CHAPITRE XIII

DB LA SPHÀBB.

860. Quoique le mot sphère ne soit rigoureusement applicable qu'à un corps terminé par une surface sphérique, on donne néanmoins ce nom à la surface sphérique elle-même , comme on donne le nom de cercle à la circonférence de cercle. Le sens du discours indique toujours suffisamment qu'il n'est question que de la surface de la sphère.

Nous avons dit qu'une surface sphérique est engendrée par une demi -circonférence qui tourne autour de son diamètre. Dans ce mouvement, le centre de la demi -circonférence génératrice demeure immobile, et tous les points de cette génératrice , dans quelque position qu'on la considère, sont à égale distance de ce centre. 11 en résulte que tous les points d'une surface sphérique sont à égale distance d'un même point intérieur \ ce point se nomme le centre de la surface sphérique. Cette propriété peut servir de définition à la sphère.

On donne le nom de rayon à toute droite qui joint le centre à un point quelconque de la surface; d'après ce que nous venons de dire, ious les rayons sont égaux.

On donne le nom de diamètre à toute droite qui passe par le centre et se termine de part et d'autre à la surface ; il en résulte que chaque diamètre se compose de deux rayons, et que, par conséquent, tous les diamètres sont égaux.

Théorème. Tout diamètre d'une sphère peut être pris pour son axe de révolution.

Soit, en eifet, AB<fig. 453) un diamètre quelconque. Par ce diamètre, faisons passer un plan , il coupera la surface sphérique suivant une ligne courbe AMB qui aura tous ses points à égale distance du milieu 0 du diamètre , puisque ce milieu est le centre de la sphère. Cette courbe sera donc une circonférence de cercle ayant AB pour diamètre. Par la ligne AB , faisons passer un second plan quelconque; il coupera la surface sphérique suivant une ligne courbe ANB, qui aura tous ses points à égale distance du point 0, centre de la sphère ; ce sera donc aussi une circonférence ayant AB pour diamètre. Et comme le plan ANB est quelconque, on voit que la surface sphérique peut être considérée comme engendrée par la rotation de la demi-circonférence AMB autour de son diamètre AB.

«61. Théorème. Toute section de la surface sphérique par un plan est une circonférence de cercle.

266 SliCONDE PARTIE.

Soit, en effet, ABD(fig. 454), la section d'une surface sphérique par un plan : du centre 0 de la sphère , abaissons sur le plan de la section la perpendiculaire OC , qui rencontre ce plan au point C ; prenons sur la courbe de section deux points quelconques A etB, et joignons CA, CB, OA, OB. Les triangles CAO etCBO, rectangles en C, puisque OC est perpendiculaire sur le plan des droites AC et BC, ont en outre le côté OC commun, et les hypoténuses OA et OB égales comme rayons d'une même sphère ; ces deux triangles sont donc égaux, et Ton a AC=BC. Et comme les points A et B sont des points quelconques de la section ABD , il s'ensuit que celte section a tous ses points à égale distance du point C , et est par conséquent une circonférence de cercle dont le point C est le centfe.

Corollaire I. Le rayon AC de la circonférence ABD , étant perpendiculaire sur OC , est moindre que l'oblique AO, c'est-à-dire moindre que le rayon de la sphère. Le rayon AC ne devient égal au rayon de la sphère que lorsque le plan coupant passe par le centre 0, parce qu'alors les droites AC et AO se confondent.

Dans ce cas, la section porte le nom de grand cercle; mais si le plan coupant ne passe point par le centre de la sphère , la section , ayant un rayon moindre, est ce qu'on nomme un petit cercle.

CoROLLAiRB IL La démonstration précédente fait voir que la perpendiculaire abaissée du centre de la sphère sur le plan d'un petit cercle , passe par le centre de ce petit cercle.

Corollaire IIL On peut remarquer qu*un petit cercle est d'autant plus petit que son plan est plus éloigné du centre de la sphère ; car si par un diamètre AD de ce petit cercle et par la perpendiculaire OC, on fait passer un plan, il passera par le centre de la sphère, et la coupera suivant un grand cercle dont AD sera une corde. Or, cette corde sera d'autant moindre que sa distance CO au centre sera plus grande.

Application. La surface Interne d'une coupe ou d'un bol ordioftife esl une surface sphérique ; il est facile d'observer que si l'on y verse un liquide quelconque, sa surface supérieure sera toujours terminée par une circonférence de cercle, quelle que soit rinclinaison que prenne le vase.

tt62. Théorème. Detiœ grands cerclée se coupent mutuellemeni en deux parties égales.

Car l'intersection des platis de ces grands cercles est une droite qui passe par le centre de la sphère, puisque ce centre est contenu dans ces deux plans. Cette intersection est donc un diamètre commun , et dès lors elle divise en deux parties égales chacun des deux cercles auxquels elle appartient.

^65. Théorème. Tout grand cercle divise la surface sphérique en deux parties égales.

GÉOMÊTRIB DAIS L'BSPACE. 267

Soit, en effet, MNPQ (flg. 463) la circonférence d'un grand cerclé : renversons la portion de surface sphérique AMNPQ , de manière qu'elle vienne prendre une position analogue à celle de la portion BMNPQ , et que ces deux portions coïncident suivant la circon-^ férence MNPQ. Je dis qu'alors les deux portions de la surface sphérique coïncideront dans toute leur étendue; car dans ce renversement, les dislances des différents points de la portion de surface AMNPQ au point 0 n'auront pas varié; par conséquent, s'il y avait de» points de l'une des deux portions de surface qui se trouvassent en dehors ou en dedans de l'autre portion , il y aurait des points inégalement distants du centre , ce qui est contraire à la propriété fondamentale des surfaces sphériques.

Remàkqde. Les deux moitiés de surface sphérique, séparées par une circonférence de grand cercle , portent le nom à! hémisphères,

«64. Lorsqu'un diamètre AB (flg. 465) est pris pour l'axe de révolution d'une surface sphérique , le plan mené perpendiculairement à cet axe par le centre 0 de la sphère coupe cette surface suivant une circonférence de grand cercle MNPQ, à laquelle on donne le nom A^équateur, Les extrémités A et B de l'axe prennent le nom de pôles. Les cercles déterminés par des plans parallèles à l'équateur se nomment des cercles parallèles^ ou simplement des parallèles; tels sont les cercles nwpg, m'n'f/q^, etc. Les cercles déterminés par des plans qui passent suivant 1 axe de la sphère, se nomment des cercles méridiens^ ou simplement des méridiens; tels sont les cercles AMB, ANE, APB, etc.

Toutes ces dénominaUons sont empruntées )i la Géographie.

Le globe que nous liabUons peut être considéré comme sensiblement sphérique) les aspérilés que produisent sur sa surface les montagnes les plus éleféis sont, pour ainsi dire. Inappréciables par rapport à la grandeur de son rayon, puisque peu d'entre elle» dépassent en hauteur la millième partie de ce rayon. La droite autour de laquelle s'exécute le moUTemenl de rotation diurne qui produit le jour et la nuit se nomme Vaste de la terre; les extrémités de ret axe •ont les pôUs; le plan mené par le centre de la terre perpendiculairement à son axe esi le plan de Véqualeur : lorsque le soleil est dans ce plan , la durée de la nuit est égale k celle du jour dans louies les parties du globe.

On divise la circonférence de Téquateur en degrés, minutes et secondes. Par tous les points de division , et par l'axe de la terre , on suppose menés des plans qui coupent la surface sphérique suivant les eercla méridient» Ces cercles sont ainsi nommés parce que , quand le soleil se trouve dans le plan de l'un d'eux , a est midi ou minuit pour tous les lieux du globe par lesquels passe ce cercle.

Pour indiquer sous quel méridien se trouve un lieu du globe, il suffit donc d'indiquer par quel point de division de l'équateur passe ce méridien. Le point de départ de ces divisions correspond, suivant les géographes français, au méridien qui passe par l'Observatoire de Paris, et suivant les géographes anglais, à celui qui passe par rObservaloire de Grecnvrich ; on prend souvent aussi pour point de départ un méridien qui passe par Tlle de Fer, Tune des Canaries. Quel que soit le point de départ que l'on adopte, on indique le méridien d'un lieu

268 SECONDE PABTIE.

en énonçant le nombre de degrés et fractions de degré, comptés aur Téquateur, qui sont compris entre ce méridien et celui qui sert de point de départ. Ces degrés ont reçu le nom de degrés de longitude.

Dire, par exemple, que le cap de Bonne- Espérance est situé à t&^AS'ée longitude est de Paris, c'est dire que la distance entre le méridien de Paris et celui du cap, comptée sur Téquateur, en allant de Touest à Test, est de 16*2' 4à'.

Chaque méridien est divisé en deux parties égales par Taxe de la terre, puisque cet axe est un diamètre de ce méridien ; ce même méridien est aussi coupé en deux parties égales par l'équaleur, puisque ce sont deux grands cercles. D'ailleurs, le diamètre commun de ces deux grands cercles étant dans le plan de l'équateur, l'axe de la terre lui est perpendiculaire; or, deux diamètres perpendiculaires partagent une circonférence en quatre parties égales. Il suit de là que chaque méridien est divisé en quatre parties égales par les pdies et par l'équateur. Chaque méridien se divise en 360*; la distance du pôle à l'équateur, comptée sur un méridien quelconque , est donc de 90*. Par tous les points de division , on suppose menés des plans parallèles au plan de l'équateur ; ces plans coupent la surface sphérique suivant des petits cercles auxquels on donne le nom de cercles parallèlet , ou simplement de parallèles ; pour tous les lieux situés sur un même parallèle , la marche annuelle du soleil est la même.

Pour Indiquer sous quel parallèle se trouve un lieu du globe ^ Il suffit d'énoncer le nombre de degrés et fractions de degré , comptés sur un méridien , qui sont compris entre l'équateur et ce parallèle. Ces degrés ont reçu le nom de degrés de latitude.

Dire, par exemple, que la latitude de Paris est de 48*' SO' 14' nord , c'est dire que la distance entre l'équateur et le parallèle de Paris, comptée sur le méridien, en allant de l'équateur vers le pôle nord , est de 48* ôO' 14'.

On voit qu'un Heu du globe est parfaitement déterminé quand on connaît sa longitude , sa latitude et le sens dans lequel chacune d'elles est comptée ; car dès lors on connaît le méridien et le parallèle sous lesquels ce lieu est situé : ces deux circonférences se coupent en deux points ; mais le sens suivant lequel sont comptées sa longitude et sa latitude ne laisse aucune Incertitude dans le choix de celui qu'il convient d'adopter.

Quelques-uns des cercles parallèles à l'équateur ont reçu des noms particuliers. Ceux qui sont situés à 23* 28' environ de l'équateur, au nord et au sud, se nomment les tropiqties ; ces cercles sont ceux que le soleil , dans son mouvement apparent annuel, ne dépasse jamais, et dans le plan desquels il parait se mouvoir à l'époque des solstices. Le tropique nord se nomme le tropique du Cancer, et le tropique sud , tropique du Capricorne.

Les cercles parallèles situés, au contraire, à 23* 28' de chaque pôle se nomment les cercles polaires; pour les lieux du globe situés sous ces cercles, il y a 24 heures de jour à l'époque de l'un des solstices, et 24 heures de nuit à l'autre. Entre les cercles polaires et les pôles, l'inégalité des jours et des nuits est encore plus considérable ; et aux pôles il y a 6 mois de jour et 6 mois de nuit. Le cercle polaire voisin du pôle nord se nomme cercle polaire arctique , et celui qui est voisin du pôle sud se nomme cercle polaire antarctique.

Les astronomes, considérant la voûte céleste comme une surface sphérique» la divisent aussi par des cercles méridiens et par des cercles parallèles. Les étoiles paraissent faire en 24 heures une révolution, d'orient en occident, autour d'une droite fictive qu'on appelle Vaxe du monde. Les points où cet axe perce la voûte céleste sont les pôles du ciel. Le plan, perpendiculaire 2i l'axe, qui coupe la sphère céleste en deux hémisphères égaux , se nomme Véquateur céleste. Les plans qui passent par l'axe du monde coupent la sphère céleste

GÉOMÉTRIE DAMS L'ESPACE. 269

suivant des cercles méridiem ; ti ceux qui sont perpendiculaires à cet axe la coupent suivant des cercles parallèles.

La distance , comptée sur l'équaleur, entre le méridien d'une éloile et le méridien qui passe par un certain point de l'équateur nommé équinoxe du printemps , est ce que i'on nomme Vascension droite de celte étoile. La distance, comptée sur le méridien, entre l'équaleur et le parallèle de cette même étoile, est ce qu'on nomme sa déclinaison. On voit que la position d'une étoile dans le ciel est déterminée par son ascension droile et sa déclinaison , comme celle d'un point du globe est déterminée par sa longitude et sa latitude. Les astronomes réservent ces deux dernières dénominations pour les distances des étoiles rapportées, non plus à l'équateur, mais à Vécliptique, c'est-à-dire au cercle suivant lequel la sphère céleste est coupée par le plan de Yorbite de la terre prolongé , ou , en d'autres termes , par le prolongement du plan dans lequel le centre de la terre exécute sa révolution annuelle.

5€S. Lorsque les archilecles ont à construire une surface sphérique , telle que le dôme d'un monument , l'équateur de celte surface , lequel est alors liorizontal , est délermioé d'avance. Sur l'un des diamètres de l'équateur ils élèvent, en cliarpente, un demi-cercle vertical semblable à celui de la figure 438* ce demi-cercle est un méridien ; ils élèvent de la même manière une série d'autres méridiens verticaux, dont le nombre dépend de l'étendue de la sphère; tous ces méridiens viennent se croiser suivant un même rayon vertical. Ils réunissent alors les circonférences de ces méridiens par des poutrelles horizontales, courbées en arc de cercle , dont la réunion forme une série de cercles parallèles a l'équateur. Les méridiens et les parallèlles sont assez multipliés pour que les espaces quadrangulaires formés par l'intersection de ces cercles puissent être sans erreur sensible considérés comme plans. C'est sur ce système de charpente que vient s'établir la maçonnerie , dont la surface inférieure est alors sensiblement sphérique.

La surface extérieure du dôme est rendue sphérique de la même manière. Quelquefois, le ddme se réduite une toiture soutenue par une construction en fer-, celle-ci est également composée de cercles méridiens et de cercles parallèles.

Enfin , c'est d'après les mêmes principes que l'on construit la voûte sphérique de certains berceaux en treillage, dont on décore les Jardins.

On obtient, à l'aide du tour, les surfaces sphériques de petit rayon; pour cela , tandis que la pièce qu'on veut rendre sphérique tourne autour d'un axe constant, on fait mouvoir la pointe de l'outil suivant une demi-circonférence dont cet axe est le diamètre. C'est ainsi que s'obtiennent les billes de billard , les boules en cuivre qui servent d'ornement aux grilles et aux rampes d'escalier, etc.

S6G. Théorème. Deux surfaces sphériques de même rayon sont égales.

Eq effet, si Ton fait coïncider leurs centres, aucun point de Tune des deux surfaces ne pourra tomber en dehors ou en dedans de l'autre; car autrement il y aurait des points inégalement distants du centre, ce qui est contraire à la nature des deux surfaces.

Remarque. Pourvu que les centres coïncident, la coïncidence des deux surfaces aura lieu, quelle que soit la manière dont on les fasse tourner autour de ce centre.

Applications. 1. C'est en vertu de Tégalilé par coïncidence qu'on emploie le

moulage pour produire les surfaces sphériques; les boulels employés daBs^l'arlillerle s'obliennenl de celle manière.

II. G'esl sur le principe énoncé dans la remarque ci*dessus qu*esl fondé le genou à coquilles (flg. 466), au moyen duquel la planchelle, le graphomèlre el plusieurs aulres inslrumenls s'arllculenl avec leur support L4nslrumenl est fixé à une lit^e perpendiculaire ^ son plan , laquelle lige esl lerminée ellemême par une sphère. Le supporl esl armé , à sa par lie supérieure , de deux coquilles hémisphériques de môme rayon que la sphère qui lermine la lige. On sépare ces coquilles; on inlrodtiil enlre elles la sphère doul nous parlons; on resserre ensuile les coquilles à l'aide d'une vis de pression. Les deux surface» sphériques coincidenl alors , quelle que soit la direclion que prenne la lige ; ce qui permet de donner au plan de l'inslrumenl toutes les positions désirables.

867. Théorème. Les lignes courbes que l'on trace sur une sphèrif, au moyen d'un compas» sont des circonférences de cercle,

( On emploie pour cet usage un compas à branches recourbées (fig. 467), que l'on nomme dans les arts compas d'épaisseur, et que l'on pourrait appeler compas sphérique.)

Soit àBD (Hg. 454), la courbe décrite sur une sphère par l'une des pointes d'un compas dont Tautre pointe est demeurée en P. Soit 0 le centre de la sphère. Joignons PA, PB, OA, OB. Les droites ÂP et PB sont égales, puisque la distance rectiligne des pointes du compas n'a pas varié; d'ailleurs, OA et OB sont égaux comme rayons. Les triangles PAO , PBO ont donc leurs trois côtés égaux chacun à chacun , et sont égaux. Il en résulte que l'angle AOP est égal à l'angle BOP.

Dans le triangle PAO, abaissons du point A sur OP la perpendiculaire AC , et joignons CB. Les triangles AOC et BOC ont un angle égal AOC = BOC, un côté commun OC, et un côté égal AO=:OB; ces triangles sont donc égaux. Il s'ensuit que BC est perpendiculaire sur OP. Le plan des droites AC et CB est donc perpendiculaire lui-même sur OP ; et comme le point B est un point quelconque de la courbe ABD, il en résulte que tous les points de celte courbe sont dans le plan mené par le point C perpendiculairement à OP. Cette courbe est donc l'intersection de ce plan avec la surface sphérique ; donc c'est une circonférence de cercle qui a son centre au point C (561).

Corollaire I. Réciproquement : Toute circonférence ABD tracée sur une sphère peut être supposée décrite par la pointe mobile d'un compas, dont la pointe immobile serait placée à V extrémité P du rat/on OV perpendiculaire au plan ABD.

Car le point P, étant situé sur la perpendiculaire élevée au plan du cercle ABD par son centre C (561, Coroll. II), est à égale distance de tous les points de sa circonférence (406).

CoROLLAiRB II. Tous Ics ccrcles parallèles MNPQ , mnpq ^ m'n'p'q^, etc. (fig. 45ô), pourmeut ôtr§ décrits à l'aide d'un com-

GÊOIfÉTBIfi DANS L*£SPAGE. 271

pu» dont la pqiote immobile serait placée au point A ou au point B, extrémité du diamètre AB perpendiculaire aux plans de ces cereles, Et comme les points A et B sont des pôles , par rapport au grand cercle MNPQ considéré comme équateur, on dit aussi qu'ils sont les pôles des parallèles tnnpq^ mWp'q'y etc. ; et Ton nomme ainsi pôles d'un petit cercle les extrémités du diamètre perpendiculaire à son plan.

On dit, dans ce sens , que le cercle mnpq^ par exemple, peut être décrit du point A comme pôle.

CoROiLAïas IIL L'équateur MNPQ peut être décrit des points A ou B comme pôles , avec une ouverture de compas égale à la dis* tance rectiligne AM, c'est-à-dire à la corde du guadrans de grand cercle km'mM, Et réciproquement, tout cercle MNPQ, décrit d'un point A comme pôle, avec une ouverture de compas égale à la corde du quadrans d'un grand cercle de la sphère , est un grand cercle de cette sphère. Car si l'on joint un point M de ce cercle au centre 0 de la sphère, et qu'on fasse passer par le point M un méridien AMB, Tare AmM, sous-tendu par la droite AM, égale à la corde d'un quadrans de grand cercle, est un quadrans du méridien AMB; l'angle MOA est donc droit. Le point M étant un point quelconque de la circonférence MNPQ, il suit de là que tous les points de cette circonférence sont dans le plan mené par le point 0 perpendiculairement à AO, et que, par conséquent, cette circonférence est celle d'un grand cercle.

SG8. Problème. Trmver par une construction graphique le rayon d'une sphère donnée.

Tracez, d*un pôle P (fig. 454) pris arbitrairement sur la sphère donnée, un petit cercle ABD. Marquez sur la circonférence de ce cercle trois points à volonté. Au moyen du compas sphérique, prenez les distances rectilignes mutuelles de ces trois points. Avec ces (rois distances construisez un triangle sur un plan , et circonscrivez un cercle à ce triangle. La circonférence de ce cercle sera égale h la circonférence ABD.

Soit abd{ÛQ, 458) cette circonférence. Menez un diamètre ad et une droite XY perpendiculaire sur le milieu c de ce diamètre. Du point a comme centre, avec l'ouverture de compas AP, qui a servi a décrire du pôle P la circonférence ABD, décrivez un arc qui coupera XY en un point p. Le triangle acp sera égal au triangle ACP , car ces triangles sont rectangles , et ont l'hypoténuse égale et un côté égal KC=ac, comme rayons de cercles égaux. Il en résulte que l'angle apc est égal à l'angle APC. Sur le milieu • de ap élevez la perpendiculaire io qui coupera cX en o; la distance oa serji le rayon cherché. Car on aura op^^oa; les deux triangles AOP et aop Seront éjfaux comme étant tous deux isocèles , ayant les bases AP

et ap égales , Tangle apc égal à APC, et par suite le second angle à la base pao égal à PAO. Par conséquent, le côté oa est égal au côté OA, c'est-à-dire au rayon cherché.

tt(l9. Problème. Par deux points donnés ketJi (fig. 459) surnne sphère, faire passer un arc de grand cercle.

Soit 0 le centre de la sphère.'On peut toujours supposer qu'on ait déterminé le rayon de cette sphère , et par suite la corde du quadrans d'un grand cercle.

Cela posé, du point A comme pôle, avec une ouverture de compas égale à celte corde du quadrans, décrivez l'arc de grand cercle Pm. Du point B comme pôle, avec le môme rayon, décrivez l'arc de grand cercle P« qui coupera le premier en un point P. Imaginons qu'on ait tiré les rayons OA,OB et OP. Le plan du grand cercle mV est perpendiculaire au rayon OA qui aboutit à son pôle (667, Coroll. 1). De même le plan du grand cercle nP est perpendiculaire au rayon OB. Ces deux plans sont donc perpendiculaires au plan des rayons OA et OB (444, Coroll. I) ; leur intersection OP est donc elle-même perpendiculaire à ce plan (445). 11 en résulte que le point P est le pôle du grand cercle qui passe par les points A et B. Ainsi le grand cercle décrit du point P comme pôle (avec une ouverture de compas égale à la corde du quadrans) passera par les points A et B.

Remarque. Cette construction peut aussi servir à prolonger un arc de grand cercle déjà tracé sur la sphère.

870. Problème. Par vnpoinil (fig. 460) pris sur un arc de grand cercle, ÂB , faire passer un second arc de grand cercle, dont le plan soit perpendiculaire au plan du premier.

Soit 0 le centre de la sphère. Prolongez , s'il est nécessaire, l'arc donné, au moyen de la construction indiquée dans le numéro précédent. Du point I comme pôle, avec une ouverture de compas égale à la corde du quadrans , décrivez un petit arc qui coupe AB prolongé en un certain point P. Du point P comme pôle, avec le même rayon, décrivez l'arc IM; ce sera l'arc de grand cercle demandé.

En effet, si Ton mène le rayon OP, ce rayon sera perpendiculaire au plan de l'arc du grand cercle IM (867, Coroll. I). Le plan de l'arc AB qui passe par ce rayon sera donc perpendiculaire au plan de rare IM (444).

I 871 . Lemme. Le lieu des points de l'espace situés à égale distance des deux extrémités d*une droite donnée AB (fig. 461), est le plan PQ mené perpendiculairement à cette droite par son milieu I.

En effet : soit C un point pris dans le plan PQ ; joignons CA, CB, CI. La droite AB étant perpendiculaire au plan PQ, est perpendiculaire à CI qui passe par son pied I dans ce plan. Les droites CA

GÉOMÉTRIE DANS L'£SPAGE. 273

et CB sont donc égales, comme obliques s'écartant également du pied de la perpendiculaire CI ; donc : V Tout point pris dans le plan PQ est également distant des points A et B.

Soit, en second lieu, D un point pris hors du plan PQ; joignons DA et DB ; celte dernière droite percera le plan PQ en un point C. Joignons AC. On aura