DA<DC + CA

Mais on peut remplacer CA par CB qui lui est égal en vertu de la première partie de la démonstration ; il vient donc

DA<DC+CB ou DA<DB.

Donc : 2* Tout point pris hors du plan PQ est inégalement distant des points A et B.

Donc enfin : le plan PQ est le lieu des points également distants de A et de B.

Corollaire. Sur une sphère , le lieu des points situés à égale dis^ tance des extrémités d'un arc de grand cercle AB (fig. 462) , est la circonférence de grand cercle MM' qui passe par le milieu C de l'arc AB et dont le plan est perpendiculaire à celui de cet arc.

Car, soit 0 le centre de la sphère; tirons la corde AB, et le rayon CO qui la coupera en son milieu I et lui sera perpendiculaire. Les plans OAB et OMM' étant perpendiculaires , la droite AB menée dansTun d'eux perpendiculairement à leur intersection commune OC est perpendiculaire à l'autre. Le plan OMM' est donc perpendiculaire sur le milieu de la droite AB, et est par conséquent le lieu des points situés à égale distance de A et de B. Donc l'intersection de ce plan avec la sphère , c'est-à-dire la circonférence MM' , est le lieu des points de la surface sphérique situés à égale distance de A et de B.

872. Problème. Diviser en deux parties égales un arc de grand cercle AB (6g. 462).

Des points A et B comme pôles , avec une ouverture de compas arbitraire , décrivez deux arcs de cercle qui se coupent en un point M. Des points A et B, avec une ouverture de compas arbitraire, décrivez de même deux autres arcs qui se coupent en un point M'. Joignez les points M et M' par un arc de grand cercle (569) ; il coupera le premier en un point C qui sera le milieu de Tare AB.

Car, chacun des points M et M' étant , d'après la construction , à égale distance des points A et B, est situé sur la circonférence de gi-and cercle qui passe par le milieu C de AB, et dont le plan est perpendiculaire à celui de l'arc AB.

575. Problème. Par trois points donnés sur une sphère, faire passer une circonférence de cercle,

21k SECONDE PAUTIE.

Tout se réduit à trouver le pôle de cette circonférence. Soient A , B , C (fig. 462 ) , les trois points donnés. Par les points A et B, faites passer un arc de grand cercle (S69). Par les points B et C, faites de même passer un arc de grand cercle. Par le milieu I de Tare AB faites passer un arc de grand cercle Im dont le plan soit perpendiculaire au plan de Tare AB (o70) ; par le milieu H de Tare BC, faites passer de même un arc de grand cercle Hn, dont le plan soit perpendiculaire au plan de Tare BC. Le point P où ces deux arcs se rencontreront sera le pôle cherché; car, en vertu du lemme précédent , ce point sera à égale distance des deux points A et B et des deux points B et C , c'est-à-dire à égale distance des trois points donnés.

Remarque. Les grands cercles dont les arcs Im et Hn font partie se coupent en deux points qui tous deux sont les pôles delà circonférence demandée.

B74. Trois arcs de grand cercle qui se coupent deux à deux, AB, AC, BC (fig. 464), déterminent ce qu'on nomme un triangle sphérique. Dans un pareil triangle , on donne le nom de côtés aux arcs AB, AC, BC, et le nom d'angles aux angles dièdres formés par les plans de ces arcs.

Si Ton joint les trois sommets A , B , C , au centre 0 de la sphère, par les rayons OA, OB , OC, on forme un angle trièdre OABC qui a ce centre pour sommet. Ses angles dièdres sont précisément les angles du triangle sphérique ABC, et ses faces ont pour mesure les côtés de ce triangle, puisque ces côtés sont des arcs décrits de leur sommet commun 0 avec un même rayon. Toutes les questions relatives à la comparaison des triangles sphériques se ramènent donc à des questions relatives à la comparaison des angles trièdres. Et les propositions relatives aux angles trièdres s'appliquent aux triangles sphériques , pourvu qu'on remplace le moi J ace par le mot cétés, et les moi^angles dièdres par le mot angles. On a ainsi les proportions suivantes, qu'il nous suffira d'énoncer, en renvoyant aux propositions analogues concernant les angles trièdres :

L Dans un triangle sphérique quelconque , chaque côté êsi plus petit que la somme des deux autres, et plus grand que leur di/f^ rencf (485),

IL Dans tout triangle sphérique, la somme des trois côtés est moindre qu'une circonférence de grand cercle (laquelle mesure quatre angles droits) (487).

III. Dans tout triangle sphérique, la somme des angles est phts grande que deux angles droits et moindre que six (488).

IV. Deux triangles sphériques sont égaux (ou symétriques* qnnml ils ont leurs trois côtés égaux chacun à chacun (480, CoroH.) .

GÊOUJÊTHIB DAK8 L'fiSPAC& 275

On pourra résoudre, comme au numéro citét ce problème : Étant donnés les trois côtés d'un triangle sphérique, trouver ses angles.

V. Deux triangles sphériques sont égaux (ou symétriques), quand ils ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun (490, Coroll.).

On pourra résoudre, comme au numéro cité, ce problème: Étant donnés deux côtés d'un triangle sphérique et l'angle qu'ils comprennent, trouver le troisième côté, et les deux autres angles.

VI. Deux triangles sphériques sont égaux (ou symétriques) quand ils ont un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun (491,CoroU.).

On pourra résoudre, comme au numéro cité, ce problème: Étant donnés un côté d'un triangle sphérique et les deux angles adjacents, trouver le troisième angle et les deux autres côtés,

VIL Deux triangles sphériques sont égaux (ou symétriques), quand ils ont leurs trois angles égaux chacun à chacun (489, Coroll.).

On pourra résoudre , comme au numéro cité , ce problème : Étant donnés les trois angles d'un triangle sphérique, trouver ses côtés,

VIIL On pourra résoudre, comme au n*494, ce problème : Étant donnés deux côtés d'un triangle spMrique et l'angle opposé à l'un d'eux, trouver le troisième côté et les deux autres angles,

IX. Enfin, on résoudra, comme au n<» 495, ce problème : Étant donnés deux angles d'un triangle sphérique, et le côté opposé à l'un d'eux, trouver le troisième angle et les deux autres côtés.

Remarque. Dans toutes les propositions relatives à la comparaison des triangles spbériques, il s'agit toujours de triangles tracés sur une môme sphère , ou sur des sphères de même rayon.

875. Théorème. La ligne la plus courte que l'on puisse mener d'un point kàun autre B (fig. 465) sur la surface d'une sphère, est l'arc de grand cercle AB qui joint ces deux points.

Soit en effet AmlnCpH^B une courbe quelconque tracée sur la sphère, du point  au point B. Prenons un point C sur cette courbe, et menons les arcs de grand cercle CA et CB. Dans le triangle sphé*rîque ABC, on aura (574, Proposition 1) : AB<AC + CB.

Prenons entre A et C un point I, et entre C et B un point H sur la courbe, et joignons lA, IC, HC, HB. Nous aurons, en vertu de la même propriété des triangles sphériques :

AC<AI+IC et CB<CH+HB, d'oàrésttlta AB<AI+IG + CH-f HB«

276 SECONDE PÂETIE.

En oontîDuant à prendre des points intermédiaires et à les joindre aox précédents, on formerait une suite de lignes polygonales sphériques toutes de plus en plus grandes; et comme elles ont évidemment pour limite la courbe kmlnCpliqB , cette limite elle-même est plus grande que ÂB.

S76. Applications. La considéralion des triangles spbériques trouve une applicalion conUnuelle dans la géodésie et dans rastronomie. Pour en donner un exemple, supposons que l'on propose ce problème :

Étant données les longitudes L et V et les latitudes 1 et V de deux points M et M' du globe (fig. 466], situés dans V hémisphère nord et à Vest du méridien de Paris, trouver la plus courte distance de ces points sur la surface terrestre,

La plus courte dislance cherchée est l'arc de grand cercle MM' qui passe par ces deux points. Soient PMm et PM'm' les méridiens des deux points donnés, mm' l'arc de Téquateur compris entre ces méridiens , Pie pdIeetO le centre de la terre. L'arc cherché MM' et les portions PM et PM' des deux méridiens forment un triangle sphérique dans lequel on connaît : 1<* le côté PM, car on a PM=Pm— Mm=90*— î; 2" le côté PM', car on a de même PM'= Pm'— Mm'=90»— i'; 3" l'angle MPM', car l'axe OP du globe étant perpendiculaire au plan de Téquateur , et par conséquent , aux rayons Om et Om', Tan^fe de ces rayons, ou l'arc mm' compris entre ces côtés, mesurent l'angle dièdre des deux méridiens^ c'est-à-dire l'angle MPM' du triangle sphérique. Or, cet arc mm' est évidemment la difTérence entre les longitudes données L' et L. On connaît donc dans le triangle sphérique PMM' deux côtés et l'angle compris, et il s'agit de déterminer le troisième côté; c'est le problème du n* 490.

La valeur du troisième côté s'obliendra ainsi en degrés et fractions de degré, puisque après l'avoir déterminé graphiquement on pourra le mesurer au rapporteur. Mais il sera facile d'en déduire la longueur de l'arc MM' en myriamètres ; car si Ton nomme d l'expression de ce troisième côté en degrés et frac- Uons de degré , et R le rayon de la terre , on aura •

MM':27cR::d:360»,

d'où MM'=B2^52<i,

Si, par exemple, on a trouvé d=r3l<'l5'ou 1875', comme on a R=636"*',62, on en déduira, en réduisant les 360^ en minutes,

iaMi^^X3&5X636-y%62 X 1875,,„, "** - 113X21000 -^* '^^•

REXAftQUE. Nous avons supposé que les deux points donnés étaient situés tous deux dans l'hémisphère nord, et à l'est du méridien de Paris, auquel les longitudes sont supposées rapportées. Si l'un de ces points, le point M par exemple, était situé dans l'hémisphère sud, sa distance au pôle nord serait 90*4- ^ au lieu de 90*— 2. Si l'un de ces points, le même point N par exemple , était situé à l'ouest du méridien de Paris , la distance en longitude des deux points donnés serait L' + L, au lieu d'être L'— L.

577. Si Ton voulait, par quatre points donnés, non situés dans un même plan, faire passer une surface sphérique, tout se réduirait à en déterminer le centre. Pour cela, on chercherait le centre du cercle qui passe par trois des points donnés, et par ce centre on élèverait une perpendiculaire au plan de ces trois points; cette per-

pendiculaire passerait évidemment par le centre de la sphère demandée (B61, Coroll. II). On se procurerait de la même manière une seconde droite passant par le centre; l'intersection de ces deux droites déterminerait le point cherché.

578. Théorème. Tout plan Mi\ (fig. 467), perpendiculaire à t extrémité d'un rayon OA d'une sphère, est tangent à cette sphère.

Car si Ton joint le centre 0 de la sphère à un point quelconque B du plan , autre que le point A , Toblique OB sera plus longue que la perpendiculaire OA; le point B est donc situé hors de la sphère. Et comme ce point B est quelconque, il en résulte que le plan ne peut avoir que le point A commun avec la surface sphérique , et lui est, par conséquent , tangent en ce point.

579. THÉoaÈiiE. Tout plan MN (fig. 467), tangent en k à une surface sphérique, est perpendiculaire au rayon OA qui aboutit au point de tangence.

Car tous les points de ce plan tangent, à l'exception du point de tangence A, sont situés hors de la sphère. La droite OA est donc la plus courte distance du point 0 à ce plan ; cette droite est donc la perpendiculaire abaissée du point 0 sur ce plan (405, Coroll.).

Remarque. Lorsque deux plans tangents à une même sphère sont parallèles, les points de contact sont les extrémités d'un même diamètre ; car le diamètre mené perpendiculairement à l'un de ces plans est nécessairement perpendiculaire à l'autre, et ses extrémitéâ sont les points de tangence , d'après le théorème qui précède.

11 suit de là que ce diamètre est précisément égal à la distance des deux plans tangents.

Applications. I. La remarque qui précède fournit un moyen de mesurer le diamèlre d'une sphère donnée. Pour cela, on dispose deux plans verticaux pa* rallèles sur un même plan horizontal , de manière à pouvoir faire varier et mesurer leur distance. On interpose entre ces plans la sphère dont il s'agit; on rapproche les plans jusqu'à ce qu'ils soienl tangents tous deux ; et leur distance, mesurée par la perpendiculaire commune à leurs traces horizontales, est la longueur du diamètre cherché.

II. L'horizon sensihle pour chaque point de la surface du glohe est le plan tangent à celte surface , mené par le point que Ton considère. Chaque lieu du globe a donc son horizon particulier. La verticale de chaque lieu étant perpendiculaire à l'horizon , chaque lieu a donc aussi sa verUcale particulière. Si la terre élait parfaitement sphérique , toutes ces verticales iraient concourir au centre du globe.

586. L'intersection d'une surface sphérique et d'une surface cylindrique de révolution est , en général , une courbe à double courbure. Celle intersection se compose de deux courbes distinctes lorsqu'il y a pénétration, c'est-Vdlre quand toutes les génératrices de la surface cylindrique rencontrent la sphère. Elle se compose d'une seule courbe quand il y a arrachement, c'est-à-dire quand une partie seulement de ces génératrices rencontrent la sphère. Quand il y a pénétration et que l'axe de la surface cylindrique passe par le centre

27g SECONDE PABTIB.

delà iplière, l'Intersection se compose de deux chrconférenoee 6galei ¥la directrice de la surface cylindrique.

ApPLir.ATio«. Les archilecles ont à construire l'intersection d'une surface cylindrique avec une surface spliérique, lorsqu'ils veulent pratiquer une fenélre cintrée sur un dôme , ou lorsqu'une voûte en berceau doit déboucher dans une voûte spliérique.

ttSI. SI par tous les points de Téquateur d'une sphère on mène des parallèles à Taxe, chacune d'elles est tangente è un méridien, et toutes ces parallèles forment une surface cylindrique qui a réquateur pour directrice, et qui est tangente à la sphère.

Comme tous les grands cercles peuvent être pris indifféremment pour réquateur, chacun d'eux peut déterminer une surface cylindrique égale à la première. Il en résulte que, lorsqu'une surface cylindrique est tangente à une sphère, la première de ces surfaces peut tourner comme on voudra autour de son axe , et la seconde autour de son centre, sans que le contact cesse d'avoir lieu.

AprucATioNs. I. C'est d'après ce principe que l'on emploie dans les arU, et notamment dans l'artlUerle , des calibres cylindriques pour vérifier le diamètre des spbères.

II. Les rayons solaires qui viennent raser une surface sphérique forment une surface cylindrique de révolution tangente à la sphère; car ces rayons peuvent être considérés comme parallèles, è cause de l'éloignement du soleil. La ligne de séparation entre l'ombre projelée par la sphère sur une autre surface quelconque et la partie éclairée est donc l'intersecUon de celte dernière surlace avec une surface cylindrique.

Ainsi, le contour de l'ombre qu'une boule sphérique éclairée par le soleU projette sur un plan, est l'intersection d'une surface cylindrique de révolullon et d'un plan, c'esl-Wire une ellipse . dans le cas le plus général.

L'ombre qu'une pareille boule projette sur une muraille cylindrique ou conique fournira:* Pexemple de l'intersection de deux surfaces cylindriques, ou d'une surfaee cylindrique et d'une surface conique.

Si eette ombre était projetée sur une sphère, on aurait un exemple de l'Intersection d'une surface cylindrique et d'une surface sphérique.

III. Deux de ces exemples d'intersecUon se rencontrent dans le tracé de l'ombré d*une niehê (fig. 468). On sait que les niches destinées k recevoir des •Utues présentent une portion de surface cylindrique qui se raccorde avec un quart de sphère, c'est-i-dire qui est tangente è cette sphère. L'intersection de eette dernière avec le plan du mur dans lequel la niche est pratiquée est une demi-circonférence. L'mcUnaison des rayons solaires peut être telle que l'ombre de cette demi-circonférence se projette , en partie , sur la surface cyUndrique, et, en partie, sur la sphère. Mais la surface cylindrique formée par les rayons solaires qui viennent raser cette demi-circonférence est une surface cylindrique oblique.

S82. L'intersecUon d'une surface conique de révoluUon avec une sphère est généralement une courbe à double courbure. Celle inler&ecUon se comjKïse de deux courbes distinctes, lorsqu'il y li pénétration, c'est-à-dire quand toutes les génératrices de la surface conique renconlrent la sphère. Mais ici la courbe d'enirée diffère de la courbe de sortie , circonstance qui n'a pas lieu dans l'interseclion d'une surface cylindrique de révolution avec une autre surface cylindrique de révolution ou avec une sphère. Quand l'axe de la surface conique

GÊOMÊTBIE DANS L*£SPACE. 279

paM6 par le centre de ta sphère , rinterftecUon se compose de deux circonférences inégales, situées dans des plans perpendiculaires k l'axe de la surface conique.

Applications. I. Les architectes ont quelquefois à pratiquer des ouvertures à Toutes coniques dans un dôme; mais ordinairement l'axe de la surface conique ya passer par le centre de la sphère, en sorte que rintersection est une circonférence de cercle.

II. La perspective oflhre aussi une application de llntersecilon qui nous oocupe. Lorsque le plan du lableau est remplacé par une surface sphérique, comme cela arrive lorsqu'il s'agit de peindre une coupole , la perspective du contour d'un objet supposé placé au delà de cette coupole est rintersection de la surface sphénqiie avec la surface conique que forment les rayons visuels menés de l'œil du spectateur aux différents points de ce contour.

S85. Si, par un point pris sur le prolongement de l'axe d'une surface spbérique , on mène des tangentes à tous les méridiens, ces tangentes auront évidemment même longueur, les points de contact seront également distants de l'axe , et formeront la circonférence d'un petit cercle, dont le plan sera perpendiculaire à cet axe. Les tangentes elles-mêmes formeront une surface conique, qui sera tangente à la sphère.

Applications. Les rayons partis d'un point lumineux qui viennent raser une sphère forment une surface conique de révolution. La séparation entre l'ombre que projette ceUe sphère sur une surface quelconque et la partie éclairée est l'intersecUon de celle dernière surface avec la surface conique en question.

Ainsi le contour de l'ombre qu'une boule sphérique éclairée par une bougie projette sur un plan, est rintersection d'une surface conique et d'un plan, c'està-dire un cercle, une ellipse, une parabole ou une hyperbole , suivant la position du plan.

L'ombre qu'une pareille boule projette sur une surface cylindrique ou conique fournirait l'exemple de l'inlerseclion d'une surface cylincTrique et d'une surface conique , ou bien de deux surfaces coniques. Si cette ombre était projetée sur une sphère, on aurait un exemple de l'intersection d'une surface conique et d'une surface sphérique.

584. TfiÉORèinB. Deux surfaces sphériques ne peuvent se couper que suivant une circonférence dont le plan est perpendiculaire à la ligne des centres.

Car soient 0 et C (fig. 469) leurs centres, M et M' deux points communs aux deux surfaces. Tirons les rayons OM, CM, OM', CM'; joignons OC ; abaissons sur OC la perpendiculaire MP, et joignons M'P. Les triangles OMC et OM'C ont leurs trois côtés égaux chacun à chacun ; ils sont donc égaux ; et il en résulte que Tangle MOC est égal à l'angle M'OC. Les triangles OMP et OM'P ont, par conséquent, un angle égal compris entre côtés égaux chacun à chacun ; ils sont donc égaux , et Tangle OPM' est droit comme Tangle OPM.

I! suit de là que les points M et M' appartiennent au plan mené par le point P perpendiculairement à OC ; et comme ces points sont deux points quelconques communs aux deux sphères, il en résulte

que tous les points communs sont dans le plan dont nous parlons, et forment, par conséquent, l'intersection de ce plan avec la sphère, c'estr-à-dire une circonférence de cercle dont le plan est perpendiculaire à la ligne des centres OC.

Corollaire I. Lorsque deux surfaces sphériques ont un point M commun hors de la ligne des centres, elles se coupent; car si Ton £edt tourner le triangle OMC autour de OC, dans toutes les positions de ce triangle, le point M appartiendra aux deux sphères.

Corollaire II. Lorsque deux surfaces sphériques sont tangentes Tune à Tautre, le point de contact est situé sur la ligne des centres, car s*il était situé au dehors, les deux surfaces se couperaient.

Corollaire III. En examinant les diverses positions relatives que peuvent avoir deux sphères, on reconnaît que les conditions de contact ou d'intersection de deux cercles sont applicables à deux sphères.

Application. Dans une pile de boulets, d'obus ou de bombes, toutes les surfaces sphériques de ces projectiles sont taugenles entre elles.

GÉOMÉTBIB DANS L'ESPACE. 281

DEUXIÈME SECTION