CHAPITRE xn

IMBS fiUBFAC» COURBES Blf GESléaAJL, ET DBS SVBPACES GTLMDBIQinBS ET CONIQUES EN PARTICULIER.

tSSS. Si l'on imagine qu'une ligne , droite ou courbe, se meuve d'un mouvement continu quelconque dans Teapace , dans toutee ses positions successives, elle appartiendra à ime même surface que Toa pourra considérer comme engendrée par son mouvement.

Toutes les surfaces que la Géométrie considère peuvent être ainsi engendrées par une ligne qui prend le nom de génératrice; et c'est leur mode de génération qui sert à les classer et à les définir.

Parmi celles qu'il est le plus utile de connaître , on distingue les surfaces réglées et les surfaces de révolution.

On nomme surfaces réglées celles qui sont engendrées par le mouvement d'une ligne droite.

Les surfaces de révolution sont engendrées par une ligne, droite ou courbe, qui se meut autour d'une droite fixe nommée axe, de telle sorte que chaque point de la génératrice décrit un cercle dont le plan est perpendiculaire à l'axe, et qui a son centre sur cet axe : telles sont les surfaces produites par le tour. D'après la nature même de ces surfaces , tout plan qui les coupe perpendiculairement à l'axe donne pour intersection une circonférence de cercle.

Les surfaces réglées se distinguent les unes des autres par le mouvement de la génératrice.

Si la génératrice reste constamment parallèle à elle-même, et est , en outre , assujettie à rencontrer dans toutes ses positions une courbe fixe appelée directrice, on a ce -qu'on appelle une surface cylindrique.

Si la génératrice passe constamment par un point fixe, et est assujettie à rencontrer dans toutes ses positions une même directrice, on a ce qu'on appelle une surface conique.

Le point fixe par lequel passe alors constamment la génératrice prend le nom de sommet de la surface conique.

Les surfaces de révolution se subdivisent d'après la nature de la génératrice.

Si la génératrice est une droite parallèle à l'axe de révolution , on a une surface cylindrique de révolution.

Si la génératrice est une droite qui coupe l'axe, on a une surface conique de révolution.

Si la génératrice est une circonférence de cercle assujettie à tourner autour d'un même diamètre, on a ce qu'on appelle une surface spAérique, ou par abréviation une spfière.

Ces trois dernières surfaces sont les seules surfaces courbes que Ton considère dans la Géométrie élémentaire.

Remarque. On se sert souvent du mot génératrices au pluriel , pour désigner les différentes positions successives que peut prendre la génératrice d'une surface courbe.

On dit en ce sens, par exemple, que toutes les génératrices d'une surface cylindrique sont parallèles ; que toutes les génératrices d'une surface conique passent par le sommet; et ainsi de suite.

536. Nous avons dit (5) qu'une surface courbe peut être considéra comme une surface brisée composée d'une infinité de faces

GÉOMÉTRIE DANS L'fSPACE. 25S

planes infiniment petites. Chacune de ces faces planes infiniment petites est ce qu'on nomme un élément de la surface courbe. Si Von prolonge par la pensée cet élément dans tous les sens , on obtient un plan qui n'a, en général, avec la surface courbe, que ce seul élément commun. Un plan qui a , avec une surface courbe , un élément commun, est dit tangent à cette surface, et réciproquement la surface est dite tangente au plan.

S57. Soit M (fig. 436) un élément de surface courbe, réduit sensiblement à un point ; et soit acbd cet élément prolongé , c'està-dire le plan tangent au point M. Faisons passer par le point M un plan qui coupera la surface suivant une courbe ÂMB, et le plan tangent suivant une droite ab. La courbe ÂMB et la droite ab^ situées dans un même plan , n'auront de commun que le point M (du moins dans le voisinage de ce point); car si elles avaient un second point commun , ce point appartiendrait à la fois à la surface et au plan tangent, ce qui est contraire à la supposition. La droite ab sera donc tangente à la courbe AMB. Faisons passer par le point M un second plan qui coupera la surface suivant une courbe CMD et le plan tangent suivant une droite cd] on prouvera de la même manière que cd est tangent à la courbe CMD. On pourrait évidemment répéter le même raisonnement pour toutes les sections que l'on pourrait faire par un plan passant au point M. Le plan tangent acbd contient donc toutes les tangentes qu'on peut mener par le point M aux différentes courbes qu'on obtient en coupant la surface par un plan passant en ce point. Et comme il sufRt de deux droites pour déterminer la position d'un plan , on voit que , pour obtenir le plan tangent en un point d'une surface courbe, il suffit de faire passer deux plans par ce point, de mener par ce même point, dans chacun de ces plans, une tangente à la courbe d'intersection, et de conduire un plan suivant ces deux tangentes,

S38. Lorsque les deux surfaces courbes se rencontrent, il peut arriver que la section soit une ligne droite, ou une courbe plane. Mais le plus généralement , la section est une courbe qui ne saurait être comprise dans aucun plan ; ces sortes de lignes prennent le nom de courbes à double courbure. Telle est, par exemple, la courbe , nommée hélice, que forme le bord d'un filet de vis.

Une ligne quelconque, située comme on voudra dans Tespace, peut toujours être regardée comme rinterseclion de deux surfaces; et c'est en général sous ce poinl de vue que les lignes courbes se présentent dans les applications.

Des surfaces cylindriques de révolution.

iW». Une surface cylindrique de révolution est engendrée, ainsi que nous l'avons dit, par une droite AA' (fig. 437) tournant autour d'un axe 00" qui lui est parallèle , en conservant sa distance à cet axe.

26U BECOl«t>E PAHTIE.

81 d'un point quelconque A de la génératrice on abaîêW feUt VMe une perpendiculaire AO, cette droite, dans le mouvement de rotation , ne cessant pas d'être perpendiculaire à 00', engendrera nu plan perpendiculaire à cet axe (509, Coroll.); et le point A décrira une circonférence dont AO sera le rayon et 0 le centre.

Réciproquement :

540. Théorème. Toute section d'une surface cylindrique de révolution par un plan perpendiculaire à Vaxe êst une circonférence de cercle, qui a son centre sur cet aXe.

Soient en effet ABC (fig. 437) la courbe d'intersection, et Ole poin où son plan rencontre l'axe. Prenons des points quelconques A, B, C, sur cette courbe , et joignons AO, BO, CO. Ces droites seront perpendiculaires à Taxe , puisqu'elles sont menées par son pied dans un plan qui lui est perpendiculaire. Elles sont donc aussi perpendiculaires aux génératrices respectives AA', BB', CC\ et mesurent les distances de ces génératrices à Taxe ; et comme ces distances sont égales d'après la définition de la surface , il en est de même des droites AO, BO, CO. Donc les poinU A, B, C, sont à égale dislance du point 0 ; ainsi la courbe d'intersection est une circonférence de cercle qui a son centre au point 0.

Corollaire. Deux sections perpendiculaires à l'axe, tellea que ABC, A'B'C, sont des circonférences égales, puisqu'elle» ont pour rayon la distance constante des génératrices à l'axe.

84 i. On peut conceroirune surface cylindrique de révolution engendrée de deux autres manières : 1** par une droite AA' qui se meut parallèlement à elle-même en rencontrant toujours une circonférence de cercle ABC dont le pkin lui est perpendiculaire ; 2° par une circonférence de cercle ABC dont le plan se meut parai* lèlement à lui-même, de telle sorte qlie le centre 0 décrive une droite perpendiculaire au plan de la circonférence.

S42. Applicatious. On peut produite de déUx maniées une êitrftfce cylindrique de réroluUon , suivant qu'on la coosidère cooiine surfaee réglée au comme surface de révolution.

Dana le premier cas, on tracé ti l'une d«a eictrémltés de la pi^e à laqueUe on veut donner cette surface , un cercle que Ton prend pour cercle direoCeur; on mène des tangentes à ce oercle, et l'^n conduit, suivant ces tangentes, des faces planes perpendieulaires au plan du cercle directeur. On multiplie ces tangentes jusqu'à ce que le polygone circonscrit qu'elles forment ne diffère plus sensiblement du cercle directeur } Tensemble des faces menées par ces tangentes diffère alors aussi peu qu'on le désire de la surface cylindrique demandée.

C'est ainsi que Ton travaille les arbres tournants des maelûnes, les mMs des navires , les surfaces cylindriques de peu d'étendue qui se présentent dans la coupe des pierres. C'est encore d'après le môme système que les architectes construisent les voûtes dltea en beroeou , qui sont des surfaces éylindrtques de révolution à génératrices horizontales. Des demi-cercles verticaux (ftg. 4*8) et parallèles supportent des poutres (leur extrémité seule est visible sur la Ogure]

6É0MÊTRI£ DANS l'£SPACE. 255

doflt 108 ftrétes , pêt*pendici]]ahres aux plans de ces demi-cercles , sont conséquemment parallèles entre elles , et figurent les génératrices de fa surface cylindrique. C'est sur ces poutres que Ton établit la maçonnerie , et sa partie Inférieure présente alors une surface qui diffère peu d'une yéritable surface cylindrique de révolution.

Dans le second cas , où l'on regarde la surface cylindrique comme une surlace de révolution » on fait dsiige du tour, et tandis que la pièce à façonner tourne autour d'un axe constant, on fait décrirez la pointe de l'outil une droite parallèle a cet axe.

C'est ainsi que l'on eiécute, sur bois ou sur métal, la plus grande partie des surfaces cylindriques dont l'usage est si fréquent dans les arts : c'est encore ainsi qu'on obtient celles qui sont employées dans la poterie.

343. Deux surfaces cylindriques de révolution, dont les direC'^ trices sont des circonférences égales , sont elles-mêmes superposa^ blés ; car si l'on fait coïncider les directrices , il est évident que toutes les génératrices qui sont perpendiculaires au plan de ces cir'*conférences coïncideront aussi deux à deux.

On peut remarquer, de plus , que lorsque deux surfaces cylin-» driques de cette espèce coïncident, on peut les faire mouvoir toutes deux en sens contraire autour de leur axe devenu commun , ou bien dans le sens de cet axe» sans que la coïncidenoe cesse d'avoir lieu.

Appucations. Les couvercles des tK)!tes rondes, otf plus exactement cylin^ driques, offrent une application de ces principes. Il en est de même des corps de rechange des Intrtiments ^ vent : ils s'adaptent au corps principal de l'instrument au moyen d'une surface cylindrique qui entre a frottement doux dans une surface égale à la première. Linstrument nommé trombone offre partico'^ nèrement l'exemple de deux surfaces cylindriques qui se meuvent dans le sens de leur axe commun sans cesser de coïncider. Les lorgnettes d'opéra, les lunettes terrestres, etc., offrent une disposition analogue. On la retrouve dans les pistons des pompes, lesquels se meuvent verticalement sans que la surface cylindrique qui les termine latéralement cesse de coïncider avec celle du corps de pompe. La même chose a lieu pour les pistons de machines à vapeur.

On obtient souvent les surfaces cylindriques par le moulage, c'est*à-dire par coïncidence avec des surfaces cylindriques déjà existantes.

544. Problème* Par un point donné sur une surface cylindrique de révolution, lui mener un plan tangent.

Remarquons d'abord qu'un plan tangent en uti point d'une surface cylindrique doit contenir la génératrice qui passe parce point. Enefifoi, considérons une portion très-'petite de la surface cylindrique, on pourra toujours concevoir deux génératrices consécutives qui passent par cet dément de surface ; et si cet élément est assez petit pour pouvoir ôtre regardé comme plan , son plan se confondra avec celui de ces deux génératrices. Le plan tangent, qui n*est autre chose que Télément prolongé, contient (jtone ces deux génératrices tout entières. Mais si cet élément est infiniment petit, ces deux génératrices sont rapprochées l'une de Tautre au point

de se contondre en une seule, qui est celle du point de tangence. Donc la génératrice du point de tangence est contenue dans le plan tangent.

Cela posé, soit M (fig. 439) un point donné sur une surface cyb"ndrique de révolution dont Taxe est OH. Par le point M, menons un plan perpendiculaire à cet axe, et, dans ce plan, par le même point M, menons TM tangent à la circonférence d'intersection MNP; cette tangente devra être contenue dans le plan tangent au point M (857). Mais si Ton mène par le point M la génératrice AB, cette génératrice, d'après ce que nous venons de voir, sera aussi contenue dans le plan tangent. Ce plan n'est donc autre chose que le plan des droites TM et AB. Or, AB, comme génératrice, étant parallèle à Taxe OH, est perpendiculaire au plan du cercle MNP, et par conséquent à la tangente TM qui passe par son pied dans ce plan ; d'ailleurs TM, comme tangente, est aussi perpendiculaire au rayon OM. Donc TM est perpendiculaire au plan des droites AB et OM , ou , ce qui revient au môme, au plan des droites AB et OH. De là cette construction :

Par le point de tangence donné M menez une génératrice AB et conduisez un plan suivant cette génératrice et suivant l'axe OH; par cette même génératrice AB menez un second plan perpendiculaire au premier : ce sera le plan tangent demandé.

Applications. I. Le contact des plans avec les surfaces cylindriques sert à accorder celles-ci avec les surraces planes; et ce raccordement est fréquemmenl employé dans Tarchiteclure. C'est ainsi que, dans les voùles en berceau, Xintrados , ou la surface interne de la voûte propremente dite , se raccorde avec le plan des murs qui soutiennent cette voûte.

H. On emploie assez souvent des surfaces cylindriques pour raccorder les faces planes des meubles, afln d'éviter le tranchant des angles dièdres.

m. Cn rouleau de jardinier, qui repose sur un sol horizontal, offre l'exemple d'une surface cylindrique tangente à un plan.

045. Deux surfaces cylindriques peuvent se toucher de manière à n'avoir qu'un seul point commun ; mais si on les dispose de telle sorte que leurs génératrices soient parallèles, en les menant au contact elles auront une génératrice commune. Si Ton coupe cette génératrice par un plan perpendiculaire, les courbes de section obtenues sur les deux surfaces seront aussi tangentes entre elles, et auront une tangente commune. Cette tangente et la directrice commune détermineront un plan tangent commun. Si les deux surfaces tournent alors autour de leurs axes respectifs, elles ne cesseront point d'être tangentes, et le plan tangent commun restera le même.

Remarque. Deux surfaces cylindriques peuvent être tangentes Tune à l'autre extérieurement ou intérieurement.

Applicatioks. I. Pour transmettre le mouvement, on emploie, dans certaines

6Ê0MÉTBIB DANS L'ESPAGE. 257

machines, des roues cylindriques ^ axes parallèles qui se conduisent mutuellement par simple contact extérieur,

11. Les tourillons des arbres tournanis des macliines , et les erapaudines qui les supportent, oflirent un exemple du contact intérieur des surfaces cylindriques.

546. Nous avons vu qu'un plan perpendiculaire à l'axe d'une surface cylindrique de révolution coupe cette surface suivant une circonférence de cercle qui a son centre sur cet axe.

Si le plan coupant est oblique ii l'axe, l'interseclion est une courbe fermée à laquelle on donne le nom d'Ellipse. Telle est Tinterseclion AMBN (flg. 440) de la surface cylindrique de révolulion dont Taxe est (Xï, par un plan PQ oblique Il cet axe.

Si le plan coupant est parallèle à l'axe, il coupe la surface suivant deux génératrices (c'est-à-dire suivant deux droites parallèles). En effet, une génératrice qui a un point commun avec le plan coupant y est alors contenue tout entière (424) ; et il y a d'ailleurs évidemment luoe génératrice d'entrée et une génératrice de sortie.

Quand ces deux génératrices se confondent en une seule , le plan coupant devient tangent.

Applications. I. On a à considérer l'interseclion d'une surface cylindrique et d'un plan toutes les fois qu'une voûte en berceau vient s'arrêter à une surface plane ; si celte surface plane n'est point perpendiculaire aux génératrices d» i'inlrados, la section est une demi-«llipse.

II. On a la même intersection k considérer lorsqu'une surface cylindrique de révolution , telle que le tuyau d'un poêle , doit pénétrer obliquement dans un mur; rintersection de cette surface avec le plan du mur est une ellipse.

ni. Le tracé des ombres fournit aussi une application de l'intersection qui nous occupe. Les rayons solaires qui viennent frapper un objet peuvent, à cause de l'éloignement du soleil , être considérés comme parallèles. Si l'on présente à ces rayons un disque circulaire dont le plan leur soit perpendiculaire , les rayons qui viendront raser le bord du disque formeront les génératrices d'une surface cylindrique de révolution , et rintersection de celte surface avec un plan situé au-dessous du disque sera la séparation entre l'ombre du disque sur ce plan et la partie éclairée. Si le plan dont nous parlons n'est pas parallèle à celui du disque , la ligne de séparation entre l'ombre et la partie éclairée sera une ellipse.

IV.' Lorsqu'un vase contient un liquide, la surface supérieure de ce liquide est un plan horizontal. Si le vase est cylindrique , cette surface supérieure se trouve terminée par une courbe qui est l'intersection de la surface cylindrique avec le plan horizontal que forme le niveau du liquide. Cette courbe est donc une circonférence de cercle ou une ellipse , suivant que le vase est placé de manière que son axe soit vertical ou incliné à l'horizon. C'est ce qu'on peut vérifier en inclinant de différentes manières un verre cylindrique ordinaire, rempli d'eau ou de tout autre liquide.

547. Deux surfaces cylindriques de révolution peuvent se couper de plusieurs manières.

I. Si leurs axes sont parallèles, elles se coupent suivant deux génératrices; car loolcs les génératrices étant alors parallèles , si une généralrice de l'une des deux surfaces a un point commun avec l'autre , elle se confond nécessairement avec une génératrice de cette autre. D'ailleurs il y a évidemment encore une génératrice d'entrée et une génératrice de sortie.

II. Lorsque les axes ne sont pas parallèles, il peut se faire que toutes les génératrices de l'une des deux surfaces rencontrent la seconde. On dit, dans ce cas, qu'il y a pénétration; et l'intersection se compose de deux courbes égales distinctes. Il peut arriver au contraire qu'une partie des génératrices de chaque

circonférences égales, mlers^cl.^^^^^^^^ ^^ ^.^^^^^ j, ,., „ ^cs

r"*'l?« rtm!«DarceUe brttecW^ on conduise un plan perpendiculaire f rnlan de'cUres^. es dl« surtaces se irouveronl pUcé^ symélriquement

«JS t rbcwlonnïrpVl^^^^^^^^^ plans en question. Or, ces ipler^cuon.. ï'aîrïcT^ue noua avons vu ( 846) sont des e Upse. en gênerai. APPUcxTiONs. La rencontre des surfaces cylindriques trouve de» appttcaUOM

iTors'au'une voûte en berceau vient déboucher dans une autre voûte plus

*ii;*^i?v a rencontre de deux surface» cylindrique» par pénétration. U

* r Ihll , H.U auand une fenêtre ou une porte clnlrée est praUquee dan» même «^om a 1 eu quand une lene .^ ^ ^^^^ ^^^ ^ ^.^ ^^^^

KUCXcoS^iur'rJauoupourle gai s'abouche Utéralement

^"llS St^e^V^^^^^^^^^ égales «, traversent mutuellement, .ni; M^^nHe M» oartlculler Signalé toul à l'heure où l'intersecUon se compose SedeuxcoUbeTpCrilais.'^comme chaque voûU n'est fonnée que d'une SemiCrface cylindrique, l'intersection se compose de deu. dem.-el»pses On trouve celte disposition dan» le» voûte» en aritim. et dan» le» voûte» en

^'lammin s'emploient, lorsque deux galerie» voûtée» se traversent . pour oDéKToa"ion des deux berceaux. Les hachure» de la Bgure 4*1 repré- Sent lei îrojection» horizontale» des génératrice», et montrent comment R'onère la ^oncllon des deux voûtes.

Les voùles en arc de cloître s'emploient pour couvrir une salle rectangulaire. Le^haTur^^^^^^^^ ^"«^^re les projections horzonUles

des fiSlrL et montrent qu'ici la disposlUon des surfaces cylmdnciues est inverse de celle qui forme les voûtes en arêtiers,

m Lorsqu'une voûte en berceau vient débouclier dans une autre voûte de même hauteur, sans la traverser, rintersection se compose de deux quarU

Ouelqûe chose d'analogue a lieu dans cerUines jonctions des tuyaux i mais, au lieu de deux quarts d'ellipse, on a deuxdemi-elllpscs, parce que les surfaces

cylindriques sont entières. ,^ #»«

Si deux surfaces cylindriques égales s'arrêtent mutuellement sans se traverser, l'intersection, ou plulôt la courbe d'arrêt, est une seule ellipse corn- Dlôlc les tuyaux de poêle coudés oflfrent cette disposition. Ce mode de rencontre et le précédent sont réunis dans la figure 443,

548. Les surfaces cylindriques jouissent d'une propriété remarquable qu'il nous reste à faire connaître.

Soient aa\ hb\ oc', dd\ etc. (Bg. 444). des génératrices d une surface cylindrique, suffisamment rapprochées l'une de l'autre,

GÉOJttÉTBIB DANS L*£APACB. 95tt

pour que la portion de surface comprise entre deux de ces généra* trices consécutives puisse être regardée comme sensiblement plane. On conçoit que Ton puisse faire tourner le plan abVa! autour de bV comme charnière, jusqu'à ce qu'il vienne coïncider avec le prolon* gement du plan bcc^b'. On pourra alors faire tourner le plan acc'ci autour de ce' comme charnière , jusqu'à ce qu'il vienne coïncider avec le prolongement du plan cdd'c'. En continuant ainsi, il est facile de voir que toute la surface cylindrique pourra être amenée dans un même plan, ou développée sur un même plan, ce qui a fait donner à ces surfaces le nom de surfaces développables.

Si, par exemple, on développait ainsi sur un plan la portion de surface cylindrique comprise entre les plans ABC et A'B'C (fig. 437) perpendiculaires à l'axe, le développement serait un rectangle dont la hauteur serait la distance AA' des deux plans, et dont la base serait la circonférence ABC rectifiée. Car la surface en question peut être considérée comme composée d'une infinité de petits rectangles ayant une hauteur égale à A'A, et pour bases les éléments successifs de la circonférence ABC . Nous disons des rectangles, parce que les gé-^ nératrices étant parallèles à Taxe, et par conséquent perpendiculaires aux plans ABC, A'B'C, sont en môme temps perpendiculaires aux élé* nients de circonférence qui passent par leur pied dans ces plans, puisque ces éléments peuvent être considérés comme rectilignes (399).

Des surfaces coniques de révolution.

tt49. Une surface conique de révolution est engendrée, ainsi que nous l'avons vu, par une droite SA (fig. 445), qui tourne autour d'un axe fixe SO qu'elle rencontre toujours au môme point S, appelé sommet, en faisant un angle constant avec l'axe.

Le double de cet angle est ce qu'on nomme Vangle de la surface conique.

Si d'un point quelconque A de la génératrice SA, on abaisse sur l'axe une perpendiculaire AO, cette droite, dans le mouvement de rotation, ne cessant pas d'être perpendiculaire à SO, engendrera un plan perpendiculaire à cet axe (599, Coroll.); et le point A décrira une circonférence dont AO sera le rayon et 0 le centre.

Réciproquement :

ïKM). Thbobèmi. Toute section d'une surface conique de révolution par un plan perpendiculaire à l'axe, est une circonférence de cercle qui a son centre sur cet axe.

£n e£ret, soient ABC (fig. 445) la courbe d'intersection, et 0 le point où son plan rencontre Taxe. Prenons deuxpointsquelconques A et B sur la courbe, et joignons AO, BO, AS, BS. Les triangles AOS, BOS seront égaux comme ayant un cdté commun SO, adjacent à deux

260 SECONDE PABTIB.

angles égaux chacun à chacun, savoir : AOS=BOS comme droits, puisque SO est perpendiculaire au plan de la courbe, et ASO=BSO par la définition de la surface. Il en résulte que OA=iOB; c'està-dire que les points A et B sont à égale distance du point 0 , et comme les points A et B sont deux points quelconques de la courbe d'intersection, cette courbe est une circonférence du cercle, dont le centre est le point 0.

Corollaire. Deux sections perpendiculaires à l'axe, tcllesquc ABC et abc y ont des rayons AO et ao proportionnels aux distances de ces sections au sommet. Car les droites AO et ao étant parallèles, puisqu'elles sont situées dans un même plan ASO et perpendiculaires à une même droite OS, les triangles AOS et aoS sont semblables et Ton a

aoiAO ::oS:OS.

ItSl. On peut concevoir une surface conique de révolution engendrée d'une autre manière, savoir : par une droite SA assujettie à rencontrer toujours une circonférence ABC , et à passer constamment par un même point S, situé sur une perpendiculaire élevée au plan du cercle ABC, par le centre de ce cercle.

%SIÏ. Application. On peut produire une surface conique de révofulion de deux manières différentes , suivant qu'on la considère comme surface réglée , ou comme surface de révolution.

Dans le premier cas, on mène des tangentes au cercle directeur ; par ces tangentes et le sommet on fait passer des faces planes , que Ton muUipWe de la même manière jusqu'à ce que leur ensemble ne diffère pas sensiblemenl de la surface demandée.

Bans le second mode de production , où l'on regarde la surface comme une surface de révoluUon, on fait usage du tour. Tandis que la pièce à façonner tourne autour d'un axe constant, on fait décrire à fa poinlc de loutil une droite qui va couper cet axe sous un angle égal à la moitié de l'angle de la surface conique demandée.

C'est ainsi que l'on exécute, sur bois ou sur métal , une grande parUe des surfaces coniques employées dans les arts. C'est aussi par rotaUon que les surfaces coniques s'obtiennent dans l'art de la poterie.

^5. Deux surfaces coniques de révolution ne sont susceptibles de coïncider que lorsque Tangle des génératrices avec Taxe est le même. Lorsque cette condition est remplie, si Ton fait coïncider les sommets et les axes des deux surfaces, les génératrices, étant également inclinées sur Taxe commun, coïncident nécessairement deux à deux.

La coïncidence subsiste encore si Ton fait tourner les deux surfaces en sens contraire autour de l'axe commun. Mais elle cesserait d'avoir Heu si Ton faisait mouvoir Tune d'elles dans le sens de cet axe.

GÉOMÉTRIE DANS I/eSPAGB. 261

Afpucatioks. I. C'est en verlu du principe d'égalité par coïncidence, que l'os emploie le moulage pour produire les surraces coniques.

11. Le robinet ordinaire avec sa clef ofiRre l'exemple de deux surCaces co-> niques droites, k axes verlicaux, qui coïncident tant qu'on se borne à faire tourner la clef dans le robinet, mais qui se séparent lorsqu'on élève celle-ci verticalement

8S4. Problème. Par un point donné sur une surface conique de révolution, lui mener un plan tangent.

Les raisonnements sur lesquels nous nous sommes appuyés au n"" 544, appliqués à la surface conique, démontreraient que tout plan tangent à une surface de ce fçenre doit contenir la génératrice qui passe parle point de contact. Si par le point de contact on mène un plan perpendiculaire à Taxe de la surface , et qu'on mène par ce même point une tangente à la circonférence qu'on obtient pour intersection , cette tangente devra aussi se trouver dans le plan tan-gent (557). Or, on démontrerait , comme pour une surface cylindrique, que cette tangente est perpendiculaire au plan déterminé par Taxe de la surface conique et par la génératrice qui passe au point de contact.

Pour mener, par un point B(fig. 445) donné sur une surface conique de révolution , un plan tangent à cette surface , on mènera donc la génératrice SB, et suivant cette génératrice on fera passer nn plan perpendiculaire au plan BSO; ce sera le plan tangent demandé.

Applications. 1. C'est par le contact d'un plan avec une surrace conique, que l'architecte raccorde les trompes avec la face interne des murs qui les supportent.

II. Les meules coniques dont les fabricants de ciiocolat se servent pour broyer le cacao offrent l'exemple d'une surface conique tangente à un plan.

555. Deux surfaces coniques peuvent se toucher de plusieurs manières : la plus remarquable est celle où les deux sommets coïncident; le contact a lieu, dans ce cas, suivant une génératrice entière ; et de plus , si Ton fait tourner les deux surfaces autour de leurs axes respectifs, elles ne cessent point d*ôtre tangentes.

Application. C'est ainsi que sont disposées les roues d*angïe employées dans les macbines pour changer un mouvement de rotation autour d'un axe en un autre mouvement de rotation autour d'un second axé qui rencontre le premier.

On prend l'inlersecUon S des deux axes OS et O'S (tig. 44C] pour le sommet des deux surfaces coniques -, un divise l'angle de ces axes par une droite SB , choisie de telle sorte que les distances de chacun de ses points aux deux axes soient en raison inverse des vitesses quéTbn veut donner aux deux roues; celte droite est la génératrice commune aux deux surfaces coniques iaugentes. Ces deux surfaces, que l'on nomme les surfaces coniques primitives des deux roues, étant ainsi déterminées, on n'a plus qu'à y établir le système de denture propre à ce genre d'engrenage.

Remarquons que si , dans le plan des deux axes Ton menait 00'» perpendl-

culaire h Sfi du poinl B , et que l'on prtt 0 e( 0' pour les sommete de deux surraces coniques de révolution ayant pour axes OS et O'S, cet surfaces auraient une génératrice commune OO', et seraient tangentes intérieuretneni l'une à l'autre, suivant cette génératrice , pendant toute la durée du mouvement dés surfaces autour de leurs axes. Il en résulte que les circonférences AB et BC se toucheraieiil au poinl B, comme si elles étaient situées dans un même plan peN pendieuiaire à SB, et qu'elles eussent 0 et 0' pour centres et OB ei OB' pour rayons. C'est par cette considération que l*on ramène le tracé de l'engrenage des roues d'angle au tracé de l'engrenage des roues ordinaires.

SS6. Un plan peut couper une surface conique de révolution de plusieurs manières. Nous avons déjà vu que si le plan coupant est perpendiculaire à l'axe, la section est une circonférence de cercle, qui a son centre sur cet axe.

Une surface conique est composée de deux nappes dilférenles; c'est ainsi que Ton nomme les deux parties séparées par le sommet, comme on Je voit sur la figure 445.

SI le plan coupant est oblique à l'axe , et coupe toutes les génératrices d'une mdme nappe, l'intersection est la courbe fermée appelée Ellipse ^tlg. 447).

Si, comme l'indique la figure 448, le plan coupant PQ est parallèle à l'une des génératrices SA , rinterseclion est une courbe limitée dans un sens et Iliimilée dans l'autre, que l'on nomme une Parabole.

Si, Comme l'indique la figure 440, le plan Coupant rencoùtfe une partie des génératrices sur l'une des deux nappes et les autres sur l'autre nappe, l'intersection se compose de deux brancbes de courbes dont chacune est limitée dans un sens et illimitée dans l'autre, et dont l'ensemble forme ce qu'on appelle une Hyperbole.

Le cercle , l'ellipse, la>parabole et l'hyperbole sont les couri>es que l'on désigne sous le nom de sections coniques.

Si le plan coupant passe par le sommet du cône, il peut n'avoir que ce point commun avec la surface, ou bien il peut lui être tangent, ou bien enQn 11 petit la couper suivant deux génératrices*

Applications. I. Lorsque l'on place une bougie allumée au centre d'une iable ronde, de manière que sa flamme soit sur la verticale de ce ceutre, les rayons lumineux partis de cette flamme, qui viennent raser le bord circulaire de la table , forment les génératrices d'une surface conique de révolution , el l'Intersection de cette surface avec le plancher est la ligne de séparation entre l'ombre de la table et la partie éclairée. Cette ligne de séparation est une circonférence de cercle, puisque le plancher, qui fait ici l'ofiice de plan coupant, est perpendiculaire à l'axe. Si la table est assez voisine du mur pour que son ombre s'y projette en partie, cette même surface conique se trouve coupée par un plan parallèle à Taxe, et la ligne de séparation entre l'ombre et la paHie éclairée du mur est alors une branche d'hyperbole (flg. Abu). Si cette ombre se projelnil sur une surface plane inclinée, la ligne de séparation entre l'ombre et la partie éclairée pourrait être une parabole ou une ellipse.

II. II y a de petites lanternes portatives dont le verre est circulaire; les rayons qui parlent de la flamme et vont raser le bord du verre forment une surface conique , et rinterseclion de celle surface avec le plan d'un mur sur lequel vient fhipper la lumière de la lanterne y forme la ligne de séparation entre la partie que la lanterne éclaire et le re^te du plan qui est dans l'ombre. Cette ligne de séparation peut être une circonférence de cercle, une ellipse, une parabole ou une hyperbole , suivant la manière dont on dirige vers ce mur la lumière de la lanterne.

III. La perspective offre aussi rapplication de l'intersection des surfaces coniques avec un plan; mais les surfaces coniques que l'on y rencontre ne sont pas seulement des surfaces coniques de révolution , on y trouve des surfaces

coniques de toute eipèce. Les rayons tlsuels, dirigés de TœU du spectateur ?ers tous les polûts d'une courbe quelconque , située comitie on Toudra au deik du plan du tableau , forment une surface conique dont rintersectlon avec ce plan est la perspective de la courbe. Les rayons visuels menés à tous les points d'une circonférence de cercle, par exemple, forment en général une surface conique oblique; rintersection de celle surface avec le plan du lobleau peut être une section conique quelconque, mais, le plus souvent, c'est une ellipse} voilli peur' quoi les cercles, vus en perspective, paraissent ellipliques : c'c»l ce qu'on peut observer en regardant obliquement les roues d'une voiture , ou en voyant le bord d'un bassin circulaire.

tV. SI l'on remplit d'eau un vase conique, par exemple un entonnoir bouché par le bas, la surface supérieure du liquide se trouve terminée par une courbe, qui est l'interseclion de la surface conique avec le plan horizontal formé par le niveau du liquide. Celle courbe esl un cercle ou une ellipse, suivant que l'axe de la surface conique esl vertical ou incliné d'un certain angle à l'horizon. Ou obtiendrait les deux autres secUons coniques en plongeant l'entonnoir, loUi diverses Inclinaisons , dans un vase plein d'eau.

SS7. L'intersection d'une surface conique et d'une surface cylindrique est , en général , une courbe 2i double courbure. 11 en est de même de rintersectlon de deux surfaces coniques entre elles. Lorsque les deux surfaces ont le même axe , elle ne peuvent se couper que suivant une circonférence de cercle.

Applications. L Lorsqu'une tour circulaire a du taltu , la surface extérieure de celle tour esl une surface conique de révolution , à axe vertical. SI l'on veut y pratiquer une porte ou une fenêtre cintrée » on a à construire rintersectlon de cette surface avec une surface cylindrique à génératrices horizontales. La même chose arriverait si une pareille surface était rencontrée par une voûte en berceau.

H. Les robinets ordinaires présentent une Intersection pareille : c'est celle de la surface cylindrique qui fbrme le corps du robinet avec la surface conique de la cavité qui reçoit la clef.

IIL Lorsque la lumière d'une lanterne k verre circulaire se projette sur la muraille d'une salle ronde, la séparation entre la lumière projetée et l'ombre environnante est rinlerseclion de la surface cylindrique de la muraille , avec la surface conique formée par les rayons lumineux qui rasenl le bord du verre.

IV. La perspective offre aussi une application de l'inlersectlon des surfaces coniques et cylindriquest Dans les panoromaj, par exemple, le plan du lableaU est remplacé par une surface cylindrique qui est celle de la toile sur laquelle le sujet doit être peint. Les rayons visuels, menés de l'œil du spectateur aux différents points d'une courbe supposée située comme on voudra au delà de la toile, forment une surface conique dont rintersectlon avec la surface de la toile est la perspective de celle courbe.

y. La lumière d'une lanterne à verre circulaire , projetée sur la diurallli d'une tour ronde en talus , oflïrirait un exemple de l'interseclion de deux surfaces coniques.

IS58. Les surfaces coniques jouissent , comme les surfaces cylindriques, de la propriété d*ôlre développables.

En effet, considérons plusieurs génératrices consécutives Sa, S6, Se, Scf, etc. (fig. 451), suffisamment rapprochées les unes des autres pour que la portion de surface conique comprise entre deut de ces génératrices consécutives puisse être regardée comme sensiblement plane. Si Ton fait tourner le plan aSb autour de Sb comme

26& SECONDE PAUTIE.

charnière , on pourra toujours Tamener sur le prolongement du plan bSc ; et si l'on fait tourner ensuite le plan aSc autour de Se comme charnière , on pourra toujours ramener sur le prolongement du plan cSd, En continuant ainsi , on voit que toutes les faces élémentaires aSby bSc, eSd, etc., pourront être amenées dans un même plan, ou développées suivant ce plan.

Il est facile de voir que , dans ce développement, tous les pointe de la surface conique situés à égale distance du sommet resteront encore à égale distance de ce sommet, et appartiendront conséquemnient à un môme arc de cercle ayant ce sommet pour centre, et pour rayon la distance en question.

Dans une surface conique de révolution , par exemple, une section telle que AMB (fig. 452), faite par un plan perpendiculaire à Taxe SO, a tous ses points à égale distance du sommet, puisque Taxe est une perpendiculaire élevée au plan du cercle AMB par son centre (400). Le développement de cette section sera donc un arc de cercle BC ayant le point S pour centre , et la distance BS pour rayon.

8^9. On peut calculer d'avance le rapport de Tare BC à la circonférence entière dont il fait partie ; car cet arc étant égal en longueur à la circonférence AMB a pour valeur 2ic xOB; et la circonférence dont cet arc fait partie a pour valeur 2:r xSB. L'arc BC est donc à la circonférence entière comme OB est à SB.

Cette relation montre que cet arc est toujours moindre que la circonférence; car OB est toujours moindre que SB; et qu'il eu approchera d'autant plus que OB approchera plus de SB, c'est-àdire d'autant plus que l'angle OSB sera plus grand.

Remarque. Lorsque l'angle OSB est de 30^, l'arc BC est précisément une demi-circonférence; car l'angle ASB valant alors 60*, le triangle isocèle ASB devient équilatéral; OBestdonclamoiliédeSB, et par suite BC est la moitié de la circonférence dont il fait partie.

Application. Lorsqu'une surface conique roule sur un plan, toutes ses génératrices viennent s'appliquer successivement sur ce plan , comme si elle s'y développait. Ce que nous venons de dire peut donc servir à régler la vilesse de rotalioB des meules coniques employées dans diverses fabricalions, et nolammenl au broiement du cacao.

Ces meules font un certain nombre de révolutions autour de leur axe propre, tandis que celui-ci fait lui-même un tour entier autour de l'axe vertical de la machine. Si l'on veut que chaque meule fasse, par exemple, trois tours sur son axe , pendant que cet axe fait lui-même un tour complet autour de Taxe vertical, il faudra que la surface conique soit contrainte de se développer trois fois sur le plan pour le couvrir en entier; il faudra donc que BC soit le tiers de la circonférence , et que , par conséquent, OB soit le tiers de SB. Ayant construit le triangle rectancle SOB d'après cette condition , on aura les éléments néce^ saires pour obtenir la surface conique.