AB+BC+CD<AM+MN+NP-|-PD

Corollaire. La démonstration étant indépendante du nombre des côtés , la proposition peut être étendue à des lignes brisées d'un nombre infini de côtés, c'est-à-dire à des lignes courbes, pourvu qu'elles soient convexes , c'est-à-dire qu'elles ne puissent être rencontrées par une ligne droite en plus de deux points.

Dans ce cas , /a courbe enveloppante est plus grande que la courbe enveloppée.

De la mesure des lignes droites.

Si. Mesurer la longueur d'une ligne droite, c'est, comme nous l'avons dit, la comparer à une autre longueur prise pour unité. Pour opérer cette comparaison , on porte l'unité sur la longueur à mesurer, autant de fois que cela est possible. C'est ainsi que pour

GÉOMÉTRIE PLANE. iS

apprécier sur le terrain la distance de deux points , on compte le nombre de pas qu'il faut faire pour se rendre de 1 un à Tautre : l'unité de mesure est alors le pas. Quoique ce procédé ne soit susceptible d'aucune exactitude, on s'en sert quelquefois pour évaluer approximativement les distances. Indépendamment de ce mode de mesure et de quelques autres du même genre , on a des moyens plus rigoureux et plus généraux, qui consistent dans l'emploi d'une même unité de longueur imposée par l'usage ou par la loi à tous les individus d'une même nation. Cette unité a varié suivant les temps et les peuples ; et l'on comprend d'ailleurs que chez le même peuple et dans le même temps une seule unité ne puisse suffire; car il serait absurde d'évaluer avec une même unité la distance de deux villes, et celle de deux points marqués sur le papier. Il suffit que les diverses unités employées conjointement aient entre elles une relation connue aussi simple qu'il est possible.

En France , l'unité principale de longueur était autrefois la taise. Elle se subdivisait en 6 pieds, chaque pied en 12 pouces, et chaque pouce/en 12 lignes. Vaune était une longueur de 3 pieds 7 pouces 10 lignes f . 18 pieds formaient làperehe de Paris; 22 pieds composaient la perche des eaux et forêts. La lieue commune valait 2282 toises; la lieue marine , environ 2852 toises, etc. Quant à la longueur absolue de la toise , elle ne se liait à aucune distance invariable qui pût servir à la faire retrouver en cas d'altération. Ces différentes mesures variaient d'ailleurs d'une province à l'autre , et souvent d'une ville à l'autre dans la même province.

Depuis le commencement de ce siècle (2 novembre 1801), ce système de mesure incohérent a été légalement remplacé par le système métrique, ainsi appelé du nom de l'unité principale de longueur qui en fait la base. Le mètre est , comme on sait , la dix-millionième partie de la distance du pôle à Téquateur. Il se subdivise en 10 d^cimètres, chaque décimètre en 10 centimètres^ et chaque centimètre en 10 millimètres. Une longueur de 10 mètres forme un décamètre; 10 décamètres font un hectomètre; 10 hectomètres valent un kilomètre; et 10 kilomètres font un myriamètre. Le kilomètre et le myriamètre servent à évaluer les distances géographiques.

Pour mesurer les distances sur le terrain , on emploie la chatne d*arpenteur (fig. 8) qui a un décamètre de long. Elle se compose de 50 diainons rectilignes, ayant chacun 2 décimètres de longueur, et réunis par des anneaux. Le 5* anneau , le 10% le 15*, et ainsi de suite de cinq en cinq, sont en cuivre, et divisent la chaîne en longueurs égales d'un mètre chacune. Pour mesurer une droite à l'aide de cette chaîne, deux personnes la tendent dans la direction de cette droite, de manière que son extrémité À coïncide avec celle de la droite. On marque au moyen d'une fiche en fer le point où

1& PRKlilÈRE PARTIE.

correspond rextrémité B. On transporte ensuite la chatne de manière que l'extrémité A vienne correspondre à cette fiche, et Ton plante une nouvelle fiche au point où se trouve rextrémité B. On transporte la chaîne de la même manière sur toute l'étendue de la ligne à mesurer. Afin de ne pas être obh'gé de revenir sur ses pas, disique fois que la personne qui porte l'extrémité B a planté en terre Une nouvelle fiche , celle qui porte l'extrémité A enlève la fiche précédente; les fiches passent ainsi des mains de la première personne dans celles de la seconde, qui n'a plus qu'à comptef ces fiches pour savoir combien de fois la chaîne a été portée sur la droite à mesurer.

Il arrive ordinairement que la longueur de. la chatne n'est pas contenue un nombre exact de fois dans la ligne à mesurer; mais, à l'aide de la division de la chaîne , il est facile d'obtenir la mesure du reste. Si , par exemple, la chaîne a été portée en entier 6 fois sur la ligne à mesurer, et que le reste contienne quatre anneaux de cuivre , plus 2 anneaux de fer, plus les f de la longueur d'un chaînon , on en conclura que la longueur totale de la droite est de 6 fois un décamètre , plus 4 fois un mètre , plus 2 fois deux décimètres , plus les f de 2 décimètres, ou 15 centimètres , ce qui fait en totalité 64",55. Il serait illusoire de vouloir pousser l'approximation au delà des centimètres, car les erreurs qui peuvent provenir du plus ou moins de tension de la chaîne pendant l'opération , ainsi que du plus ou moins d'exactitude avec laquelle on fait coïncider ses extrémités avec les fiches, permettent à peine de compter sur le chiffre des centimètres.

Pour mesurer les droites d'une moindre étendue, telles que celles que l'on rencontre dans Tarchitecture , dans la charpente , dans l'art du terrassier, etc., on se sert d'une règle de deux mètres de long , divisée en décimètres , centimètres et millimètres , que l'oii nomme une toise métrique; on porte cette longueur sur la dtoiiè à mesurer autant de fois que cela est possible , et l'on évalue le reste à l'aide des divisions de la règle. Au lieu de n'employer qu'une règle , et de faire une marque correspondante à son extrémité , chaque fols qu'on l'applique sur la droite à mesurer, il est préférable d'employer deux règles égales que l'on place bout à bout alternativetnent ; l'opération est à la fois plus exacte et plus prompte.

Les lignes que l'on trace sur le papier se mesurent, soit en prenant une ouverture de compas égale , que l'on transporte sur le bord d'une règle divisée en centimètres et millimètres, soit à l'aide d'un double décimètre pareillement divisé, et taillé en biseau , de Ihanièrô que son tfanchant puisse venir affleurer la ligne à mesurer. B suffit alors d'un peu d'habitude pour apprécier à l'œil les frac-

GtOMÉTRIfi PtAJfi. iS

tions de millimètfe avec une suffisante approximation. Quand le double décimètre est divisé avec soin , il offre une appréciation aussi rigoureuse et plus immédiate que l'emploi du compas.

Lorsque l'on veut pousser l'approximation jusqu'aux dixièmes de millimètre , on fait usage d'un instrument nommé vemier, du nom de l'un de ses inventeurs.

SoitAB(fig. 9} l'extrémité d'une règle divisée en millimètres. Une petite règle CD , qui peut glisser à frottement doux le long de la première , embrasse une longueur de 9 millimètres ; mais elle est divisée en 10 parties égales : c'est cette petite règle qui porte particulièrement le nom de vernier. La longueur de chacune de ses divisions est de -^ dé millimètre. Il en résulte que les traits marqués 1 et I sur les deux règles sont distants de — de millimètre; que les traits marqués â et II sont distants de -^ de millimètre; que les traits marqués 3 et III sont distants de -^ de millimètre , et ainsi de suite.

Supposons maintenant qu'il s'agisse d'apprécier le nombre de dixièmes de millimètre compris entre le trait marqué XIII , et un point 0 qui affleure le bord de la règle. Faisons glisser le vernier le long de la règle jusqu'à ce que son extrémité D vienne correspondre au point 0. Dans ce mouvement, toutes les positions rela* tives des traits des deux règles auront changé , mais il s'en trouvera toujours deux qui coïncideront sensiblement. Admettons que ce soient le trait 3 du vemier et le trait VII de la règle qui coïncident (fig. 9 bii). Le trait 2 précédera le trait VI de -^ de millimètre; le trait 1 précédera le trait V de -;% de millimètre ; enfin l'extrémité C du vernier précédera le trait IV de ^ de millimètre. Or la distance de C à IV est la même que celle de D à XIII ; cette dernière distance est donc de ^ de millimètre. On voit que le nombre de dixièmes de millimètre compris entre le point 0 et le trait précédent de la règle est précisément égal au numéro d'ordre du trait du vemier qui coïncide avec un trait de la règle.

La disposition que nous venons de décrire n'est point particulière à la division en millimètres : on obtiendrait de la même manière les dixièmes dans un système de division quelconque. L'approximation n'est pas non plus bornée aux dixièmes : on obtiendrait des trentièmes, par exemple, en donnant au vernier une longueur égale à 29 divisions de la règle , et en divisant le vernier en 30 parties égales. Remarquons toutefois que l'épaisseur même des traits est un obstacle à ce que l'approximation puisse être poussée au delà d'une certaine limite; car il vient un point où la distance des traits correspondants du vernier et dé la réglé est si petite qu'il est fort tSffldle de distinguei' ceui qui coïncident véritablement.

IJàns cerUiûes méàures dé précision relatives à des quésiiond de

physique, par exemple, on pousse néanmoins rapproximaiion beaucoup plus loin que les dixièmes et même les trentièmes de millimètre ; mais il faut pour cela avoir recours à des dispositions mécaniques que nous ne pourrions décrire ici.

22. Les différents problèmes que l'on peut se proposer sur les longueurs se résolvent sans difficulté quand on sait mesurer ces longueurs , puisque cette mesure permet de les représenter par des nombres. Si, par exemple, on a trouvé que deux longueurs équivalent lune à 3"',574, Tautre à 1"",696, la somme ou la différence de ces longueurs sera exprimée par la somme ou la différence de ces nombres; il suffira également de multiplier Tun de ces nombres ou de le diviser par un nombre abstrait pour effectuer la même opération sur la longueur correspondante. Une fois le résultat obtenu par un simple calcul d*arithmétique , on construira la longueur correspondante à ce résultat en portant sur une ligne droite indéfinie le nombre d'unités de longueur que ce résultai exprime. Si, par exemple, on fait la somme des nombres ci-dessus, on la trouve égale à 5",270; pour obtenir la longueur correspondante, il suffira de porter sur une même ligne droite 5 mètres, puis 2 décimètres , puis 7 centimètres. Il en serait de même pour tout autre résultat.

S'agit-il d'exprimer en nombres le rapport de deux longueurs, cette opération se trouve immédiatement effectuée quand on a mesuré les deux longueurs. Les deux longueurs ci-dessus , par exemple, sont entre elles comme 3,574 est à 1,696, ou comme 3574 est à 1696. Si les deux longueurs étaient incommensurables, c'est encore en les réduisant en nombres , à l'aide d'une unité de mesure, que l'on obtiendrait le plus promptement l'approximation convenable.

Dans les arts , on a continuellement recours aux mesures , soit que l'on commande, que l'on exécute ou que l'on vérifie. Il est cependant des cas nombreux où les procédés graphiques doivent obtenir la préférence , parce qu'ils conduisent alors à une précision qui leur est propre, ainsi que nous le verrons par la suite.