on opère est considérée comme le plan horizontal de projection ; et le plan vertical y est supposé rabattu.

On tire, dans le plan de la figure, de gauche à droite, une droite XY (fig. 389), pour représenter la ligne de terre : la partie du plan située au-dessous de

2b0 SECONDE PARTIE.

cette droite est plus parliculièrement destinée à représenter le plan horizontal» et celle qui est au-dessus à représenter le plan vertical. » Néanmoins, la portion du plan située au-dessous deXY représente aussi la partie du plan vertical qui est située au-dessous du plan horizontal , et la portion du plan située au-dessus de XY représente aussi la partie du plan horizontal qui est située en arrière du plan vertical. On verra qu'il ne peut jamais y avoir d'ambiguïté à cet égard.

Deux points, m et m', situés sur une même droite, mm', perpendiculaire à la ligne de terre, sont, comme nous venons de le voir, les projections d'un même point de l'espace , et ce point est situé sur la verticale du point m, à une distance du plan horizontal marquée par Om' ; ou bien encore sur une perpendiculaire au plan vertical , menée par le point m\ et à une distance de ce plan , exprimée par Om.

506. On désigne ordinairement par des lettres majuscules les points de l'espace ; par des minuscules analogues leurs projections horizontales , et par les mêmes minuscules accentuées leurs projections verticales. Ainsi , A et B désignant deux points dans l'espace , a et & désigneront leurs projections horizontales, a' et b' leurs projections verticales. Cette convention évite l'ambiguïté dont nous parlions tout à Theure.

Ainsi, a, a! (fig. 390), sont les projections d'un point situé au-dessus du plan horizontal et en aicani du plan vertical.

Les projections b, h\ sont celles d'un point situé au-dessus du plan horizontal et en arrière du plan vertical.

Les projections c, c', sont celles d'un point situé au-^dessous du plan horizontal et en arrière du plan vertical.

Les projections d, d!, sont celles d'un point situé ai^cssous du plan horizontal et en avant du plan vertical.

Lorsqu'un point est situé sur le plan horizontal de projection , sa projection verticale est située sur la ligne de terre, et sa projection horizontale n'est autre que le point lui-même. On peut la désigner alors par une lettre majuscule. (Voyez A, o', fig. 391.)

Lorsqu'un point est situé dans le plan vertical de projection, sa projection horizontale est située sur la ligne de terre, et sa projection verticale n'est autre que le point lui-même. On peut la désigner également par une lettre majuscule. (Voyez B, b, fig. 391.)

Lorsqu'un point est situé sur la ligne de terre , il est lui-même sa projection horizontale et sa projection verticale; on peut le désigner par une lettre majuscule. (Voyez C, fig. 391.)

Le problème suivant éclaircira ces notions générales.

507. Problème. Étant données les projections de deux points de V espace , trouver leur distance.

Soient A et B deux points de l'espace , dont les projections a, a', et b, b' (fig. 392) , sont données. Le point A est situé sur la verticale du point a , h une hauteur a'p ; le point B est situé sur la verticale du point b, h une hauteur b'q. Ces deux verticales déterminent un plan vertical qui coupe le plan horizontal de projection suivant la droite ab. Imaginons que ce plan vertical tourne autour de ah, comme charnière , jusqu'à venir se rabattre sur le plan horizontal ; la verticale du point a n'ayant point cessé , dans ce mouvement , d'être perpendiculaire à ab, viendra se rabattre suivant aA', perpendiculaire à ab, et si Ton prend ak'=:a'p\ le point A' sera le rabattement du point A. De même, la verticale du point b, n'ayant pas cessé d'être perpendiculaire à ah , viendra se rabattre suivant bB', perpendiculaire à ah ; et si l'on prend bB'= Vq, le point B' sera le rabattement du point B. Or, dans ce mouvement de rabattement , la dislance mutuelle des points A et B n'aura pas varié; celte disUnce n'est donc autre chose que A'B'.

On peut abréger la construction , en remarquant que si Ton mène A'N parallèle a ab, A'B' sera l'hypoténuse d'untriangle rectangle, ayant pour côtés A'N ou aby el FN ou la différence entre A'o et B^&, c'est-à-dire entre a'p et &'</. Menant donc par le point a' une parallèle a'n à la ligne de terre, prenant nd = ab, et joignant db\ ce sera la distance demandée; car les triangles db'n et A'B'N seront égaux.

568. Kous avons vu (430) que si, des différents points d'une droite on abaisse des perpendiculaires sur un plan donné, les pieds de ces perpendiculaires sont sur une même ligne droito, parce que toutes ces perpendiculaires sont dans un même plan qui ne peut couper le premier que suivant une ligne droite; en outre , ces deux plans sont perpendiculaires entre eux (444). 11 en résulte que les projections horizontales de tous les points d'une droite quelconque de l'espace sont sur une même droite , qui est l'intersection du plan horizontal de projection avec le plan mené par la droite donnée perpendiculairement à ce plan horizontal. Cette intersection se nomme en conséqueuce la fyrojecHon horixontale de la droite donnée.

De même , les projections verticales de tous les points de la droite donnée sont sur une même droite, qui est l'intersection du plan vertical de projection avec le plan mené par la droite donnée perpendiculairement à ce plan vertical. Cette intersection se nomme la projection verticale de la droite donnée.

Une droite peut, aussi bien qu'un point, se déduire de ses projections. Soient, par exemple , ab (fîg. 393) la projection horizontale , et a'I/ la projection verticale d'une droite. Imaginons , suivant ab , un plan vertical , et suivant a'b', un plan perpendiculaire au plan vertical de projection , l'intersection de ces deux plans sera la droite cherchée.

On donne le nom de plans projetants aux plans menés suivant une droite perpendiculairement aux plans de projection.

S09. Reharques. I. Lorsqu'une droite est horizontale, sa projection verticale est parallèle à la ligne de terre (flg. 394); car tous les points de la droite étant à égale distance du plan horizontal, tous les points de la projection verticale de cette droite sont à égale distance de la ligne de terre.

H. Par une raison semblable, lorsqu'une droite est parallèle au plan vertical, sa projection horizontale est parallèle à la ligne de terre (fig. 39ô).

Ilf. Lorsqu'une droiie est parallèle à la ligne de terre , ses deux projections sont parallèles à cette ligne (Gg. 396) ; car la droite dont il est question est alors parallèle à la fois aux deux plans de projection (420).

IV. Lorsqu'une droite est verticale , sa projection horizontale se réduit à un point, et sa projection verticale est perpendiculaire à la ligne de terre (fig. 397); car, 1" toutes les perpendiculaires abaissées des différents points de cette droite sur le pian horizontal, étant verticales, se confondent avec la droite elle-»niême ; 2" le plan qui projette la droite sur le plan vertical de projection est vertical, puisqu'il est mené par une verticale; son intersection avec le plan vertical de projection est donc une verticale (474), et par conséquent une perpendiculaire Il la ligne de terre , qui est horizontale.

V. Par des raisons analogues , lorsqu'une droite est perpendiculaire au plan yertical de projection, sa projection verticale se réduit à un point, et sa projection horizontale est perpendiculaire à la ligne de terre (fig. 398).

VI. Lorsqu'une droite est située dans le plan horizontal de projection, sa projection verticale est la ligne de terre , et sa projection horizontale est la droite elle-même (fig. 399).

VIL Lorsqu'une droite est située dans le plan vertical de projection, sa projeciioa horizontale est la ligne de terre , et sa projection verticale est la droite elJe-méoae (Og. 400).

Vin. Lorsqu'une droite est située dans un plan perpendiculaire à la ligne de

2b2 SECONDE PARTIE.

terre et, par ooAséquênt, aux deux plans de projection (44$, GoroH.), ses deux projections se confondent en une seule' et même droite perpendiculaire ^ la ligne de terre ( fig. 401 ) ; car les plans projetants ne sont autre chose , dans ce cas , que Je plan même qui contient la droite. Or, ce plan coupe les plans de projection suirant des droites perpendiculaires à la ligne de terre, lesquelles se placent sur le prolongement l'une de Tautre, quand le plan vertical de projection vient se rabattre sur le plan horizontal.

Dans ce cas, les projections de la droite ne suffisent plus pour la détermhier; car ces mèines projections appartiennent à toutes les droites menées dans le plan perpendiculaire à la ligne de terre qui contient la droite donnée ; et il devient nécessaire , pour particulariser celle-ci , de donner les points où elle perce les plans de projection , points que Ton nomme les traces de la droite.

510. Lorsque la droite n'a point cette position particulière , ses traces peuvent se déduire de ses projections.

Problème. Étant données les projections d'une droite, trouver ses traces.

Soient ab et a'h' (fig. 402) les projections d'une droite. Le plan qui projette la droite sur le plan horizontal , coupe celui-^ci suivant la pfrojeclion horizontale abc de la droite donnée? et il coupe le plan vertical de projection suivant une verticale, c'est-è^ire suivant une droite ccf perpendiculaire à la ligne de terre. La trace verticale de la droite donnée, c'est-à-dîre le point où elle perce le plan vertical de projection , ne peut se trouver que sur la ligne ce'; mais il fout aussi qu'elle se trouve sur la projection verticale a'b' de la droite donnée ; elle n'est donc autre chose que leur point de rencontre.

On voit, d'après cela, que pour obtenir la trace verUcale d'une droite, II faut prolonger sa projection horizontale jusqu'à la ligne de terre, et élever au point de rencontre uno perpendiculaire à cette ligne ; le point où cette perpendiculaire rencontre la projection verticale de la droite est la trace verttcsie cherchée.

On verrait de m6me que , pour obtenir la trace horizontale d'une droite , c'est-à-dire le point où elle perce le plan horizontal de projection, il faut prolonger sa projection verticale jusqu'à la ligne- de terre, et élever, au point de rencontre d', une perpendiculaire à cette ligne; le point d où celle perpendiculaire rencontre la projection horizontale ab de la droite est la trace horizontale cherchée.

Remarques. 1. 11 peut arriver que ed ne rencontre la projection verticale a'b' de la droite qu'au-dessous de la ligne de terre (fig. 40a). Cette circonstance indique que la droite perce le plan vertical de projection au-dessous du plan horizontal.

II. Il peut arriver également que dd' ne rencontre la projection horizontale ab de la droite qu'au-dessus de la ligne de terre (fig. 404). Cette circonstance indique que la droite perce le plan horizontal de projection en arrière du plan vertical.

III. Enfin les deux circonstances que nous venons de signaler pourraient se présenter à la fois, comme l'indique la figure 405.

CoKoLLATRE. Réciproquemcnt : connaissant les traces d'une droite, rien n'est plus facile que d'obtenir ses projections. Soient , par exemple , c' et d (flg. 402) ces deux traces; de ces points abaissons sur la ligne de terre les perpendiculaires c'c et dJ; joUnons cd et (fd\ Ce seront les projections cherchées.

SU. Problème. Etant données les projections de deux points, trouver ceUes dé la droite qui joint ces deux points.

Soient a,af eib,V {ûg» 400) les projections données. La projection horteontale de la droite clierchée, devant contenir les projections horizontales de tous set points, doit passer par a et b » et n'est, par conséquent, autre chose que la droite a^. Par une raison analogue, la projection verticale de 1» droite n'est autre chose que la droite aV, qui Joint les projections verticales dea deax points donnés.

GÉOMÉTBIfi DMS L'fiSPAGE. 2ft3

Sil. PnoBLfcac. Éiùnt donnëêt iBi projecHom d*Hne droite et eelleg d*un point, trouver lef projections d'une paralUk à la droite donnée, passant pat le point donné.

Il résulle du théorème du fl* 4S« que les projeetions horizontales de deux .droites parallèles sont parallèles entre elles. 11 en est de même de leurs projecUons tcrtlcales. SI donc ab et aV (fig. 407 ) sont les projections de la droite donnée, et e, c' celles du point donné) pour obtenir les projections de la parallèle demandée, Il euflît de mener par le point c une parallèle à ab, et par le point c' une parallèle à a'h^,

SIS. KcvARQOE. On reconnaît que deux droites sont parallèles lorsque leurs prolecttons sont parallèles Chacune à chacune.

Mais pour que deux droites se coupent, 11 faut non-seulement que leurs pro jections horiiontales se coupent , ainsi que leurs projections verticales , il faut encore que ces deux intersections puissent être les projections d'un même point, c'est-è-dire qu'elles soient situées sur une même perpendiculaire à la ligne de terre , comme l'indique la figure 408.

1144. On représente un pian par ses traces , c'est-à dire par ses intersections atec les plans de projection. Le point où ie plan rencontre la ligne de terre appartient évidemment è ses traces; ainsi les traces d'un plan concourent, en général , vers un même point de la ligne de terre. Ainsi les droiles ma et ma' (fig. 400) représentent un plan qui coupe le plan horizontal de projection sulrant ma , et le plan vertical suivant ma',

RenAikocES. 1. Lorsqu'un plan est vertical , sa trace verticale est perpendiculaire li la ligne de terre; car elle est Tintersection de deux plans Verticaux, et est , par conséquent, verticale (flg. 410).

H. Lorsqu'un plan est perpendiculaire au plan vertical de projection, sa trace horizontale est perpendiculaire è la ligne de terre ; car, étant l'intersection dé deux plans perpendiculaires au plan vertical de projection , elle est elle-même perpendiculaire à ce plan , et , par suite, à la ligne de terre qui passe par son pied dans ce plan (fig. 41 1).

III. Lorsqu'un plan est horizontal , il n'a point de trace horizontale , et sa trace verticale est parallèle è la ligne de terre (441).

IV. Par une raison analogue, lorsqu'un plan est parallèle au plan vertical de projection, Il n'a point de trace verticale, et sa trace horizontale est parallèle à la ligne de terre.

V. Lorsqu'un plan est parallèle )i la ligne de terre , ses traces sont aussi parallèles Il cette ligne (424).

\'I. Lorsqu'un plan est perpendiculaire à la ligne de terre , ses traces sont aussi perpendiculaires à cette ligne, puisqu'elles sont menées par son pied dans ce plan ; et comme elfes rencontrent la ligne de terre en un même point , elles se confondent en une seule et même droite (fig. 4i2).

"VH. Enfin, lorsqu'un pl^n passe par la ligne de terre, celte ligne est ^ la fois Tune et l'autre de ses deux traces; et pour déterminer le plan, il devient nécessaire de donner sa trace sur un troisième plan ; par exemple , sur un plan perpendiculaire li la ligne de terre.

141. PROBLÈflE. Étant données les projections de trois points, troUi)erles tfaces du pian qui passe par ces trois points.

Soient aet a', b et è\ c et e^ (fig. 413) les projections données de trois points A, B, C, de l'espace. Ck)nslruisons les projections des droites AB et BC (344)* cherchons les traces u, htii),h de ces deux droites ( SIO); tirons uv et hk -. ce seront les traces demandées. Car les droites AB elBC étant situées dans le plail cherché , puisque chacune d'elles f a deux points , les traces de ces droites sont situées sur les traces du plan qui les contient.

RfiMARQim 1. Les droites wo et kh prolongées iraient concourir en un même point de la ligne de terre.

2Uk SECONDE PABTIE.

Remarque H. Au lieu de déterminer le plan au moyen des deux droites AB e BC, on aurait pu employer les droites AC et BG, ou AB et AC; en sorte que le problème est susreplil)le de plusieurs vérincalions.

Remarque 111. S11 arrivait que l'une des traces u, i?» /» ou fe, Tût située hors du cadre de l'épure, c'est-à-dire, hors de la surface sur laquelle on opère, on pourrait prendre un point sar la droite AB, un autre sur BC, les joindre par une droite, qui , étant située dans le plan cherché , aurait aussi ses traces sur celles du plan cherché. Les traces de cette droite auxiliaire, dont on pourrait yarier la position à volonté , pourraient donc remplacer celles qui manquent.

Corollaire. On résoudrait de la môme manière le problème suivant : Étant données les projections de deux droites qui se coupent , trouver les traces du plan mené par ces devuc droites; ou encore celui-ci : Étant données les projections d'une droite et celles d*un point situé hors de cette droite , trouver les traces du plan déterminé par cette droite et ce point.

SI 6. Problème. Étant données les projections de deux droites parallèles , trouver les traces du plan mené par ces deux droites.

Soient ab, a'b' et cd, c'a! (Ilg. 414) les projections de deux droites parallèles. Cherchons leurs traces u, ^ et r. A: (SIO), et joignons uv et hk\ ce seront les traces demandées ; car on peut appliquer ici les raisonnements de tout à l'heure.

Remarque. On voit que les deux traces concourent en un même point m de la ligne de terre , comme cela doit être. Lorsqu'il arrive , comme dans la figure, que l'une des traces cherchées, uv par exemple, rencontre la ligne de terre dans le cadre de Vépure, pour déterminer l'autre trace, il suffît de joindre l'un des deux points fo ou fc au point m , pour obtenir la seconde trace cherchée.

Corollaire. La construction précédente s'appliquerait à la solution de ce problème : Étant données les projections d'une droite et d'un point , trouver les traces du plan mené par ce point et cette droite. Car, en menant par le poiut donné une parallèle à la droite donnée (812), on ramènerait le problème au cas précédent.

817. Problème. Étant données les traces de deux plans, trouver Us projections de leur intersection.

Soient ma^mb' et tia, nl'(fig. 415) les traces données. Les traces horizontales se coupent en un point a, qui appartient à la fois aux deux plans , et par conséquent à leur intersection. On en peut dire autant du point b' où se coupent les traces verticales. Les points a et b' sont donc les traces de l'intersection cherchée. Pour obtenir les projections demandées , il ne reste donc qu'à mener aa' et bb' perpendiculaires à la ligne de terre, et à joindre ab et a'b' (51d, Coroll.).

Si8. Remarque I. Si les traces horizontales me et nd (fig. 416) éUient parallèles, il faudrait en conclure que l'intersection de ces plans est elle-même parallèle à me et ^nd; car si , par le point b\ on menait une parallèle à me et à nd, elle serait contenue tout entière dans les deux plans donnés (424). Celte intersection étant donc horizontale, sa projection verticale sera une droite &V, parallèle à la ligne de terre. Pour obtenir sa projection horizontale , on remarquera que le plan vertical qui serait mené par l'intersection cherchée couperait , d'une part, le plan vertical de projection suivant une verticale, c'est-à-dire suivant une perpendiculaire bb'^ la ligne de terre , et, de l'autre, le plan horizontal de projection suivant une droite ba parallèle à l'intersection en quesUon (421), et par conséquent aussi à me et à nd.

On pourrait faire une remarque analogue si c'étaient les verticales md et net' (fig. 417) qui fussent parallèles.

SI 9. Remarque 11. La construction générale est également en défaut quand les deux plans donnés sont parallèles à la ligne de terre.

Soient ma et m'o' (fig. 418) les traces d'un plan parallèle k la ligne de terre ; na et n a' celles d'un second plan parallèle à cette ligne. Leur interseclion sent

GÉOMÉTRIE DAMS L'ESPACE. 2A5

elie-mème parallèle à la ligne de terre : il suffit donc d'obtenir les projections de l'un de ses points. Pour cela , coupons les deux plans proposés par un plan auxiliaire wfon perpendiculaire à XY, et rabattons ce plan auxiliaire sur le plan vertical en le faisant tourner autour de sa trace verticale (Xm. Les points m et n où la trace horizontale du plan auxiliaire rencontre les traces ma et nb , viendront se placer en m" et n", en décrivant des arcs de cercle dont le centre est en 0. Les points m' et n' où la trace verticale du plan auxiliaire rencontre les traces m'a' et n'b' n'auront pas changé de place. La droite m'm", sera donc le raballement de celle qui , dans l'espace , va du point m' au point m, c'est-à-dire, le rabattement de Tintersection du plan auxiliaire avec le plan ma , m'a'. De même , la droite nV sera le rabattement de l'intersection du plan auxiliaire avec le plan nb, n'b'. Le point P où ces dernières droites se coupent sera donc le rabattement d'un point commun aux deux plans proposés. Abaissons Pp' perpendiculaire à Om'et Pp* perpendiculaire à XY. Si l'on ramène le plan auxiliair dans sa position primitive , le point ^ viendra se placer en p , en décrivant un arc de cercle dont le centre est en 0; et ce point p sera la projection horizontale du point P remis en place. D'ailleurs , dans ce mouvement , la hauteur du point P au-dessus du plan horizontal n'aura pas changé, et la droite Pp'sera devenue perpendiculaire au plan vertical; le point p' sera donc la projection verticale du point P remis en place.

Par les points p et p menons pq et pY parallèles à la ligne de terre ; ce seront les projections de l'intersection demandée.

S2d. La construction générale est encore en défaut quand les deux plans proposés passent par un mime point de la ligne de terre. Dans ce cas, on peut appliquer la méthode du numéro précédent , ou bien recourir à la suivante , qu'il est utile de connaître.

Soient oa, oa' et ob, ob' (flg. 419), les traces de deux plans qui passent par un même point 0 de la ligne de terre. Concevons le plan horizontal de projection transporté parallèlement à lui-même , et soit XT la nouvelle ligne de terre. Le plan vertical n'ayant pas changé , les traces verticales des deux plans proposés resteront les mêmes; prolongeons-les, l'une a'o jusqu'en n, l'autre b'o jusqu'en m. Quant aux nouvelles traces horizontales des deux plans , elles seront évidemment parallèles aux anciennes (448), et passeront (S14), l'une ne par le point n, l'autre me par le point m.

Dans cette nouvelle position, la construction générale sera applicable; soient og, et Cp les projections de l'intersection.

Si maintenant l'on revient du second système de plans de projection au premier, le plan vertical étant le même , la projection verticale oq de l'intersection cherchée sera aussi la même ; prolongeons-la en od'. Quant à la projection horizontale de cette intersection , elle doit évidemment être parallèle à pc (448) ; et, de plus, elle doit passer par le point o, puisque ce point, commun aux deux plans proposés, appartient à leur intersection, et qu'étant d'ailleurs situé sur la ligne de terre , il est lui-même sa projection horizontale.

Par le point o menons donc od, parallèle à pc; les droites od et od' seront les projections de rinterseclion demandée.

521. Problème. Étant donnée la projection horixontale d'une droite contenue dans un plan, ainsi que les traces de ce plan, trouver la projection verticale de la droite.

Soit ab (fig. 420) la projection horizontale d'une droite contenue dans le plan dont les traces sont me et me'. Si par le point a on élève aa' perpendiculaire à la ligne de terre, ah etoo' seront les traces d'un plan vertical mené suivant ab, et qui, par conséquent, contient la droite dont ab est la projection horizontale. Or, cette droite est, par supposition, contenue dans le plan donné; elle est donc rintersection des plans cm(f et baa'. 11 en résulte immédiatement que

266 8EG0NDB PAHTIB.

ses traces sont a! et h, et que si Ton mène hV perpendiculaire » U tifBe de terre, et qu'on Joigne a'V^ cette droite sera la projeclion verticale oberrhée (MO. Coroll.),

Remarque. On emploierait une construction analogue si la droite n'était ëé^ terminée que par sa projection verticale.

CoRouAiRE. ta conslruolion qui précède servirait à résoudre le problème suivant ; tiant données Ut traces mc et ma' d'un plan, et la projection honxontaîe d d'un point D de ce plan, trouver sa projection verticale. Far le point d menez une droite quelconque ab, que vous pouves considérer oomme la projection liorizoutaie d'une droite menée par le point D dans le plan emc^. Déle^ minez, comme ci^-dessus, la projection verticale aV de cette droite; cette projection a'h' devra contenir la projection verticale du point D; celle dernière se trouvera donc à l'intersection (f de la droite a'b'avec la perpeodicuJaJre à la ligne de terre menée par le point d.

522. PRORtÈME. Étant données les projections d'une droite ei Us traceâ d'un plan, trouver les projections du point où la droite rencontre le pl«n.

Soient ab et aV(flg. 4)1] les projections de la droite donnée, md et m^ les traces du plan donné. Par la projection horiiontale ab de la droite, imaginons qu'on élève un plan vertical; ce plan contiendra la droite. Il coupera, en outre , le plan donné suivant une droite dont les prqjections , conilruiles d'après le problème précédent, seront cdet c'd'. Mais la droite AB (celle dont les projections sont ab et aV) , qui est contenue dans le plan c'cd , ne peut rencontrer le plan donné dmd qu'en un point de l'inlergecUon CD de ces plans. La projection verticale du point ctierché doit donc être l'intersection o^ des projections verticales c'd' et a'b' des droites CD et AB. Pour obtenir ensuite la projection horizontale de ce point , ou n'a plus qu'à abaisser du point o' une perpeudiculalre sur la ligne de terre, et à la prolonger jusqu'à la rencontre en o de la projection horizontale cd ou ah commune aux deux droites.

Reharque. Cette construction cesse d'être applicable quand la droite donnée est verticale, parce que sa projection horizontale se réduit alors a un point; mais il se présente , dans ce cas, une construction plus simple.

Soient me et mcf (flg, 422) les traces du plan donné , a la projection horizontale de la droite donnée , et ha' sa projection verticale (a et ha' sont situées sur une môme perpendiculaire à la ligue de terre). On mène ab parallèle à la trace horizontale du plan donné, et bb' perpendiculaire à la ligne de terre. Ces deux droites sont les traces d'un plan vertical qui contient la droite donnée , et qui est parallèle à cm, puisqu'il contient une parallèle à celle ligne. Ce plan eoupe donc le plan donne suivant une parallèle à cm (424), c'est-à-dire suivant une horiiontale. Celte intersection paflse d'ailleurs par le point h'; sa projection verticale est donc une droite b'a* parallèle à la ligne de terre. Le point cherché, étant contenu dans les deux plans c'mc et h'ba , apparllent à leur IntersecUon. Mais II appartient aussi à la droite donnée; sa projection verticale est donc le point de rencontre des droites b'a et a'h\ et , quant à sa projection horizontale, elle n'est autre que le point a, puisque la droite est verticale.

Corollaire. La construction que nous venons d'exposer est ordinairement celle que l'on emploie pour résoudre ce problème déjà traité plus haut : Étant données la projection horiMontaU d'un point et les traces d'un plan où ce point eet contenu, trouver sa projection verticale.

On emploierait une construction analogue si le point n'était donné que par aa projection vertic«ale.

523. Prorlèmb. Étant données les projections d'un point et les traces d'un plan, trouver Us projeaions d'une perpendiculaire à ce plan, passant par le point donné.

Soient ma, ma' (flg. 423), les traces du plan donné, et b, b' les projections du point donné, &i par la droite cherchée on imaginait un plan vertical » ce

GËOUÉTRIE DANS L'eSPâGE. 2/^7

plan serait à la fois perpendiculaire au plan horixonlal de projection et au plan donné a'ma (444). II serait donc perpendiculaire à leur intersection ma (44S). n en résulte que ma est perpendiculaire à toutes les droites menées par son pied dans le plan vertical de la droite cherchée, et en particulier à la projeo* lion horizontale de cette droite. Pour obtenir cette projection, il suffit dono de mener par le point h une perpendiculaire à la trace horizontale ma du plan donné.

On prouverait de même que , pour obtenir la projection verticale de la droite cherchée , il faut , par le point b\ mener une perpendiculaire à la trace verticale ma du plan donné.

%Vi. Corollaire. A l'aide de la construction du n" S23, on pourrait trouver les projections du point où la perpendiculaire perce le plan donné ; et , par la construction du n*" S07, on obtiendrait la longueur de cette perpendiculaire i c'est-à-dire la distance du point donné au plan donné. Mais ce problème se résout plus élégamment de la manière suivante. Soient me et me' [fig. 424) les traces du plan donné, a et a' les projections du point donné. Menons ao perpendiculaire à me , et oh' perpendiculaire à XY t ce seront les traces d*un plan vertical perpendiculaire à me , par suite au plan donné, et qui contiendra la perpendiculaire cherchée. Rabattons ce plan auxiliaire sur le plan vertical, en le faisant tourner autour de oh'. Les points a et b viendront en a" et h", en décrivant des arcs de cercle ayant leur centre en o; la droite h'b" sera le rabattement de Tintersection du plan auxiliaire et du plan donné. Le point donné viendra se placer en A, sur la verticale de a", à une distance égale a a'h. Abaissons AP perpendiculaire sur &7)''; ce sera le rabattement de la perpendiculaire demandée, et Ton aura ainsi sa véritable longueur.

Si Ton veut avoir les projections du pied de la perpendiculaire , on abaissera Pp" perpendiculaire sur XY, on ramènera p" en p , par un arc de cercle décrit du point o; le point p sera la projection horizontale du pied de la perpendiculaire-, sa projection verllcale sera à rintersecUon p' des droites pp' perpendiculaire à XY, et Pp' parallèle à XY.

Comme vérification, si Von joint a'p', cette droite, qui n'est autre que la projection verticale de la perpendiculaire , devra être perpendiculaire à la trace verticale mcf du plan donné.

S2S. Projblèji£. Étant données les projections d'un point et les traces d'un plan, trouver les traces d*un plan parallèle au pramtet- et passant par U point donne'.

Lorsque deux plans sont parallèles, leurs traces sont également parallèles; cela résulte du théorème du n" 448.

Soient mb, mh' (iig. 435), les traces du plan donné, a, a', les projections du point donné. Par ce point donné, imaginons qu'on mène, dans le plan cherché, une parallèle à la trace horizontale mb du plan donné ; cette droite sera parai*lèle au plan horizontal de projection (420), et, par conséquent, sa projection horizontale sera une droite ac parallèle à mZ» (431 ) , et sa projection verticale sera une droite a''cf parallèle à la ligne de terre. Sa trace verticale sera donc Hntersection V de la droite aV avec la verticale ce' (KiO). Cette trace c', appartenant à une droite menée dans le plan cherché , appartient évidemment à la trace verticale de ce plan. Pour obtenir les traces du plan cherché, il faut donc» par le point cf mener nd', parallèle à mh', et, par le point n, mener ensuite n«' parallèle à m&.

Remarque. Si le point d se trouvait sur la trace mb' du plan donné, on en conclurait que la droite AC est dans le plan donné, et que, par conséquent, le point donné est aussi dans ce plan.

On pourrait se servir de ce moyen pour reconnaître si un point dont les projections sont données appartient à un plan dont on a les traces.

526. ProbUeme. Étant données les projections de deux droites, trouver les traces d'un plan qui passe par Vune de ces droites, et qui soit parallèle à Vautre,

Par un point de Tune des deux droites (ses projections doivent être situées sur une même perpendiculaire li la ligne de terre), menez une parallèle à l'autre (S42) ; suivant cette parallèle et la première droite, faites passer un plan (SIS, GoroU.) : ce sera le plan demandé (420).

527. Problème. Étant données les projections d'un point et celles d'une droite, trouver les traces d'un plan perpendiculaire à cette droite, et qui passe par le point donné.

Par un point quelconque de la ligne de terre, menez des perpendiculaires aux projections de la droite donnée : ce seront les traces d'un plan perpendiculaire à cette droite (S23). 11 ne restera plus qu'à mener par le point donné un plan parallèle au premier (S2S).

528. Problème. Étant données les projections d'une droite et les traces if un plan, trouver les traces d'un plan qui pcuse par la droite donnée, et soit perpendiculaire au plan donné.

D'un point pris sur la droite donnée (ses projections doivent être situées sur une même perpendiculaire à la ligne de terre) , abaissez une perpendiculaire sur le plan donné (S23). Par cette perpendiculaire et par la droite donnée, faites passer un plan (SIS, CorolL); ce sera le plan demandé, puisqu'il contiendra la droite donnée et une perpendiculsTtre au plan donné (444).

529. Problème. Étant données les traces de deux plans et les projections d'un point, trouver les traces d'un plan perpendiculaire aux deux plans donnés, et qui passe par le point donné.

Cherchez l'intersection des deux plans donnés (817); par le oolnt donné, menez un plan perpendiculaire à cette intersection (S27); ce serale plan demandé (44S,Coroll.).

530. Problème. Étant données les projections de deux droites qui se coupent, déterminer Vangle de ces deux droites.

Soient db , a'h' et cd, dâ! (fig. 426) , les projections des deux droites ; o, o' les projections de leur point commun , que nous nommerons 0 ; a et d leurs traces horizontales. La droite ad sera la trace horizontale du plan des deux droites.

Abaissons op perpendiculaire sur ad. Si l'on joignait par une droite les points 0 et p. cette droite serait aussi perpendiculaire à ad (443). Imaginons qu'on rabatte le plan des deux droites sur le plan horizontal , en le faisant tourner autour de ad ; la droite, qui va du point 0 au point p, viendra se placer suivant le prolongement de op ; et le point 0 lui-même se trouvera rabattu sur ce prolongement à une distance du point p , égale à l'hypoténuse d'un triangle rectangle, dont un côté de l'angle droit est op, et dont l'autre est la perpendiculaire ab9issée du point 0 sur le plan horizontal, laquelle est égale \ o'm. Prenons donc mn égal à op ; joignons o'n\ prenons pO égal à o'n; le point 0 sera le rabattement du point commun aux deux droites. Joignant Oa etOd. nous aurons les rabattements de ces droites elles-mêmes ; et l'angle aOd sera l'angle demande.

Remarques. I. Si l'une des deux droites était horizontale, la droite cd, c'd\ par exemple (Qg. 427) , elle n'aurait pas de trace horizontale. Mais on remarquerait alors que la trace horizontale du plan des deux droites serait une droite adP parallèle à la droite horizontale donnée, et, par conséquent, à sa projection cd, et qu'ainsi, après avoir rabattu le point 0, comme ci-dessus, on aurait le rabattement de la droite horizontale donnée , en menant OD parallèle k aâT.

11. Si les deux droites données étaient dans un plan perpendiculaire k la ligne de terre, la construction se simplifierait. Car utih (fig. 428) étant alors les traces données de l'une des deux droites, i? et fc cçliçs d« l'autre, pour ra-

baUre ces droites sur le plan horizontal, on n'aurait qu'à décrire , du point m eonme centre, les arcs uu' et w', et à joindre u'h et v'k. Ces droites feraient entre eUes Vangle demandé.

S3l. Pkoblème. Étant données les traces de deux plans, déterminer Vangle dièdre de ces plans.

Par un point quelconque ( dont on se donne les projections ] menez des per pendiculaires aux deux plans donnés (823) ; chcrciiez Tangle de ces perpendiculaires (S3d) : ce sera le supplément de Tangle demandé.

Mais on emploie de préférence , pour résoudre ce problème , la construction directe , que nous allons faire connaître.

Soient amb' et anV (fig. 429) les deux plans donnés; ab, a'h' les projections de leur intersection (517). Concevons que l'on mène un plan perpendiculaire à cette intersection : sa trace horizontale sera une droite cd perpendiculaire à ab; et il coupera les deux plans proposés suivant deux droites qui feront entre elles l'angle demandé , ou du moins celui qui lui sert de mesure. Désignons par 1 le sommet de cet angle ; ses c6tés forment avec cd un triangle qu'il s'agit de rabattre autour de cd sur le plan horizontal. ^ Or , la droite qui joint les points 1 et h est perpendiculaire à cd, puisqu'elle est dans un plan vertical abb\ auquel l'horizontale cd est perpendiculaire. La même droite est aussi perpendiculaire à l'intersection des deux plans proposés, puisqu'elle est dans le plan mené perpendiculairement à celte intersection. 11 en résulte : l* que , dans le rabattement autour de cd, la droite, qui joint les points 1 et /i , viendra se placer suivant hb ; 2" que si l'on fait tourner le plan abV autour de hb' jusqu'à le rabattre sur le plan vertical ( les points heia venant se placer en H et en A), la droite Hl', abaissée perpendiculairement sur 5'A , sera la vraie distance des points h et L

Si donc on prend ih±z VU , le point t sera le rabattement du point 1 ; et si Ton joint te et id, l'angle cid sera l'angle demandé.

532. Problème. Étant données les projections de deux droites parallèles , trou^ver la distance de ces droites.

Si l'on rabat le plan des deux droites données sur le plan horizontal , ces deux droites demeureront parallèles dans le rabattement , et leur distance ne Tariera pas.

Soient donc ab,a'V (fig. 430) et cd, c'd! les projections des deux parallèles données, a et c leurs traces horizontales: ac sera la trace horizontale du plan des deux droites ; et c'est autour de ac qu'il faut faire tourner ce plan pour le rabattre. Soient V la trace verticale de la première droite ; abaissons bm perpendiculaire sur ac; prenons bnz=:hm', et joignons b'n. Dans le rabattement, le point b' décrit un cercte dont le centre est le point m, pied de la perpendiculaire abaissée du point b' sur ac (413) ; et son rayon est égal à b'n , hypoténuse du triangle qui a pour côtés de l'angle droit bb', et bm ou son égal bn. Le point y viendra donc se rabattre en B sur le prolongement de &m , à une distance mB égale à b'n. Joignons aB, ce sera le rabattement de la première droite; menons cD, parallèle à aB; ce sera le rabattement de la seconde; et leur perpendiculaire commune pq sera la dislance demandée.

Remarqoes. 1. A défaut des traces horizontales des deux droites données, on pourrait employer leurs traces verticales; on opérerait alors le rabattement sur le plan vertical.

IL Lorsque les droites données sont parallèles à la ligne de terre, comme ah, a'b' et cd, et c'd' (flg. 431) , on mène un plan perpendiculaire commun aux deux droites, et par suite à la ligne de terre; soit qOq' ce plan. Les points p elp' seront les projections de Tinterseclion de ce plan avec la droite AB, et les points ^ et ^ seront les projections de son intersection avec la droite CD. Si Ton rabat le pian auxiliaire sur le plan vertical, en le faisant tourner autour

de Og', les deux poinU dont nous venons de parler viendront se placw re^^fe* Uvement en P et en Q : l'un sur a'b', à une disUnce i)'P=0p''=0p; l'avare sur c'cf, à une dislance q'Q=0q' = 0q. La droile PQ est donc la dislance demandée; car celle droite, avant le rabaUenient, joignait les pieds des deux parallèles données dans le plan auxiliaire, el élail, par conséquent, une perpendiculaire commune à ces deux parallèles.

533. Problème. Étant données les traces de deux plans parallèles, trouver la distance de ces plans.

Soient ama' et hnh' (flg. 432) les traces des deux plans donnés. Menez ao perpendiculaire à ma cl oa' perpendiculaire à XY ; ce seront les traces d'un plan vertical perpendiculaire aux deux plans donnés j car il est perpendiculaire aux horizontales am et hn contenues dans ces plans (444, Coroll. 1). Prenez oaf = oa, oh'^ob, joignez a'c^ et b'b'; ces droites seront les rabattements des Inlerseclions du plan auxiliaire avec chacun des deux plans parallèles donnés. Ces droites seront parallèles; et leur perpendiculaire commune pq sera la dislance demandée j car celte droite pq, dans le plan auxiliaire non rabattu , serait une perpendiculaire commune aux deux plans donnés (443).

Remarques. I. Si les deux plans parallèles donnés étaient verticaux, leurs distances seraient celles de leurs traces horizontales.

Pareillement, si ces deux plans parallèles donnés étaient perpendiculaires au

plan vertical de projeclion , leur dislance serait celle de leurs traces verticales^

II. La construction générale est applicable au cas où les deux plans paral.-

lèles donnés seraient parallèles à la ligne de terre. Le plan auxiliaire doit être

alors perpendiculaire à cette ligne.

S34. Problème. Étant données les projections de deux droites non situées dans un même plan, construire la plus courts distancé de ces dattx droites.

On peut d'abord résoudre ce problème par la méthode indiquée au n* 497. Pour cela, on mènera par un poinl E (Gg. 33a) de Tune des deux droites CD une parallèle FGà l'autre AB; c'est le problème du n" 5i2. Par les deux droites CD et FG , on mènera un plan MN; c'est le problème du n" 545 (Coroll.). D'un point H pris sur la droile AB, on abaissera une perpendiculaire sur le plan MN ; c'est le problème du n» 523. On cherchera le pied 1 de cette perpendiculaire ; c'est le problème du n" S22. Par ce poinl 1 on mènera une parallèle a AB (512), Par le poinl de renconlre L de celle parallèle avec CD, on mènera une parallèle LP à IH. Enfin, on déterminera la longueur de la droite IP; c'esl le problème du n* 807.

Nous engageons le lecleur à tracer cette épure , qui exige quelques soins. Mais nous indiquerons une autre méthode plus facile à retenir.

Elle consiste à mener, comme ci-dessus, par un point E de Tune des deux droites CD une parallèle FG à l'autre AB, et à conduire un plan MN par les droites CD et FG. Cela fait, par chacune des droites données AB et CD, on mène un plan perpendiculaire à MN : l'inlersection des deux plans ainsi menés est précisément la droite PL,- car ces deux plans ne sont autre chose que les plans PLD et PHIL. L'épure présente d'ailleurs de nombreuses simplifications , comme on va le voir.

Soient ab, a'b' (fig. 433) et cd, cfd' les projections des deux droites données/ a et b' les traces de la première, heic^ celles de la seconde. Au lieu de prend» «^ un point quelconque sur la droite AB , prenons celui dont les projections sont e el e'. Menons, par le point e', la droile fd" parallèle à c'd'; les droites cd et Td" seront les projections d'une parallèle à CD; le i)oint /"sera sa trace horizontale; et si l'on joint af, puis ob', on aura les traces ofe et ofc' d'un plan parallèle k CD et contenant AB. (C'esl le plan MN de la fig. 333.) Par le point c, e' menons la droite el, ^V perpendiculaire au plan IkoM (523), et joignons sa trace horizontale l au point a par une droite oX , qui sera la trace horizontale d'un

GÊOMÊTnU DAMS L'B&PACE. 251

plan per^dnaieulaire à ^k»V, et passant par la droite AB. Par If point e, tf, me-» Qont la droite el, efm' parallèle à el, e'V-, et joignons sa trace horizontale m au point h par une dfoite mh, qui sera la trace horizontale d'un plan perpendiculaire à kol^, et passant par la droite CD. L'intersection t des traces horizontales ai et mh de ces deux plans sera la trace horizontale de la droite cherchée. Menons donc tn parallèle à el , U' perpendiculaire à la ligne de terre , et i'n parallèle h eT, nous aurons les projections de la droite demandée. Elle rencontre la droite AB au point p, p\ et la droite U) au point q, q'. Construisons la distance PQ de ces deux points (507); ce sera la dislance demandée.

Rbharoub L La constraction se simplifie quand les projectioni horiiontales al», cd (Hg. 434) des deux droites données sont parallèles.

En eCTet , si par un point de la droite AB on menait une parallèle à CD , le plan de cette parallèle et de la droite ABne serait autre que le plan vertical a&b'. Cela posé , si par la trace horizontale a de la droite AB on mène ao perpendiculaire a ab , et qu'on Joigne le point o à la trace verticale h' de la droite AB , on aura les iraoes oa et ob' d'un plan contenant AB et perpendiculaire au plan dbh' , puisqu'il contient l'horizontale oa perpendiculaire à ce plan. Par des raisons analogues, si, par la trace horizontale d de la droite CD on mène du perpendiculaire ^ ab, ei qu'on joigne le point u à la trace verticale h' de la droite CD, on aura les traces ud et uv d'un plan contenant CD et perpendicit* lalre à abb\ L'intersection de ces deux plans est une horizontale iq , i'q\ qui s'obtient par la méthode indiquée au n" Si 8. Cette horizontale rencontre la droite AB au point p , p' et la droite CD au point 9 , g\ La dislance de ces deux points n'est autre que fq lui-même; car cette distance, étant comptée sur une horizontale, se projette en vraie grandeur sur le plan horizontal.

Une simpiiflcalion analogue aurait lieu si c'étaient les projjections verticales des droites données qui fussent parallèles.

Remarque II. Considérons encore le cas où l'une des droites données, ab, aV (fig. 436) , serait parallèle li la ligne de terre, et où l'autre droite , donnée par ses traces u et v, serait dans un plan perpendiculaire à la ligne de terre, et dont les traces sont ou et ov perpendiculaires a XY. Ce plan sera rencontré par la droite AB en un point dont les projections sont p et p'. Uabaltons ce plan sur le plan vertical; le point dont nous parlons viendra en P, el la droite dont les traces sont u et v se placera suivant tu'. Du point P abaissons PQ perpendicu^ lâtre sur va'; ee sera le rabattement de la "distance cherchée; car, si l'on ramène le plan rabattu dans sa position primitive , PQ sera perpendiculaire ^ la fois à ru et à AB.

La figure indique siilfîsamment comment on obtiendra les projections q et q' du point Q, bupposé ramené dans sa position verticale.