CHAPITRE II

DBS PTftÂMIDKS.

601. Si Ton coupe par un même plan toutes les arêtes d'un angle polyèdre , la seclion sera un polygone , et les faces de Tangle polyèdre , limitées à ce plan, seront des triangles. L'espace terminé par ce polygone et par ces triangles est ce qu'on nomme une pyramide.

Le polygone dont nous venons de parler se nomme la base de la pyramide ; les triangles sont ses faces , et le sommet de l'angle polyèdre est le sommet de la pyramide.

On ne considère, dans la Géométrie élémentaire, que les pyramides convexes, c'est-à-dire dont la base est un polygone convexe.

Les pyramides se subdivisent d'après le nombre des côtés du polygone qui leur sert de base. Le tétraèdre , qui n'est autre chose qu'une pyramide dont la base est un triangle , prend le nom de pyramide triangulaire. Une pyramide est quadrangulaire quand sa base est un quadrilatère ; elle est pentagonale, hexagonale, etc., si sa base est un pentagone, un hexagone , etc.

On désigne une pyramide par la lettre placée à son sommet, suivie des lettres qui servent à désigner sa base. On dit ainsi la pyramide SABCDE (fig. 477).

Si , par le sommet S d'une pyramide SA6CDE et par les diagonales AC , AD de sa base, on mène des plans, ces plans prennent le nom de plans diagonaux. De même que les diagonales AC , AD partagent le polygone ABCDE en triangles ABC, ACD, ADE, ainsi les plans (fiagonaux ASC, ASD partagent la pyramide en tétraèdres SABC , SA CD, SADE, qui ont pour sommet commun le sommet de la pyramide, et pour bases les triangles ABC , ACD, ADE.

Le nombre de ces tétraèdres est égal au nombre des côtés de la base diminué de deux.

Tous ces tétraèdres ont même hauteur; cette hauteur est la longueur de la perpendiculaire abaissée du point S sur le plan ABCDE. Cette perpendiculaire est ce qu'on nomme la hauteur de la pyramide.

Pour Tobtenir, on voit qu'il suffit de déterminer celle du tétraèdre SÂBC» par eiemple , en employant Tun des procédés que nous avons fait connailre

(586 el 587}.

602. Théorème. Deux pyramides sont égales lorsqu'elles ont même base et deux faces contiguês égales chacune à chacune et semblablement disposées.

Soient, en effet, SABCDE et S'ÀÏCiyE' (fig. 477) deux pyra-

mîdes, qui ont des bases égales ABCDE, A'B'C'D'F, et les faces con-

ligues ÀSB, BSC, respectivement égales aux faces con ligués A'S'W,

B'S'C, disposées d'ailleurs semblablement; je dis que ces pyramides

sont égales.

Menons en effet les plans diagonaux ASC et A'S'C. Les triangles ABC et A'B C seront égaux , par suite de Tégalité des polygones ABCDE et A'B'C'D'E'. Les tétraèdres SABC et S'A'B'C auront donc trois faces égales chacune à chacune et semblablement disposées; ces tétraèdres seront donc égaux (588). Imaginons que Ton fasse coïncider les polygones ABCDE et A'B'C'D'E', les triangles ABC et A'B'C coïncideront ; les tétraèdres SABC et S'AB'C, coïncideront donc aussi, puisqu'ils sont égaux. Les deux pyramides auront donc tous leurs sommets communs, et coïncideront dans toute leur étendue. Donc ces pyramides sont égales.

605. On donne le nom de pyramides semblables à celles qui peuvent se décomposer en un même nombre de tétraèdres semblables et semblablement disposés. Cette définition conduit aux deux théorèmes suivants :

Théorème. Deux pyramides semblables ont leurs faces homologues et leurs bases setriblables.

Soient SABCDE et sabcde (fig. 478) deux pyramides semblables. Menons dans chacune les plans diagonaux ASC, ASD et ose, asd. D'après la nature des pyramides proposées, les tétraèdres SABC et sabc seront semblables; il en sera de même des tétraèdres SACD et sacd^ ainsi que des tétraèdres SADE et sade. Ces diverses similitudes entraînent celle des faces ASB et asb, BSC et bsc, CSD et csd^ DSE et dse^ ESA et esa. Elles entraînent aussi celle des triangles ABC et abc, ACD et acd^ ADE et ode. 11 en résulte que les polygones ABCDE et abcde sont dcconiposables en un môme nombre de triangles semblables et semblablement disposés, c'est-à-dire que ces polygones sont semblables.

CoROLLAinB L Deux pyramides semblables SABCDE ei sabcde onX leurs arêtes homologues proportionnelles; car on a, par exemple, en vertu de la similitude de leurs faces homologues et de leurs bases , les proportions

SA:5a:: AB:a6; SDr^d:: Gù\cd\ AB:a*::CD:cd;

et, à cause des rapports communs, il vient

SA : 5a :: SD : sd :: AB : ab :: CD : cd, etc.

Corollaire II. Cette proportionnalité s'étend aux hauteurs des deu:x pyramides : car ces hauteurs étant précisément celles des té-^

traëdres dont elles se composent , on aura, en nommant H et A ces hauteurs

Sk:sa::E:h, et par conséquent

Sk:sa::SD:sd:: hB:ab::CD:cd::E:h, etc.

Corollaire III. Les faces homologues, ou les bases des deux pyramides , sont entre elles comme les carrés de deux arêtes homologues quelconques, ou comme les carrés des hauteurs. Car la similitude des tétraèdres SÀBC et sabc donne

SAB : sab :: ST: Jâ' :: H* :^,

ou :: S5* : SS* :: CD' : ê?, etc. ;

on obtiendrait la même proportionnalité pour les autres faces. Les bases étant des polygones semblables, on a aussi :

ABCDE : abcde :: XF : Tb^ :: SP: Ta* :: H* :Â*, etc.

604. Théorème. Si deux pyramides ont leurs bases semblables, et deux faces contiguès homologues semblables chacune à chacune, ces pyramides sont semblables. *

Soient SABCDE et sabcde (fig. 478 ) deux pyramides qui ont leurs bases ABCDE et abcde semblables , ainsi que les deux faces contiguès homologues ASB, BSC et asô, bsc\ je dis que ces pyramides sont semblables.

En effet, si l'on mène les plans diagonaux ASC, ASD et ose, asdy les deux polygones semblables ABCDE et abcde seront décomposés par les lignes AC , AD et ac^ ad, en un môme nombre de triangles semblables chacun à chacun et semblablement disposés.

Les tétraèdres SABC et sabc auront donc, trois faces semblables /chacune à chacune et semblablement disposées, savoir : ASB et asby BSC et bsc, ABC et abc ; ces tétraèdres seront donc semblables (S96). Il en résulte que les angles dièdres SACB et sacb sont égaux , ainsi que leurs suppléments SACD et sacd.

Les tétraèdres SACD et sacd ont donc un angle dièdre égal compris entre deux faces semblables chacune à chacune , savoir : les faces ASC et asc par suite de la similitude des tétraèdres SABC, sabc y et les faces ACD et acd par suite de la similitude des polygones ABCDE et abcde. Ces tétraèdres sont donc semblables (o98).

On démontrerait de la même manière que tous les tétraèdres dont se composent les deux pyramides sont semblables deux à deux , et d'ailleurs semblablement disposés. Ces pyramides sont donc semblables.

B05. Théorèioi. Si deux pyramides ont leurs bases semblables.

GÉOMÉTRIE DAHS L'bSPACE. 393

el deux fc^ees liomologues semblables également inclinées sur celte bcae, ces pyramides sont semblables.

Soient SÂBCDE et sabcde (fig. 478) deux pyramides qui ont leurs bases ABCDE et abcde semblables, les deux faces homologues ASB et asb semblables, et les dièdres AB et ab égaux ; je dis que ces pyramides sont semblables. En efTet, si Ton mène les plans diagonaux ASC et ose, les triangles ABC et abc seront semblables à cause de la similitude des bases des pyramides ; les tétraèdres SÂBC et sabe seront semblables comme ayant un dièdre égal compris entre deux faces semblables chacune à chacune : leurs faces homologues BSG et bsc seront donc semblables. Les pyramides rentrent donc dans le cas du théorème précédent, et sont par conséquent semblables.

606. Théorème. Si dans une pyramide SABCDE (fig. 479) on mène un plan àbcde parallèle à la base, la pyramide Sabcde ainsi formée est semblable à la pyramide totale.

En effet, la droite ab est parallèle à AB, puisque ces droites sont les intersections de deux plans parallèles ABCDE , abcde , par un troisième plan ASB; de même bc est parallèle à BC, cd parallèle à CD, et ainsi de suite. Les angles abc et ABC sont donc égaux, comme ayant leurs côtés parallèles et dirigés dans le même sens ; il en est de même des angles bcd et BCD, et ainsi de suite.

En vertu des mêmes parallélismes , les triangles aSb et bSc sont respectivement semblables aux triangles ASB et BSC ; on a donc

a&:AB::S6:SB, et S6:SB :: 6c:BC; d'où , à cause du rapport commun ,

ab:kB::bc:BC.

On démontrerait de même que l'on a

ftc:BC::cd:CD,

et ainsi de suite. Les polygones abcde et ABCDE ont donc leurs angles égaux chacun à chacun , et leurs côtés homologues proportionnels; ces polygones sont donc semblables.

Il en résulte que les pyramides Sabcde et SABCDE ont leurs bases semblables, ainsi que les faces contiguês aSA, bSc et ASB, BSC; ces pyramides sont donc semblables en vertu du théorème précédent.

Remarque. Le théorème du n*" 598 s'étendrait sans peine à deux pyramides quelconques de même hauteur.

607. Si de la pyramide SABCDE on retranche la pyramide Sabcde, on obtient ce qu'on appelle une pyramide tronquée ASCDEabcde.

On obtiendrait la hauteur de cette pyramide tronquée comme celle d'un

204 SECON0K PARTIE.

tétraèdre tronqué , et l'on en déduirait de même la luuteur de U pyiftmlde totale.

GOO. Une pyramide est dite régulière lorsque sa base est un polygone régulier, et que son sommet est situé sur la droite élevée par le centre de ce polygone perpendiculairement à son plan.

Soient SÂBCDEF (fig. 480) une pareille pyramide, 0 le centre du polygone régulier ABCDEF; la droite SO sera perpendiculaire au plan de ce polygone. Tous les sommets A, B,C, D,E, F, de celui-ci étant également distants du centre 0, il en résulte que les arêtes SA, SB, SC, SD, SE, SF, sont des obliques qui s'écartent éga^ lement du pied de la perpendiculaire SO ; ces arêtes sont donc égales, et comme les côtés AB, BC, CD, etc., du polygone régulier sont égaux , il s'ensuit que toutes les faces ASB, BSC, CSD, etc., de la pyramide sont des triangles isocèles égaux.

Tous les angles trièdres A, B, C, etc., d'une pyramide régulière , ayant leurs faces égales chacune à chacune, il s'ensuit que leurs angles dièdres sont égaux chacun à chacun ; par conséquent, toutes les faces ASB, BSC, CSD, etc., sont également inclinées sur la base et entre elles.

La droite SO se nomme Vaxe de la pyramide régulière.

Remarque. Le procédé çrapbique qui sert 'k déterminer la hauteur d'une pyramide 8e simplifie lorsque la pyramide est régulière, parce que l'on connaît d'avance le pied 0 de la perpendiculaire SO, ce pied étant le rentre de la base. Tirons le rayon OA ; le triangle SOA sera rectangle en 0, puisque SO est perpendiculaire sur le plan AUCDEF. Dans ce triangle on coonallOA. et S\, il est facile d'en déduire SO.

Si , au contraire, on connaissait SO et OA, il serait facile d'en déduire SA.

Deux pyramides régulières de même base et de même hauteur sont égales. Car si l'on fait coïncider les bases, les perpendiculaires élevées au centre de ces bases se confondront , et puisque les pyra* mides ont même hauteur, leurs sommets coïncideront aussi.

Applications. 1. Pour exécuter une pyramide régulière pleine, en bols, en pierre, etc., on donne au bloc une face plane, sur laquelle on trace le polygone régulier qui doit servir de base à la pyramide. Ayant déterminé Tinclinaison que doit avoir chaque face par rapport à la base , par chacun des côtés de celle base on Tail passer un plan qui Tasse avec celui de la base un angle dièdre égal è l'inclinaison déterminée. Ces plans sont les faces de la pyramide demandée , et vont concourir en un même point qui en est le sommet.

II. Pour exécuter en carton, en fer-blanc, etc., une pyramide régulière creuse, il sufiil de tailler séparémenl le polygone régulier qui doit lui servir de base, et les triangles isocèles égaux qui doivent lui servir de faces, puis d'assembler ce polygone et ces triangles.

III. Les loils des tours carrées ont ordinairement la forme d'une pyramide régulière à base carrée; il en est de même des loils des pavillons carrés qui ornent parfais les jardins. Les guérites sont souvent aussi surmontées d'une pareille pyramide.

Les célèbres pyramides d'Ëgyptes ont des pyramides régulières à base carrée.

IV. La partie latérale d'un réverbère présente une pyramide régulière tronquée . dont la grande base est en desous.

V. Lorsqu'une bougie allumée est placée sur une table rectangulaire, et qu'il n'y a point d'autre lumière dans l'apparlemeni , tout l'espace situé dans l'ombre forcne une pyramide quadrangulaire tronquée , qui a pour sommet la flamme de la bougie. Si la table est carrée, et que la bougie soit placée sur la yerticale du centre de celle table , la pyramide tronquée est régulière.