CHAPITRE PREMIER

DU tAtEAÀDIBS,

tt8S. Il faut au moins quatre plans pour limiter en tous sens une portion de l'espace; car si, avec trois plans, on forme un angle trîëdre , Vespace compris entre ses trois faces restera illimité dans le sens opposé au sommet ; et pour le limiter dans ce sens, il faudra couper les trois faces par un quatrième plan. Le corps géométrique que Ton obtient ainsi a reçu le nom de tétraèdre (fig. 470). Les quatre plans qui forment un tétraèdre s'appellent ses faces; ces quatre faces sont des triangles.

Dn tétraèdre présente autant d'angles trièdres qu'il a de faces, c'est-à-dire quatre. Les angles dièdres formés par ces foces sont au nombre de six; il y a, par conséquent, six arêtes dans un tétraèdre. Le nombre total des angles plans dont se composent les faces est de douze.

Si l'on suppose que l'une des faces d'un tétraèdre SÂBC.(fig. 470), la face ABC par exemple, soit posée sur un plan horizontal, cette face sera ce que l'on nomme la hase du tétraèdre, et le sommet S de Tangle trièdre opposé à cette base sera le sommet du tétraèdre. U n'est pas nécessaire néanmoins qu'une face soit horizontale pour pouvoir être considérée comme base, il suffit de concevoir qu'elle puisse le devenir. Ainsi, l'on pourrait regarder la face SAB comme la base du tétraèdre SABC ; le point C serait alors son sommet.

886. On nomme hauteur d'un tétraèdre la distance entre son sommet et sa base ; c'est-à-dire la longueur de la perpendiculaire abaissée du sommet sur cette base.

Lorsque deux tétraèdres sont égaux, ils ont évidemment même hauteur; car si on les fait coïncider, on ne pourra abaisser qu'une perpendiculaire du sommet commun sur la base commune.

Celte hauteur est souvent indispensable à connaître. Pour l'obtenir directement, on peut employer le moyen suivant. Imaginons deux plans horizontaux

282 SECONDE PABTIB.

(fig. 471) susceptibles de s'écarter ou de se rapprocher l'un de Vautre^ volonté , et supposons qu'on puisse lire leur écart sur une tige verticale divisée. On posera le tétraèdre par sa base sur le plan horizontal inférieur; on rapprochera ensuite le plan supérieur jusqu'à ce qu'il vienne toucher le sommet du tétraèdre, et la distance des deux plans horizontaux sera alors égale k la hauteur cherchée.

$87. On peut aussi obtenir la hauteur d'un tétraèdre par une construction graphique. Soient en effet SABC (fig. 472) un tétraèdre, SH la perpendiculaire abaissée du sommet sur la base, c'est-à-dire la hauteur cherchée. Du pied H de cette perpendiculaire abaissons sur AB et sur BC les perpendiculaires Hl et HK, et joignons SI et SK. Ces droites, en vertu du théorème du n" 413, seront aussi respectivement perpendiculaires à AB et à BC. Imaginons que les triangles A SB, BSC , ISH se rabattent sur le plan ABC , en tournant respectivement autour des droites AB, BC et IH ; la droite SI viendra se rabattre sur le prolongement de IH, et la droite SK sur le prolongement de HK. Quant à la droite SH , elle se rabattra suivant une perpendiculaire à IH , et U sera facile de se procurer ce rabattement.

Pour cela, construisons sur un plan quelconque un triangle abc égal à la base ABC du tétraèdre donné. Construisons de même les triangles oS'd et hSTe respectivement égaux aux faces ASB et BSC de ce tétraèdre. Dei points S' et S" abaissons sur les droites ah et hc les perpendiculaires Sï et S'k qui se rencontrent en un point h. Les triangles rectangles BSl et bS't ayant l'hypoténuse égale et un angle aigu égal, savoir : S'6a=sSBA, par suite' de Tégalité destriangtas ASB et aS'b; il en résulte qu'on a S't=SI et bt = BL On démontrerait de mtat qu'on a bfc = BK.

Les angles ihk et IBK étant égaux par suite de l'égalité des triangles abc et ABC, si l'on faisait coïncider ces deux angles, le point 1 tomberait en t, el le point R en ft; la perpendiculaire IH suivrait la direction de la perpendiculaire tA, et la perpendiculaire KH suivrait celle de la perpendiculaire kh ; par conséquent , l'intersection H des deux perpendiculaires IH el KH coïnciderait avec l'inlersection h des deux perpendiculaires ih et hh; Il résulte de là que ih e$t égal àlH.

Élevons au point h une perpendiculaire à t'A, Du point % comme centre, avec tS' pour rayon, décrivons un arc de cercle qui viendra couper en S"* celte perpendiculaire, et joignons tS'^. Les triangles iS'^h et ISH seront égaux; car ils sont tous deux rectangles, et ont l'hypoténuse égaleS'*i=S'f =SI, et un côté égal t7i = IH. Il en résulte qu'on a S*'A=SH, c'est-è-dire que S^A est la hauteur demandée.

Hemarqujc. Nous avons supposé sur la figure que le pied H de la perpendiculaire SH tombait en dedans du triangle ABC, il pourrait tomber en dehors; mais cette circonstance n'empêcherait point d'appliquer les constructions précédentes.

888. Théorème. Deux tétraèdres sont égaux quand ils ont trais faces égales chacune à chacune et semblablement disposées.

Soient les deux tétraèdres SABC, S'A'B C (fîg. 473), dans lesquels nous supposerons trois faces égales chacune à chacune et semblablement disposées, savoir : SAB = S'AT»', SBC = S'B'C, et SA C = S'A'C; je dis que ces tétraèdres sont égaux; car il en résulte d'abord que les triangles ABC et A'B'C ont leurs trois côtés égaux chacun à chacun, et sont, par conséquent égaux. Par suite, les angles trièdres des deux tétraèdres sont égaux chacun à chacun, comnae ayant leurs trois faces égales chacune à chacune; et, par conséquent, leurs

GÊOMtTRIB DANS L*E8PAGB. 288

dièdres sont égaux chacun à chacun. Les deux tétraèdres ont donc toutes leurs parties égales chacune à chacune et semblablement disposées; ces tétraèdres sont donc égaux.

Corollaire. Un tétraèdre est déterminé lorsque Ton connaît trois de ses faces et Tordre dans lequel elles sont assemblées; car on en déduit immédiatement la quatrième face , puisque ses cdtés sont connus ; et les dièdres peuvent s'obtenir par la construction indiquée au n^ 489.

Appucatioh. CeUe manière de déterminer un tétraèdre par ses faces s'emploie lorsque l'on Tcut construire un tétraèdre creux en carton , en fer-blanc, en lôle, etc. 11 suffit de tailler les faces et la base, de manière qu'elles soient égales aux triangles donnés, et de les assembler ensuite dans l'ordre Indiqué.

680. Théorème. Deux tétraèdres sont égaux lorsqu'ils ont un dièdre égal, compris entre deux faces égales clioeune à chacune et semblablement disposées.

Soient SABC et S'À'B'C (fig. 473) deux tétraèdres dans lesquels on suppose les dièdres AS et A'S' égaux , et les faces ABS , ACS respectivement égales aux faces A'B'S' et A'C'S', et semblablement disposées; Je dis que ces tétraèdres sont égaux. Car si l'on fait coïncider les faces égales ACS et A'C'S', les faces ABS et A'B'S' seront dans un même plan, puisque les dièdres AS et A'S' sont égaux. Les angles plans ASB et A'S'B' étant égaux , la ligne S'B' suivra la direction de SB ; par une raison semblable , la ligne A'B' suivra la direction de AB. Par conséquent, le point B' tombera en B, et les deux tétraèdres auront leurs quatre sommets communs et coïncideront dans toute leur étendue ; donc ces tétraèdres sont égaux.

CoROLLAiSE. Un tétraèdre est déterminé quand on connaît deux de ses faces, le dièdre qu'elles forment, et la manière dentelles sont assemblées. Car si ABS et ACS sont les deux faces données, on connaîtra deux faces du trièdre S et Tangle dièdre compris AS; on pourra donc en conclure la troisième face par la construction du n* 490. Pareillement, on connaîtra deux faces du trièdre A, et l'angle dièdre compris ; on pourra donc en conclure la troisième face. Dans chacun des triangles BSC et BAC , on connaîtra alors deux côtés et l'angle compris; ces triangles seront donc déterminés. Connaissant toutes les faces du tétraèdre, on en déduira ses dièdres par la construction du n<» 489.

Application. Lorsqu'on a à construire un tétraèdre plein, en bois, en pierre, en métal, on peut employer ce mode de détermination. On donne au bloc une faee plane, sur laquelle on trace un triangle égal li l'une des faces connues, ASB par exemple. Suivant l'arête AS on fait passer un plan qui fasse avec le plan ASB un angledièdre égal au dièdre donné. Dans ce plan on trace un triangle égal à la seconde face connue ASC , et disposé de la manière indiquée. Cela fait, on mène un plan par les trois points B, S, C, et un autre plan par les trois points A, B, C, et la tétraèdre est construit.

28& SEGORDE PAKTIB.

ttAO. TiiOKim. Deux tétraèdres sont égaux lorsqu'ils ont une face égale, adjacente à trois dièdres égaux chacun à chacun et sem-' blablement disposés.

f Soient SABC et S'kVC (fig. 473) deux tétraèdres dans lesqueb on suppose les faces ABC et MVC égales , ainsi que les dièdres adjacents à ces faces; je dis que ces tétraèdres sont égaux. Car si Ton fiiit coïncider les faces égales ABC et A'B'C^ la face A'S'B' sera dans le plan de la face ASB, et le point S' tombera sur un point de ce plan. Pareillement, la face A'S'C sera dans le plan de la face ASC , et le points' tombera sur un point de ce plan. De même encore, la iace B'S'C sera dans le plan de la face BSC , et le point S' tombera sur un point de ce plan. Le point Sf devant tomber ainsi sur les trois plans ASB, ASC et BSC ne pourra se trouver qu*à leur point de rencontre S. Ainsi les deux tétraèdres auront leurs quatre sommets communs et coïncideront dans toute leur étendue; ces tétraèdres sont donc égaux.

Corollaire. Un tétraèdre est déterminé quand on connaît l'une de ses faces , ainsi que les dièdres qu'elle forme avec les trois autres. Car si ABC est la face donnée, on connaîtra, dans chacun des trié* dres A, B, C, une face et les deux dièdres adjacents ; on pourra donc en déduire le troisième dièdre et les deux autres faces (491). Dans chacun des triangles ASB, ASC, BSC, on connaîtra alors un côté et les deux angles adjacents; ces triangles seront donc déterminés ; et tout sera connu dans le tétraèdre.

Application. Ce mode de détermlnaUon pourrait être employé pour construire un tétraèdre plein. Pour cela, on donnerait au bloc sur lequel on aurait à opérer une face plane où l'on tracerait un triangle égal à la face connue du tétraèdre. Par les trois côtés de ce triangle , on ferait passer des plans qui fissent avec celui de ce triangle des angles dièdres égaux aux dièdres donnés; l'intersecUon de ces trois plans déterminerait le quatrième sommet du tétraèdre.

tt9i. Théorème. Deux tétraèdres sont égaux lorsqu'ils ont une arête égale et tous leurs dièdres égaux chacun à chacun et semble^-' blement situés.

Soient SABC et S'A'B'C (fig. 473) deux tétraèdres dans lesquels on suppose les arêtes SA et S'A' égales , ainsi que tous les dièdres semblablement situés ; je dis que ces tétraèdres sont égaux. En effet, les trièdres S et S' ont leurs dièdres égaux chacun à chacun et semblablement situés; ils sont donc égaux (492, Coroll.), et ont, par conséquent, leurs faces égales; ainsi les angles ASB, A'S'B' sont égaux, ainsi que les angles ASC et A'S'C. Par une raison semblable, les angles SAB et S'A'F sont égaux, ainsi que les angles SAC et S'A'C Il en résulte que les triangles ASB et A'S'B' ont un côté égal SA=S'A' adjacent à des angles égaux chacun à chacun , et sont conséquemment égaux. Il en est de môme des triangles ASC et A'S'C. Les

GÉOMÉTRIE DANS L'ESPAGB. 285

deux tétraèdres ont donc un angle dièdre égal AS = À'S' compris entre deux faces égales chacune à chacune et semblablement disposées ; en vertu du théorème du n^" 589 , ces deux tétraèdres sont donc égaux.

Corollaire. Un tétraèdre est déterminé quand on connaît Tune de ses arêtes et tous ses angles dièdres, ainsi que Tordre dans lequel ils sont disposés. Car ses dièdres étant connus , il sera facile d'en déduire ses angles plans (492) ; et si SA est Tarôte donnée, on connaîtra, dans chacun des deux triangles ASB et ASC, un côté et les deux angles adjacents; ces triangles seront donc déterminés. Par suite, dans chacun des triangles BSC et BAC, on connaîtra deux côtés et l'angle compris. Ces triangles seront donc déterminés à leur tour, et tout sera connu dans le tétraèdre.

ÀppLiCATiost. Pour construire un tétraèdre plein y dont on ne connaîtrait ainsi qu'une arête et les angles dièdres, il faudrait commencer par déterminer les angles plans. Les deux faces qui se coupent suivant Tarète donnée seraient alors déterminées , et la construction rentrerait dans celle qui a été indiquée au n** 589.

895È. Lorsque Ton ne donne que les angles dièdres d'un tétraèdre, ce tétraèdre cesse d'être déterminé. Car si , après avoir pris arbitrairement l'une de ses arêtes, SA par exemple (fig. 474), et achevé le tétraèdre SABC, comme il vient d'être dit dans le numéro précédent, on mène des plans parallèles à l'une des faces, à la face ABC par exemple , les nouveaux tétraèdres Sabc , Sa'&'c' , etc. , que l'on obtiendra , auront leurs dièdres égaux à ceux du tétraèdre SABC. En effet, si l'on compare les tétraèdres SABC et Sabc par exemple, on voit que les dièdres cbaS et CBAS , formés par la rencontre des plans parallèles abc et ABC avec un troisième plan ASB, sont égaux comme correspondants (4S5) ; il en est de même des angles acbS et ACBS , ainsi que des angles bcaS et BCAS. Quant aux trois autres angles dièdres , ils sont communs aux deux tétraèdres. Ces deux tétraèdres remplissent donc les conditions du problème , et il en est de même du tétraèdre Sa'6V, et de tous les autres.

Mais ces divers tétraèdres ont entre eux une relation remarquable : c'est que leurs faces sont semblables chacune à chacune et semblablement disposées. Prenons pour exemple les deux tétraèdres SABC et Sabc. Les droites AB et ab sont parallèles entre elles, comme étant les intersections de deux plans parallèles ABC et abc par un troisième ASB (448). Par conséquent, les triangles ASB et aSb sont semblables. Il en est de même des triangles BSC et 6Sc, ainsi que des triangles ASC et aSc. Les angles BAC et bac ayant leurs côtés parallèles et dirigés dans le même sens, sont égaux ; il en est de même des angles ABC et abc; les triangles ABC et abc sont donc équiangles, et, par conséquent, semblables.

tt95. En général :

Théorème. Deux tétraèdres qui ont leurs dièdres égaux cluicun à chacun et semblablement situés, ont kurs faces semblables chacune à chacune.

Soient, en effet, SABC et sabc (fig. 475) deux tétraèdres qoiont leurs dièdres égaux chacun à chacun et semblablement situés ; les trièdres S et 5, ayant leurs dièdres égaux chacun à chacun et semblablement situés, sont égaux (492, Coroll.), et ont, par conséquent, leurs angles plans égaux. On en peut dire autant des trièdres A et a, ainsi que des trièdres B et b. Il en résulte que les deux triangles ASB et asb sont équiangles, et, par conséquent, semblabJes. On démontrerait de môme la similitude des autres faces des deux tétraèdres.

Remarques. I. Deux tétraèdres qui ont ainsi leurs angles dièdres égaux chacun à chacun, et par suite leurs faces semblables, sont ce que Ton appelle des tétraèdres semblables.

Les faces semblablement situées sont le& faces homologues, et les côtés homologues de ces faces sont les arêtes homologues des deux tétraèdres.

On voit, d'après ce qui précède, que deux tétraèdres semblables ont leurs arêtes homologues proportionnelles , et qu'on a, par exemple, SA:5a :: BC : bc. Car la similitude des triangles ASB et asb donne la proportion

SA: «a:: SB: «6, et celle des triangles BSC et bsc donne

SB:sb::BC:be, d*où Ton tire, à cause du rapport commun ,

Sk:sa::BC:bc.

II. Cette proportionnalité s'étend aux hauteurs des deux tétraèdres. En effet, les trièdres S et ^ étant égaux, faisons-les coïncider comme l'indique la figure 474. La droite ab sera parallèle à AB, puisque les angles correspondants Sab et SAB sont égaux ; de même, la droite bc sera parallèle à BC. Par conséquent, le plan adc^ qui contient les droites ab et bc , sera parallèle au plan ABC qui contient les droites AB et BC (447). Si du point S on abaisse une perpendiculaire sur l'un de ces plans, elle sera donc aussi perpendiculaire à l'autre. Soient Sh et SH les hauteurs des deux tétraèdres , mesurées sur cette perpendiculaire; on aura, à cause du parallélisme des plans abc et ABC (403, CoroU. Il)

SA:Sa::SH:SA,

6É0MÊTRU DA£IS 1,'ESPAGB. 3S7

d*où il suit que les hauteurs sont proportioDuelles aux arêtes homologues.

III. U suit encore de la similitude des faces homologues que les aires de ces £fices sont entre elles comme les carrés de deux arêtes homologues quelconques, ou comme les carrés des hauteurs. Car on a, par exemple,

ASB:ûSft::Sr:S5'.

Mais on a aussi

sr:S?::5C':ft?::Sff:SAV

Donc àSB : flS6 : : ST : S? ; : se : î? : : Sff : ST, ce qui exprime la propriété énoncée.

lY. Enfin les aires des faces homologues sont proportionnelles entre elles; car on peut écrire, par exemple, d'apràs ce qui précède;

ÀSB:ûS6::Sr:§?

et BSC:*Sc::Si*:Sa";

d*où, à cause du rapport commun :

ASB : aSb :: BSC : bSc.

594. Théorâmb. Deux tétraèdres sont semblables lorsqu'ils ont une face semblable adjacente à trois dièdres égaux chacun à cfuLcun.

Car soient ABC et abc (fig. 475) les deux faces semblables, les trièdres A et a seront égaux comme ayant une face égale adjacente à deux dièdres égaux chacun à chacun ; il en résulte l'égalité des deux dièdres SA et sa. On démontrerait de la même manière Tégalîté des autres dièdres. Donc les deux tétraèdres sont semblables.

tt9IS. Théorème. Deux tétraèdres sont semblables lorsqu'ils ont un dièdre égal compris entre deux faces semblables chacune à cha" cune et semblablement disposées.

Car soient ASB, ASC et asb^ aso (fig. 475), les faces semblables chacune à chacune, semblablement disposées, et comprenant entre elles des dièdres égaux; les trièdres S et ^ seront égaux comme ayant un dièdre égal compris entre deux faces égales chacune à chacune ; il en résulte Tégalité des deux dièdres SB et sb. Les trièdres A et a seront aussi égaux , comme ayant un dièdre égal compris entre deux faces égales chacune à chacune ; il en résulte l'égalité des deux dièdres AB et ab. Les deux tétraèdres proposés ont donc une face semblable ASB, asb, adjacente à trois dièdres égaux chacun à chacun ; donc ils sont semblables en vertu du théorème précédent*

506. Théobème. Deux tétraèdres sont semblables l*Mrsqu'ils ont trois faces semblables chacune à chacune et semblablement disposées.

Car soient ASB, ASG, BSC (fig. 475) trois faces de Tun , respectivement semblables aux trois faces asb, ose, bsc de l'autre et semblablement disposées. Les trièdres S et 5 seront égaux , comme ayant leurs trois faces égales chacune à chacune et semblablement placées ; il en résulte Tégalité des dièdres SA et sa. Les deux tétraèdres proposés ont donc un dièdre égal compris entre deux faces semblables chacune à chacune et semblablement disposées ; donc ils sont semblables en vertu du théorème précédent.

S97. La construction donnée au n» SS7 pour obtenir la hauteur d'un tétraèdre, peut s'appliquer à un tétraèdre de dimensions quelconques, en employant au besoin une échelle de réduclion. Car si , au lieu de prendre àb,ae^hc^ oS', bS' ou bS", cS" respectivement égaux à AB, AC, BG, AS, BS et CS (fig. 472), on les prend proportionnelles à ces lignes, on aura les arêtes d'un télraèdre semblable au télraèdre proposé ; leurs hauteurs étant alors proporUonnelles à leurs aréles, on aura :

S'"h:SH::ab:AB.

Si , par exemple , ab contient autant de millimètres que AB contient de mètres , la hauteur cherchée SH contiendra autant de mètres que la hauteur construite S'^h contiendra de millimètres.

598. Théorème. Si deux tétraèdres ont même hauteur, et leurs bases sur un même plan, les sections faites par un même plan parallèle au plan des bases seront entre elles comme ces bases.

Soient SABC etOMNP (fig. 476) deux tétraèdres de même hauteur, dont les bases ABC et MNP sont supposées sur un même plan. Soient abc et mnp les sections faites par un môme plan parallèle au plan des bases. Des sommets S et 0 abaissons sur les deux plans parallèles les perpendiculaires SH et OL, qui rencontreront le plaa supérieur en h et en /. Par supposition, on aura SH = OL; on aura d'ailleurs AH = IL, puisque deux plans parallèles sont partout également distants ; il en résultera :

SH — AH = OL — /L ou Sh=Ol.

Les tétraèdres Sabe et SABC étant semblables (503), on aura :

a6(?:ABC::SÂ":Sff.

Les tétraèdres Omnp et OMNP étant semblables aussi, on aura de même:

mnpiWifiiÔfiW.

Mais puisque SA et 0/ sont égaux, ainsi que SH et OL, les deux proportions précédentes ont un rapport conunun ; les deux autres rapports sont donc en proportion, et Ton a

abc: ABC:: mnp :Mfi1f ou ote :mn;? :: ABC : MNP.

GÉOMÉTRIE DANS L'eSPâGE. 289

Corollaire. Si les bases ABC et MNP étaient équivalentes, les sections abc et mnp le seraient aussi.

509. Si du tétraèdre SABC (fig. 476) on retranche le tétraèdre Sabc, on aura ce qu'on appelle un tétraèdre tronqué \BCabc.

Lorsqu'on connaît la hauteur hfl d'un tétraèdre tronqué, il est souvent utile de déterminer la hauleur SH du tétraèdre dont il fait parUe. Pour cela, on a la proporUon (S93) :

SH:S/i::AB:a&,

d'où Ton lire SH : SH — Sft :: AB : AB— ah ,

ou bien SH : hH :: AB : AB— ab.

Les trois derniers termes de cette proportion étant connus, on en déduira le premier.

Application. Supposons , par exemple, que KR ait 2-,5, que ab ait 3- et que AB ait 4",S, on aura

SH:2-,5::4-,5:4-,6— 3", ou SH: 2-,6::4,6: 1,5,

d'où SH=:5=-^^=7-,5.

Remarque. Quant à la hauteur hH du tétraèdre tronqué , elle peut s'obtenir soit au moyen de deux plans horizontaux susceptibles de s'écarter ou de se rapprochera volonté, comme nous l'avons indiqué déjà (fig. 471), soit par un procédé graphique semblable à celui que nous avons employé pour déterminer la hauteur du tétraèdre. Car la hauteur du tétraèdre tronqué ABCabc (fig. 47G), c'est-à-dire la distance des plans parallèles ABC et abc, est la même que la hauteur d'un tétraèdre qui aurait pour base ABC et pour sommet le point b ; on n'aura donc qu'à joindre A6 et C&, et à opérer ensuite comme il a été dit au n* S87.

600. Parmi les différentes espèces de tétraèdres que Ton peut avoir à considérer, il y en a une qui mérite une attention particulière, c'est celle des tétraèdres dont toutes les facessont des triangles équilatéraux. Il résulte, de Tégalité de toutes les arêtes , l'égalité de tous les angles plans, et, par conséquent aussi, l'égalité de tous les angles dièdres. C'est en raison de ces égalités que les tétraèdres dont nous parlons ont reçu le nom de tétraèdres réguliers.

Tous les tétraèdres réguliers sont semblables entre eux ; c'est une conséquence du théorème du n*" B96, et de ce que tous les triangles équilatéraux sont semblables. Il en résulte que deux tétraèdres réguliers sont égaux lorsqu'ils ont une arête égale ; car alors la similitude des faces se change en égalité.

La mesure directe et le calcul trigonométrique ont fait voir que la valeur de l'angle dièdre dans les tétraèdres réguliers est de 70*" 31' 43'',6.

Application. On trouve dans la nature des corps dont la forme est celle d'un télraèdre régulier : tels sont certains crisUux de %inc sulfuré, c'est-à-dire de zinc combiné au soufre ; tels sont aussi les cristaux de cuivre gris^

290 SECONDE PARUB.