CHAPITRE IV

DBS »OLT&DBB8.

G2S. — On donne , en général , le nom de polyèdre à tout corps terminé par des surfaces planes. La Géométrie élémentaire considère particulièrement les polyèdres convexes, c'est-à-dire dont une ligne droite ne peut rencontrer la surface en pi us de deux points, et qui, par conséquent, ne présentent aucun angle dièdre rentrant.

Les plans qui terminent un polyèdre se nomment ses /ace^; les droites qui terminent les faces sont ses arêtes; les extrémités des arêtes sont ses sommets. Toute droite joignant deux sommets qui n'appartiennent pas à une même face, est une diagonale du polyèdre. Tout plan mené par trois sommets qui n'appartiennent pas à une même face, est mu plan diagonal.

Si , par l'un des sommets A (fig. 494) d'un polyèdre, on mène des droites à tous les autres, on déterminera une série de pyramides, telles que ABCED, qui auront pour sommet commun le point À, et pour bases les différentes faces du polyèdre, à l'exception de celles qui aboutissent au point À; et l'ensemble de ces pyramides formera le polyèdre lui-même.

Tout polyèdre peut donc se décomposer en pyramides. On pourrait leur donner pour sommet commun tout autre point que le point A, un point intérieur par exemple.

626. — Deux polyèdres égaux ont évidemment toutes leurs faces égales chacune à chacune , et tous leurs dièdres égaux chacun à chacun. Il en résulte qu'ils peuvent se décomposer en un même nombre de pyramides égales chacune à chacune et semblablement disposées.

Réciproquement : Deux polyèdres sont égaux lorsqu'ils peuvent se décomposer en un même nombre de pyramides égales chacune à chacune et semblablement disposées. Car si Ion fait coïncider deux de ces pyramides égales , les pyramides voisines coïncideront par une face; et comme elles sont égales et semblablement disposées ^ elles coïncideront dans toute leur étendue. Il en sera de même de proche en proche pour toutes les pyramides prises deux à deux , en sorte que les polyèdres eux-mêmes coïncideront.

627. — On nomme polyèdres semblables ceux qui peuvent se décomposer en un même nombre de pyramides semblables chacune à chacune et semblablement disposées. Ces pyramides semblables sont dites pyramides homologues. Les arêtes des pyramides homologues sont des arêtes ou des diagonales homologues des polyèdres. Leurs faces homologues sont celles qui sont terminées par des arêtes homologues. Les extrémités de^ arêtes homologues sont les sommets homologues des polyèdres.

Théorème. Deux polyèdres semblables ont leurs faces homologues semblables chacune à chacune et leurs angles dièdres égaux chacun à chacun.

En effet : 1° Si l'on considère deux faces homologues des deux polyèdres, il ne peut se présenter que deux cas. Ou ces faces sont des faces ou des bases homologues de pyramides semblables ; et alors elles sont semblables. Ou elles se composent d*un même nombre de triangles semblables chacun à chacun comme face^ homologues de pyramides semblables; et alors elles sont encore semblables .

2* Si Ton considère deux angles dièdres des deux polyèdres , il ne peut également se présenter que deux cas. Ou ces dièdres sont homologues dans deux pyramides semblables ; et alors ils sont égaux. Ou ces dièdres se composent d'un même nombre de dièdres égaux chacun à chacun comme homologues dans des pyramides semblables ; et alors ils sont encore égaux.

Corollaire I. De la similitude des faces résulte la proportionnalité des arêtes homologues ; et cette proportionnalité s'étend évidemment aux diagonates homologues, puisqu'elles sont elles-mêmes des arêtes homologues de pyramides semblables.

GÉOMÉTRIE DANS L*fiSPAGE. 305

CoROLLAiRB II. Les faces homologues de deux polyèdres semblables sont entre elles comme les carrés de deux arêtes homologues quelconques ou de deux diagonales homologues quelconques.

G2B. Thâorèmb. Deux polyèdres sont semblables quand ils ont leurs faces homologues semblables et leurs dièdres égaux chacun à chacun.

Soient en effet A et a (fig. 494) deux sommets homologues des deux polyèdres. Décomposons en triangles semblables les faces homologues qui n'aboutissent point aux sommets A et a ; les deux polyèdres pourront être décomposés en un même nombre de tétraèdres ayant ces triangles pour bases et les points A et a pour sommets. Parmi les tétraèdres homologues, choisissons-en deux , tels que ABCD, abcd^ qui aient au moins deux de leurs faces, ABC et BCD, par exemple, ainsi que abc et bcd, placées à Textérieur des polyèdres; ce qui sera toujours possible. Ces faces feront entre elles un angle dièdre BC, ou 6c, appartenant aux polyèdres mêmes. Ces tétraèdres seront donc semblables , puisqu'ils auront un dièdre égal compris entre deux faces semblables chacune à chacune, comme triangles homologues de polygones semblables.

Si Ton fait abstraction de ces deux tétraèdres , les polyèdres restants auront encore leurs faces semblables et leurs dièdres égaux, et Ton pourra raisonner sur eux comme sur les polyèdres primitifs. On pourra donc y trouver aussi deux tétraèdres homologues dont on démontrera la similitude, et dont on pourra ensuite faire abstraction.

En continuant ainsi , on démontrera évidemment la similitude de tous les tétraèdres homologues, et, par suite, de toutes les pyramides homologues dans lesquelles les deux polyèdres sont décomposés.

Appijcatioics. On a journellement, dans les arls, à exécuter eo grand des polyèdres dont le modèle est donné en petit; il suffit, pour y parvenir, d'établir l'égalité des angles plans et des angles dièdres et de conserver la proportionnalité des arêtes , en faisant usage d'une échelle d'augmenlaUon déterminée d'avance.

On emploierait une échelle de réduction s'il s'agissait de copier en petit un po1)èdre exécuté en grand.

Ces sortes de quesUons se représentent fréquemment dans les constructions , et parUculièremeni dans i'élabiissemenl des machines.

Des polyèdres symétriques.

629. Pour que deux tétraèdres soient égaux, il ne suffit pas, ainsi que nous l'avons vu, qu'ils aient leurs faces égales chacune à chacune, il faut encore que ces faces soient assemblées dans le même ordre; car deux tétraèdres qui ont leurs faces égales chacune à chacune, mais assemblées dans un ordre inverse, ne peuvent coïncider.

S06 SECONDE PiUBLTIE.

Cette observation donne lieu à démontrer le théorème suivant :

Théorème. Les quatre faces d'un tétraèdre ne peuvent être assem^ blées que de deux manières différentes.

Nommons en effet A , B , C , D , ces quatre faces. Quand elles seront assemblées , il y aura toujours un angle trièdre formé par les trois faces A, B, C, et il est évident que Ton ne peut assembler, parmi les angles de ces trois faces , que ceux qui sont opposés aiu côtés destinés à former la quatrième face D. Appelons a , 6 , c, les trois angles à assembler; et, pour rendre compte des différentes manières dont cet assemblage peut s'opérer, imaginons, lorsque Tangle trièdre sera formé , que l'un des trois angles soit placé en face de nous, Tun des deux autres sera situé à notre droite , le troisième à notre gauche. Nommons successivement celui qui est à gauche , celui qui est en face de nous et celui qui est à droite. 11 ne pourra se présenter que les six combinaisons suivantes :

abCy bca, eaby ou aeb^ cba, bac.

Mais on voit sur-le-champ que les trois premières n*en forment qu'une seule , et qu'elles s'obtiennent toutes les trois en faisant tourner l'une d'elles de manière à placer tour à tour en face de soi chacune des trois faces. On voit de même que les trois dernières combinaisons acb, cba, bac, n'en forment qu'une seule, qui est précisément inverse de la précédente ; car, en nous plaçant en face de l'angle 6, par exemple, c'est Tangle c qui sera ^ notre gauche, et l'angle a à notre droite.

Il n'y a donc que deux manières différentes d'assembler les trois angles a, &, c, et, par conséquent, les trois faces A, B, C; et comme une fois ces trois faces assemblées , la quatrième face D est déterminée de position, il en résulte qu'il n'y a que deux manières distinctes d'assembler les quatre faces d'un tétraèdre.

630. Théorème. Si deux tétraèdres qui ont leurs faces égales chacune à chacune, mais inversement disposées, sont placés de manière que deux des faces égales coïncident, la face commune, prolongée s'il est nécessaire, covpe en deux parties égales la droite qui joint les sommets opposés, et elle lui est perpendiculaire.

Soient, en effet, SABC et S'ABC (flg. 495) deux tétraèdres qui remplissent les conditions de l'énoncé. Soit I le milieu de la droite S'S qui joint les sommets, S et S', opposés à la base commune; menons AI, BI et CI. Les arêtes AS et AS' étant égales, la droite AI a deux de ses points à égale distance des extrémités de SS'; donc elle est perpendiculaire sur SS'. On en peut dire autant des droites BI et CI. Ces trois droites sont donc dans un même plan perpendicu-

GÂOlfÊTRIE DANS L'eSPAGE. 307

laire à SS'; or ce plan contient les trois points ABC, il n'est donô autre chose que le plan de la face commune ABC.

Bbmakqus 1. Les deux tétraèdres SABC et S'ABC sont dits symé-triques par rapport au plan ABC, et l'on donne généralement la qualification de stjmétriques aux tétraèdres qui ont leurs faces égales chacune à chacune et inversement disposées , à cause de la propriété dont ils jouissent de pouvoir être placés symétriquement par rapport à un même plan.

Remarque II. Le théorème du n^" 699 prouve qu*iiii tétraèdre n^ a qu'un seul symétrique,

651 . Nous avonj vu qu'un polyèdre peut toujours être décomposé en pyramides , et qu'une pyramide peut toujours être décomposée en tétraèdres; d'où il suit qu'un polyèdre quelconque peut toujours être décomposé en tétraèdres.

Théorème. iSt de tous les sommets d'un polyèdre, supposé décom* posé en tétraèdres, on abaisse des perpendiculaires sur un même plan, et qu'on les prolonge au delà de ce plan de quantités égales à elles-mêmes , les extrémités de ces perpendiculaires seront les sommets d'un nouveau polyèdre, qui pourra être décomposé en un même nom-bre de tétraèdres symétriques de ceux du premier, et inversement déposés.

Soient S (fig. 496) le sommet commun de tous les tétraèdres qui composent le polyèdre proposé, A, B, C, D, etc., différents sommets du même polyèdre; soient S', A', B', C, D', etc., les points correspondants du second polyèdre, déterminés comme l'indique l'énoncé; soient enfin M et N les milieux des droites SS' et B'B, c'est-à-dire les pieds de ces perpendiculaires dans le plan sur lequel elles sont abaissées, et que nous désignerons par P.

Les droites SS' et BB' étant perpendiculaires à un même plan P sont parallèles entre elles, et, par conséquent, situées dans un même plnn ; de plus, elles sont perpendiculaires à la droite MN qui joint leurs pieds dans le plan P. Les trapèzes BSMN et B S'MN sont donc énraux, comme ayant trois côtés é(j;aux chacun à chacun, savoir MN commun, MS = MS' et NA = NA', comprenant entre eux des angles égaux puisqu'ils sont droits. Le quatrième cêté BS est donc égal au quatrième côté B'S'. On prouverait de même que Ton a S'A' = SA, S'C'=SC, A'B'==AB, B'C' = BC. Il en résulte que les deux tétraèdres SABC et S'A'B'C ont leurs faces égales chacune à chacune (comme ayant leurs trois côtés égaux chacun à chacun); mais il est facile de voir qu'elles sont inversement disposées; ces deux tétraèdres sont donc symétriques Tun de l'autre.

On démontrerait de la même manière que les tétraèdres SACD et S'A'CD' sont symétriques , et ainsi de suite. Les deux polyèdres se composent donc d'un même nombre de tétraèdres symétriques

on reconnaît d'ailleurs sans peine que ces tétraèdres sont disposés inversement.

639. Théorème. Deux polyèdres décomposables en un même nombre de tétraèdres symétriques inversement disposés peuvent toujours être placés de manière que les droites qui joignent les sommets homologues soient divisées en deux parties égales par un même plan perpendiculaire à toutes ces droites.

Appelons S et S' les deux polyèdres proposés. De tous les sommets du polyèdre S abaissons des perpendiculaires sur un plan quelconque P; prolongeons-les de quantités égales à elles-mêmes; nous obtiendrons un nouveau polyèdre S\ Les polyèdres S et S" seront composés d*un môme nombre de tétraèdres symétriques inversement disposés (501). Mais les polyèdres S et S' sont aussi, par supposition, composés d'un même nombre de tétraèdres symétriques inversement disposés. D'ailleurs, un tétraèdre n*a qu'un seul symétrique. Les polyèdres S' et S" sont donc composés d'un même nombre de tétraèdres égaux chacun à chacun , et semblablement disposés ; ces polyèdres sont donc égaux.

Il suit de là que Ton peut faire coïncider le polyèdre S' avec le polyèdre S"; et, dans cette position du polyèdre S' par rapport au polyèdre S, le plan P divisera en deux parties égales toutes les droites qui joignent leurs sommets homologues, et sera perpendiculaire à ces droites.

RfctfARQUE L Les deux polyèdres S et S' ainsi placés sont dits symétriques par rapport au plan P, et Ton conserve la qualification de symétriques aux polyèdres composés d'un même nombre de tétraèdres symétriques inversement disposés , lors même qu'ils ne sont point placés symétriquement par rapport à un plan, à cause de la propriété dont ils jouissent de pouvoir être placés de cette manière.

Dans le premier cas, ils n'offrent qu'une symétrie de forme; dans le second, il y a à la fois symétrie de forme et symétrie de position.

Remarque II. Le théorème précédent prouve qu't^n polyèdre ne peut avoir qu'un seul symétrique,

053. Lorsque deux polyèdres sont placés symétriquement par rapport à un même plan, ce plan est ce qu'on nomme un plan de symétrie. Il arrive souvent qu'un plan divise un polyèdre en deux parties symétriques par rapport à ce plan ; ce plan se nomme encore dans ce cas un plan de symétrie.

U y a des polyèdres qui peuvent être divisés ainsi de plusieurs manières en deux parties symétriques ; ces polyèdres ont idors plusieurs plans de symétrie.

Dans une pyramide régulière, tous les plans menés par l'axe

U£0M£TRIB dans L*eSPAGE. 309

et par les rayons, ou les apothèmes de la base , sont des plans de symétrie.

Un prisme droit a au moins un plan de symétrie, c'est celui qui divise en deux parties égales toutes ses arêtes latérales.

Si ce prisme est régulier, tous les plans menés par l'axe et par les rayons ou les apothèmes de la base sont encore des plans de symétrie.

Dans le parallélépipède rectangle , il y a trois plans de symétrie , qui divisent chacun en deux parties égales quatre arêtes parallèles.

Si la base est un carré, les plans diagonaux menés suivant les diagonales de cette base sont aussi des plans de symétrie.

Dans le cube, il y a, par conséquent, neuf plans de symétrie.

854. Il peut aussi se trouver dans un polyèdre des plans qui le divisent en deux parties symétriques de forme seulement et non de position. C'est ce qui a lieu dans le parallélépipède : tout plan diagonal le divise en deux prismes triangulaires , qui ont toutes leurs parties égales chacune à chacune, mais disposées dans un ordre inverse, et sont, par conséquent, symétriques.

Quand le parallélépipède est droit, les deux prismes triangulaires le deviennent aussi, et la symétrie se change en égalité; on reconnaît sans peine, en effet, que ces prismes sont alors superposables. 0

05tt. Lorsqu'un polyèdre a deux plans de symétrie, l'intersection de ces deux plans est un axe de symétrie.

Une pyramide régulière a un axe de symétrie qui est l'axe même de la pyramide.

Un prisme régulier a pour axes de symétrie d'abord son axe propre, ensuite les intersections de tous les plans de symétrie qui passent par cet axe, avec le plan de symétrie perpendiculaire aux arêtes latérales. Un prisme hexagonal régulier, par exemple, a sept axes de symétrie.

Le parallélépipède rectangle en a trois : ce sont les droites qui joignent les centres des faces opposées, c'est-à-dire qui joignent les intersections des diagonales de ces faces.

136. Applications. La symétrie de forme et de position s'observe dans une fonle de produit des arts; etie s'observe aussi dans la nature.

H y a symétrie de forme et de position entre les ailes d'un édifice régulièrement bâU, entre les deux parties latérales d'un navire, d'une voiture, d*un pout, etc.; la plupart des constructions offrent au moins un plan de symétrie. La même symétrie se remarque dans la plupart des meubles et des ustensiles de toute espèce. 11 y a symétrie parfaite de forme et de position apparentes entre un sujet quelconque et son image dans un miroir plan.

n y a symétrie de forme et de position entre les deux parties latérales du corps cbez presque tous les animaux. Les végétaux présentent anssi des

310 SECONDE PABTIE.

txeqip1é$ de symélrie exlrèmement remarquables : Il est pen de flem qui n'offrent au moins un plan de symétrie ; un grand nombre d'entre elles ont uq axe de symétrie.

Des polyèdres réguliers.

657. Un polyèdre est réifulier quand il a toutes ses faces égales, tous ses angles dièdres égaux, tous ses angles pians égaux, toutes ses arêtes et toutes ses faces égales. Ces conditions exigent que les faces du polyèdre soient des polygones réguliers égaux, ce qui limite sur-le-champ le nombre des polyèdres réguliers possibles. En effet, il faut au moins trois angles plans pour former. un angle polyèdre, et la somme de ces angles doit être moindre que quatre angles droits (498). Des hexagones réguliers ne sauraient donc servir à former un polyèdre régulier; car l'angle de Thexagone vaut | d'angle droit; trois de ces angles réunis formeraient donc quatre angles droits. A plus forte raison ne saurait-on employer des polygones réguliers d'un plus grand nombre de côtés; il ne reste dès lors de disponibles que des triangles équilatéraux, des carrés et des pentagones réguliers.

On peut former trois polyèdres réguliers différents avec des triangles équilatéraux.

I. Le tétraèdre régulier (fig. 497), qui a quatre hces. Chacun de ses angles polyèdres est formé par trois angles plans. Il a six arêtes et quatre sommets.

La valeur de chacun de ses angles dièdres est de 70*8l'43',6.

IL Voctaèdre régulier (fig. 498), qui a huit faces. Chacun de ses angles polyèdres est formé par quatre angles plans. Il a douze arêtes et six sommets.

. La valeur de chacun de ses angles dièdres est de 109*28' lO*

ni. Vicosaèdre régulier {ûg. 499), qui a vm^f faces. Chacun de ses angles polyèdres est formé de cinq angles plans. Il a trente arêtes et douze sommets.

La valeur de chacun de ses angles dièdres est de 138M1'22*,8.

On ne peut assembler plus de cinq triangles équilatéraux pour former un angle polyèdre; car l'angle du triangle équilatéral étant de 60°, six angles pareils feraient une somme de SQOp ou quatre angles droits.

IV. On ne forme qu'un polyèdre régulier avec des carrés; c'est Yhexaèdre régulier, que nous connaissons déjà sous le nom de cube (fig. 493). Il a six faces, douze arêtes et huit sommets.

La valeur de chacun de ses angles dièdres est de 90*.

GÉOMÉTRIE DANS L'fiSPAGE. Sil

V. On ne forme également qu'un seul polyèdre régulier avec des pentagones : c'est le dodécaèdre régulier ( fig. 500), qui a douze faces, trente arêtes et vingt sommets.

La valeur de chacun de ses angles dièdres est de 116*>33'54',2.

On voit, d'après ce qui précède , qu'il n'existe que cinq polyèdres réguliers, savoir, en les rangeant d'après le nombre de leurs faces, le tétraèdre, l'hexaèdre, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre réguliers.

058. On pourrait démontrer plusieurs théorèmes remarquables sur les polyèdres réguliers : par exemple, que tout polyèdre régulier est inscriptible et circonscriptible à la sphère; mais ces propositions , d'ailleurs faciles à pressentir, n'offrent qu'un objet de pure curiosité

On reconnaît sans peine que tout plan mené par le milieu d'une arête d'un polyèdre régulier, perpendiculairement à cette arôte, est un plan de symétrie; et que tout plan qui divise en deux parties égales l'un des angles dièdres est également un plan de symétrie.

Applications. C'est dans l'élude des substances minérales que l'on rencontre les seules applications uUles des polyèdres réguliers.

Le tétraèdre régulier se rencontre parmi les cristaux de cuivre gris.

Le cui)e existe parmi les cristaux de tel gemme, de tel marin, de pyrite de fer (combinaison de fer et de soufre), de galène, ou combinaison de soufre et de plomb.

L'octaèdre régulier est une des formes ordinaires du spath fluor, de la pyrite de /er, du rubis spinelle^ du diamant, etc.

Le dodécaèdre et llcosaèdre réguliers n'existent point parmi les cristaux.

639. Les cr istallographes considèrent encore plusieurs autres polyèdres qui , sans être réguliers dans la rigueur géométrique du mol» offrent néanmoins une certaine uniformité d'aspect qui mérite d'être remarquée; tels sont :

!• Voctaèdre formé de deux pyramides régulières h base carrée, opposées Tune à l'autre base à base; ses faces sont des triangles isocèles dont l'angle opposé à la base peut être aigu ou oblus (flg. 501 et 502).

La première de ces (ormes est celle de Vanatate; la seconde est ceUe du jn'rcon.

î- Le dodécaèdre triangulaire (flg. 503), formé par deux pyramides régu- Uères hexagonales, opposées Tune h l'aulre par la base.

Cette forme apparUent au quartx ou criital de roche.

dr Le dodécaèdre rhombotdal (flg. 504), dont les douzes faces sont des losanges égaux.

Cette forme appartient au grenat, au spath â^ Islande, etc.

n est bon de remarquer que ces losanges ne sont point divisibles en deux triangles équilaléraux ; leur angle aigu est plus grand que CO».

4- Le trapéxoèdre (flg. 505) , dont les vlngt-qualre faces sont des quadrilatères égaux. Ces quadrilatères ont reçu des cristallograi)hcs le nom de trapé* xoides, d'où le nom assez impropre de trapéxoèdre. Un peut se représenter chacun de ces quadrilatères comme formé de deux triangles scalènes symétriques abc et adc. , ^ Cette forme apparUent au grenat, "k Vamphigene, etc.

Ces polyèdres ont tous des plans de symélrie et des axes de symétrie qu'il est tacite de reconnaître.

Les minéraux présentent beaucoup d'autres formes polyédrales plus ou moins compliquées , qui .dérivent toutes de celles que nous avons signalées précédemment; mais l'élude des lois suivant lesquelles ces transformations s'opèrent dans les cristaux est l'objet spécial de la cristallographie.