CHAPITRE IIL

DK8 PEMMBS.

600. On désigne sous le nom de prisme un corps géométrique dont deux faces sont des polygones égaux et parallèles , et dont toutes les autres faces sont des parallélogrammes , en nombre égal à celui des côtés de chacun de ces polygones. La figure 48i représente un prisme; les polygones ABCDE, FGHIK, égaux et parallèles, sont ses bases; on réserve le nom de faces pour les parallélogrammes ABGF, BCHG, CDIH, DEKI, EAFK.

Toutes les arêtes AF, BG, CH, DI, EK, qui joignent les deux bases, sont égales et parallèles ; car deux de ces arêtes consécutives sont toujours des côtés opposés d'un même parallélogramme.

La hauteur d'un prisme est la distance mutuelle de ses bases.

Elle peut s'obtenir au moyen des deux plans parallèles mobiles représentés sur la figure 47i, ou par une construction graphique, en observant que cette hauteur est celle du tétraèdre qui aurait pour base le triangle ABC, et pour sommet le point G. On n'aurait doue qu'à tirer AG et GC, et à opérer comme il a été dit au n"» S87.

Les prismes se subdivisent d'après la nature de leur base; ils sont triangulaires, quadrangulaires, pentagonaux, etc., suivant que leur base est un triangle, un quadrilatère, un pentagone, etc.

Tout plan mené par deux arêtes latérales qui ne font point partie d'une même face est ce qu'on nomme un plan diagonal. Les plans diagonaux menés par une même arête AF, partagent le prisme total en autant de prismes triangulaires que la base a de côtés moins deux. Tous ces prismes triangulaires ABCFGH, ACDFHI, ADEFIK, ont même hauteur, puisque deux plans parallèles sont partout également distants.

Dans la Géométrie élémentaire , on s'occupe particulièrement des prismes convexes, c'est-à-dire dont les bases sont des polygones convexes.

BiO. Théorème. Deux prismes sont égaux lorsqu'ils ont une hase et une face égales chacune à chacune, semblablement disposées, et comprenant un angle dièdre égal.

Soient ABCDEFGHIKet A'B'C'D'ET'G'HI'K' (ou pour abréger AI et Al') (fig. 482) deux prismes dans lesquels on suppose la base A'B'C'D'E' égale à labase ABCDE, laface A'B'G F, égale à la face ABGF, semblablement disposées , et comprenant entre elles des angles dièdres égaux A'B' et AB; je dis que ces prismes sont égaux.

En efTet , imaginons que Ton fasse coïncider la base A'B'C'iyE' avec son égale ABCDE ; à cause de Tégalité des dièdres ci-dessus désignés , la face A'B'G'F' se trouvera dans le plan de la face ABGF. L'angle A'B'G' étant égal à Fangle ABG, Taréte B'G' prendra la direction de BG, et comme ces arêtes sont égales , le point G' tombera en G. Par une raison semblable, le point F' tombera en F.

Les faces B'C'H'G' et BCHG ayant trois points communs, B, G, C, seront dans un même plan ; la droite C'H', égale et parallèle à B'G', coïncidera donc avec CH, égale et parallèle à BG. Par conséquent, le point H' tombera en H.

En répétant le même raisonnement pour les faces suivantes H'CDT etHCDI, on prouverait que le point F tombera en I, et ainsi de suite. Les deux prismes proposés auront donc tous leurs sommets communs , et coïncideront dans toute leur étendue , donc ces prismes sont égaux.

Corollaire. Un prisme est déterminé lorsqu'on connaît une de ses bases, une de ses faces, la manière dont elles sont assemblées, et Tangle dièdre qu'elles forment. Car si ABCDE est cette base et ABGF cette face, on connaîtra dans l'angle trièdre B deux faces ABG, ABC, et l'angle dièdre compris AB; on pourra donc déterminer la troisième face GBC et l'angle dièdre BC. Connaissant les côtés BG et BC du parallélogramme BCHG, et l'angle compris GBC, on pourra construire ce parallélogramme. Dans l'angle trièdre C on connaîtra alors deux faces BCH , BCD, et l'angle dièdre compris BC; on pourra donc déterminer la trosième face HCD et l'angle dièdre CD. Connaissant les côtés CH et CD du parallélogramme CDIH, et l'angle compris HCD, on pourra construire ce parallélogramme. En continuant ainsi , on déterminera successivement toutes les parties du prisme proposé.

Applications, h Pour construire en carlon, en fer-blanc, etc., uu prisme creux dont on connaîtrait la base, une face et l'angle dièdre compris, on pourrait employer le mode de détermination précédent. Après avoir construit tous les parallélogrammes séparément, on n'aurait plus qu'à les assembler entre eux el avec les bases.

II. Pour construire avec les mêmes données un prisme plein, en bois, en pierre , ou en mêlai, on donnerait au bloc une face plane, sur laquelle on tracerait la base donnée ABCDE. Suivant le côté AB, on mènerait un plan qui fil

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avec la base vn angle dtèdre égal à Tangle donné , el sur ce plan on tracerait le parallélogramme donné ABGF. Suivant BG et BC, on ferait passer un plan, sur lequel on achèverait de tracer le parallélogramme BGHG. Suivant HC et CD, on ferait passtr un plan , sur lequel on achèverait de tracer le parallélogramme GDIH. En continuant ainsi, on déterminerait toutes les faces latérales; il ne resterait plus qu'à faire passer un plan par les poinls F, G, H ; ce plan contiendrait les points I, K, et déterminerait, par son intersection avec les faces latérales, la base supérieure FGHIK.

611. Théorème. Deux prismes sont égaux lorsqu'ils ont une base et deux faces continués égales chacune à chacune et semhlablement disposées.

Car soient la base A'B'CTD'E' (fîg. 482) égale à la base ABCDE , la face A'B'G'F égale à la face ABGF, et la face B'G'H'G' égale à la face BCHG. Les angles trièdres B' et B ont leurs trois faces égales chacune à chacune et semblablement disposées, ils sont donc égaux. Par suite, l'angle dièdre FA'B'C' est égal à Tangle dièdre FABC. Les deux prismes rentrent donc dans le cas du théorème précédent, et sont, par conséquent, égaux.

612. Théorème. Si Von coupe un prisme quelconque par un plan parallèle aux bases, la section est un polygone égal à chacune de ces bases.

En effet, soient AI (fig. 483) un prisme, LMNPR la section faite par un plan parallèle aux bases. Les lignes LM et AB sont parallèles, puisqu'elles sont les intersections de deux plans parallèles par un troisième ABGF. Il en résulte que la figure ABML est un parallélogramme , et que LM= AB. Par une raison semblable , MN est égal et parallèle à BC ; NP est égal et parallèle à CD ; et ainsi de suite. Les angles LHN et ABC sont égaux, comme ayant leurs côtés parallèles et dirigés dans le même sens ; il en est de môme des angles MNP et BCD ; et ainsi de suite. Les polygones ABCDE et LMNPR ont donc leurs côtés égaux et leurs angles égaux chacun à chacun, et disposés d'ailleurs dans le môme ordre ; ces polygones sont donc égaux. .

615. Lorsque les arêtes latérales d'un prisme sont perpendiculaires aux bases, ce prisme prend le nom de prisme droit. Toutes . ses faces sont alors des rectangles , et chacune de ses arêtes latérales mesure la distance des deux bases , c'est-à-dire la hauteur du prisme. Déplus, chaque faœ contenant deux perpendiculaires aux bases est elle-même perpendiculaire sur ces bases.

Un prisme droit est déterminé quand sa base et sa hauteur sont connues. Pour le construire, il suffit d'élever, suivant les côtés de sa base, des plans perpendiculaires à cette base, de donner aux arêtes latérales une longueur égale à la hauteur du prisme , et de mener un plan par les extrémités de ces arêtes. Deux prismes droits sont égaux lorsqu'ils ont même base et même

298 SBCONDB PARTIE.

hauteur. Car alors leurs faces rectangulaires sont égales deux à deux, comme ayant môme base et même hauteur.

Si la base d'un prisme droit est un polygone régulier, ce prisme prend lui-môme le nom de prisme régulier (fig. 484). Toutes ses faces sont alors des rectangles égaux. La droite OV, qui joint les centres des deux bases, se nomme Vaxe du prisme régulier.

Lorsque Ton coupe un prisme quelconque par un plan incliné à la base, on obtient ce que Ton nomme unprisme tronqué (fig. 485). La section diffère, en général , de la base, et les faces latérales sont ( en général ) des trapèzes.

Applications. I. La toiture des maisons ordinaires , en faisant abstraction de la sailiie des mansardes, lucarnes, etc., présente la forme d'un prisme triangulaire droil dont les bases sont verticales. Quelquefois ce prisme est tronqué.

II. Les pierres qui forment l'angle d'un mur , que cet angle soil d*aUleun aigu ou obtus, sont aussi des prismes droits.

Les piédroits qui forment le jambage d'une porte ou d'une croisée sont encore des prismes droits; mais leur base n'est pas toujours un polygone coa?exe : dans les portes évasées, par exemple, la base des piédroits offre un angle rentrant (Og. 48G).

m. Les prismes droits se rencontrent dans un grand nombre de détails de charpente : par exemple, les arbalétriers et Ventrait d'une ferme de toiture sont des prismes droits dont les bases sont verticales, et dont les arêtes latérales sont placées horizontalement.

IV. Certains salons dits octogones présentent la forme d'un prisme octogonal régulier.

Celte forme est celle que l'on donne le plus souvent ^ l'équerre d'arpenteur (flg. 34).

Enfin , l'on trouve dans la nature même des exemples de prismes droits et de prismes réguliers. Les alvéoles que construisent les abeilles sont des prismes hexagonaux réguliers. Vémeraude, le spath d'Islande se présentent souvent sous cette forme (fig. 484). La tourmaline offre parfois un prisme droit, dont la base est un polygone de 0 côtés (fig. 487 ).

Des parallélépipèdes.

614. Lorsqu'un prisme a pour base un parallélogramme , il prend le nom de parallélépipède. Ses six faces sont alors des parallélogrammes.

Les faces opposées , telles que AEHD et BFGC ( Rg. 488 ) , sont des parallélogrammes égaux. Car ÀE est égal et parallèle à BF, puisque ce sont des côtés opposés d'un même parallélogramme ABFE; de même AD est égal et parallèle à BC , puisque ce sont des côtés opposés d'un même parallélogramme ABCD; de plus, les angles D.\E et CBF sont égaux , comme ayant leurs côtés parallèles et dirigés dans le même sens ; par conséquent, les parallélogrammes AEHD et BFGC sont égaux.

On voit, en outre, que ces faces sont parallèles, puisque les

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droites À£ et AD contenues dans Tune sont respectivement parallèles aux droites BF et BC contenues dans l'autre (447). On démontrerait de même que les faces ABFE et DCGH sont égales et parallèles.

Deux faces opposées quelconques d'un parallélépipède peuvent donc être prises pour ses bases ; sa hauteur est alors la distance mutuelle de ces faces.

AvPLiCATioN. Il existe plusieurs espèces minérales dont les cristaux ont la forme d'un parallélépipède : telle est lit substance connue sous le nom d'axtniM; tel est encore le sulfate de cuivre.

6tS. On nomme sommets opposés d'un parallélépipède ceux qui ne font point partie d'une même face ; tels sont les sommets A et 6.

On nomme angles trièdres opposés ceux dont les sommets sont opposés ; tels sont les angles trièdres A et G. Si Ton compare ces deux angles trièdres , on voit qu'ils ont les faces DAB et HGF égales , comme étant toutes deux égales à DCB; de même ils ont les faces DAE et CGF égales , comme étant toutes deux égales à DHE ; enfin , ils ont les faces BAE et HGC égales, comme étant toutes deux égales à BFE. D'ailleurs , il est facile de reconnaître que ces faces sont disposées dans un ordre inverse ; car si l'on suppose un spec* tateur placé dans Tangle trièdre A , les pieds posés sur la face DAB et le dos appuyé à l'arête AE, il aura à sa droite la face EAB. Mais si le même observateur est supposé placé dans l'angle trièdre G, les pieds posés sous la face HGF égale à DAB, et le dos appuyé à l'arête GC, la face HGC égale à EAB se trouvera à sa gauche et non à sa droite. Ces deux trièdres ont donc leurs faces égales chacune à chacune et disposées en ordre inverse , c'est-à-dire que dans un parallélépipède les trièdres opposés sont symétriques,

6i6. On nomme diagonales d'un parallélépipède les droites qui joignent deux sommets opposés; telles sont les droites AG et DF (flg. A%9). Ces droites se coupent mutuellement en deux parties égales ; car DA et GF étant tous deux égaux et parallèles à CB , sont égaux et pnrallèles entre eux; et si l'on joignait AF etDG, la figure AFGD serait un parallélogramme; par conséquent, les droites AG et DF , qui seraient les diagonales de ce parallélogramme, se coupent mutuellement en deux parties égales.

On prouverait de la même manière que deux quelconques des diagonales d'un parallélépipède se coupent mutuellement en deux parties égales, en sorte que le point 0 est le milieu de chacune de ces diagonales.

617. Tout plan diagonal, tel que AEGC (fig. 488), partage un parallélépipède en deux prismes triangulaires ABCEFG et ACDEGH. On reconnaît facilement que ces deux prismes ont leurs faces égales

chacune à chacune ; mais comme elles sont disposées dans un ordre inverse , ces prismes ne pourraient être superposés. Nous reviendrons sur ce sujet, en traitant de la symétrie des corps.

6i8. Lorsque les six faces d'un parallélépipède sont des losanges, les crislallographes lui donnent le nom de rhomboèdre. Us en distinguent deux e^ pèces: le premier est le rhomboèdre aigu (fig. 490) , dans lequel deux trièdres opposés A et B sont formés par la réunion des angles aig;us de trois des losanges; tous les autres trièdres sont formés de deux angles obtus et d'un angle aigu. Le second est le rhomboèdre obtus ( fig. 491 ) , dans, lequel deux trièdres opposés A et B sont formés par la réunion des angles obtus de trois des losanges (la perspective fait paraître aigus deux d'entre eux dans la figure); lous-/es autres trièdres sont formés de deux angles aigus et d'un angle obtus.

Dans l'un et l'autre rhomboèdre , les six faces se trouvant disposées d'une manière analogue par rapport à la droite qui joint les sommets A et B, cette droite prend le nom d'axe du cristal.

Application. Le rhomboèdre est une des formes naturelles du spath d'Islande, du corindon f du fer oligiste.

619. Un parallélépipède peut être droit comme tout autre prisme; ses faces latérales sont alors des rectangles ; les bases seules sont des parallélogrammes obliques.

Lorsque la base d'un parallélépipède droit est un rectangle , toutes ses faces étant alors rectangulaires, il prend le nom deparallélépipède rectangle.

Dans un parallélépipède rectangle (fig. 492), tous les dièdres sont droits. Pour démontrer, par exemple, que l'angle dièdre BF est droit, on remarquera que les angles ABF et FBC étant droits , puisque les faces ABFE et FBCG sont des rectangles , Tangle ABC mesure Tinclinaison mutuelle de ces deux faces ; or cet angle ABC est droit, puisque ABCD est un rectangle; donc l'angle dièdre BF est droit.

Chaque arête est perpendiculaire aux deux faces auxquelles elle aboutit. Ainsi EH est perpendiculaire aux faces ABFE et DCGH ; car EH est perpendiculaire aux deux droites AE et EF qui passent par son pied dans le plan ABFE , et aux deux droites HD et HG qui passent par son pied dans le plan DCGH.

620. Un parallélépipède rectangle est déterminé quand on connaît les trois arêtes AB, AD, AE , qui aboutissent à un même sommet A. Car, avec les deux premières , on peut construire le rectangle ABCD , et par suite son égal EFGH ; avec les arêtes AB et AE , on peut de même construire le rectangle ABFE et son égal DCGH; enfin, avec les arêtes AD et AE , on peut construire le rectangle ADHE et son égal BCGF. 11 ne restera plus, pour construire le parallélépipède rectangle , qu'à assembler dans l'ordre convenable ses six faces rectangulaires.

Appucations. L C'est ainsi que se construisent les caisses et les boîtes diles carrées, en carton, en bois, en feuilles métaUiques, etc. II. Pour former un parallélépipède rectangle plein, en bois, en pierre ou en

métal, quand on connaît ses trois arêles AB, AD, AE, on donne au bloc une lace plane sur laquelle on trace la base rectangulaire ABCD. Par les côtés de ce rectangle, on fait passer des plans per;)endiculaires à la base ; ces plans se coupent suivant des arêtes perpendiculaires elles-mêmes à cette base. On prend sur ces perpendiculaires des longueurs égales à Tarête connue AE , et par les extrémités E, F, G , on fait passer un plan; ce plan contient aussi l'extrémité H, et détermine, par son intersection avec les faces latérales, la base supérieure BFGH.

C'est ainsi que se taillent les pierres qui forment les assises d'un mur. C'est l>ar le même procédé que l'on équarrit les bois de construction , c'est-à-dire que l'on donne aux arbres abattus dans les forêts la forme de parallélépipèdes rectangles.

lU. Enfin ,^ c'est d'après les mêmes principes que l'on donne à nos appartements cette forme de parallélépipède rectangle. Après avoir déterminé sur un plan horizontal le rectangle qui doit lut servir de base , on élève des murs verticaux aux quatre côtés de ce rectangle ; on termine ces murs à la même hauteur , et l'on fait passer par leurs arêtes supérieures un nouveau plan horizontal.

021. 11 résulte , de ce que nous venons de dire, que deux parailélépipèdes rectangles sont égaux ^ quand les trois arêtes qui aboutissent à un même sommet sont égales chacune à chacune dans ces deux parallélépipèdes, ou, ce qui revient au même, quand ils ont même base et même hauteur.

Application. On forme quelquefois les parallélépipèdes rectangles par le moulage , c'est-à-dire par coïncidence avec des parallélépipèdes déjà exis* lanls. C'est ainsi que s'obtiennent les briques de savon , et les briques à bâtir.

622. Théorème. Dans tout parallélépipède rectangle KG (Rg. 492), le carré d'une diagonale équivaut à la somme des carrés des trois arêtes qui aboutissent à un même sommet.

Prenons pour exemple la diagonale HB, et tirons EB. L'arête ËH étant perpendiculaire au plan ABFE est perpendiculaire à EB mené par son pied dans ce plan. Le triangle H£B est donc rectangle en E, et Ton a :

HB*=lH•+ÊB^

Mais EB étant Thypoténuse du triangle rectangle EAB, on a :

ÊB*=Ër+AB';

par conséquent,

ou , en remplaçant EH par son égale AD ,

hb*=ïf+âi*+;^*.

Corollaire I. Cette proposition fournit le moyen de calculer la diagonale d'un parallélépipède rectangle, quand on connaît la longueur des trois arêtes qui aboutissent à un même sommet. Sup-

posons , par exemple, qu'on ait trouvé AD=:2"*, AE=6^, AB=9",

on aura :

d'où HB=/Ï2Ï«^=11».

Corollaire IL Ce théorème prouve en même temps que les quatre diagonales d'un parallélépipède rectangle sont égales, ce qui peut servir à le vérifier.

625. — Lorsque dans un parallélépipède rectangle les trois aréles qui aboutissent à un même sommet sont égales , ses six faces sont des carrés égaux, et ce parallélépipède prend le nom dem^ (fig. 493).

Un cube est déterminé quand on connaît la longueur d*une de ses arêtes; car, d'après ce que nous venons de dire , toutes ses arêtes sont égales.

Deux cubes sont égaux lorsqu'ils ont même arête ; car ils ont alors toutes leurs faces égales chacune à chacune.

Un cube est un rhomboèdre où les losanges sont des carrés; Il sert de limite entre les rhomboèdres aigus et les rhomboèdres obtus. ,

Il suit du théorème du n^' 622 que le carré de la diagonale d'un cube est le triple du carré de son arête.

Ap]>LicATioNs. Les colonnes de certains monuments reposent guelquerois sur des fAédestaux sans moulure, qui ne sont autre chose que des cuties. Les boites 'k thé ont le plus souvent celle forme. C'est aussi celle des dés a jouer.

Certains crislaux, enfin, ont la forme cubique : tels sont les cristaux de galène (combinaison naturelle de plomb et de soufre) , et les cristaux de sel ordinaire, qu'on obtient en laissant reposer et éfaporer lentement Veau saturée de ce sel.

624. — Les trois arêtes , qui aboutissent à un même sommet dans un parallélépipède rectangle, mesurent l'étendue de ce parallélépipède dans ses trois sens principaux. Ces trois sens principaux de son étendue sont ce que l'on nomme ses trois dimensions. On les désigne aussi sous les noms de longueur, largeur et hauteur. Quelquefois on remplace ces deux dernières dénominations par celles d'épaisseur ou de profondeur. On dit, par exemple, la longueur, la largeur et la hauteur d'un appartement; la longueur, la laideur et l'épaisseur d'une planche; la longueur, la hauteur et l'épaisseur d'un mur; la longueur, la largeur et la profondeur d'un fossé, etc.

L'étendue d'un parallélépipède rectangle est uniforme dans le sens de chacune de ses trois dimensions, parce qu'elle est limitée , dans ce sens , par deux plans parallèles , tous deux perpendiculaires à Taréte qui mesure cette dimension. Cette disposition particulière au parallélépipède rectangle n'existe plus pour les autres corps; et néanmoins on se sert encore du mot dimensions pour désigner les trois

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sens principaux de leur étendue, bien que la plupart de ces corps n'aient, à proprement parler, ni longueur , ni largeur, ni hauteur, positivement assignables.

On applique également le mot dimensions à deux sens principaux dans lesquels on envisage retendue des surfaces, longueur et lar* geur , bien que ces dénominations ne soient rigoureusement applicables qu'aux surfaces planes et seulement aux parallélogrammes rectangles, dont l'étendue est uniforme dans ce3 deux sens principaux.

Enfin , on se sert du mot dimension pour désigner le sens dans

lequel on envisage l'étendue d'une ligne en général, quoique ce

mot ne puisse s'appliquer rigoureusement qu'aux lignes droites.

On dit ainsi qu'un corps a trois dimensions; qu'une surface a deux

dimensions; qu'une ligne n'a qu'une dimension.

Nous ne prétendons pas réformer ces expressions consacrées par i*nsage; mais il nous semble d'autant plus convenable d'en éviter l'abus , que les surfaces courbes , et même les lignes courbes quand elles ne sont pas planes, exigent, à la fois, la considération de ce qu'on nomme les trois dimensions.