CHAPITRE V

DBS OOSFS TMMnri» PAE DEM SITBFAaBS COURBEl.

640. Nous réunirons sous ce titre les corps qui ne sont terminés que par des surfaces courbes, et ceux qui sont terminés simultanément par des surfaces planes et par des surfaces courbes, en nous bornant toutefois aux surfaces sphériqiies, cylindriques et coniques de révolution , que nous avons précédemment étudiées.

Un corps peut être terminé de toutes parts par une seule et môme surface courbe. Si cette surface est une surface sphérique, le corps qu'elle termine prend le nom de sphère (lîg. 453). Dans la splière, tous les plans méridiens sont de^ plans de symétrie; tous les diamètres sont des axes de symétrie.

641 . Un corps peut être terminé par plusieurs surfaces courbes : par exemple, par une surface sphérique et par une surface conique ayant pour sommet le centre de la sphère. C'est ce que Ton appelle un secteur sphérique (fig. 506). On peut le considérer cx)mme engendré par la révolution d'un secteur de cercle AOB, autour du rayon OB qui aboutit à l'une de ses extrémités. La droite OB est un axe de révolution commun aux deux surfaces.

649. Parmi les corps terminés en partie par des surfaces planes et en partie par des surfaces courbes , nous distinguerons ceux qui suivent :

I. Le segment sphérique. Quand on coupe une sphère par ua plan, la portion d'espace comprise entre ce plan et l'une quelconque des deux parties de la surface sphérique est ce qu'on appelle ua segment sphérique (fig. 507). La portion de surface sphérique qui termine ce segment s'appelle une calotte sphérique. Le cercle sur lequel elle s'appuie est la base du segment sphérique.

Ce corps a pour axe de symétrie le rayon OP mené au p(^le du cercle qui lui sert de base ; nous avons vu (561, CoroU. Il) que ce rayon est perpendiculaire au plan de ce cercle et passe par son centre G. Tous les plans qui passent par cet axe OP sont des plana de symétrie.

GÊOlfÊTMB DANS L'£SPAGF. S15

La portion CP de Taxe de symétrie, compris entre la surface sphérique et le plan, est ce qu'on nomme la hauteur du segment ou de la calotte. Cette hauteur, le rayon AC de la base du segment et le diamètre PF de la sphère sont liés entre eux par une relation qui permet de calculer Tune de ces trois longueurs lorsque Ton connaît les deux autres.

En effet, Taxe PF étant perpendiculaire au plan du cercle dont le diamètre est AB, est perpendiculaire sur ce diamètre. Si l'on imagine un grand cercle de la sphère qui passe par les points P, A et F, Taxe PF sera son diamètre, et la droite AC, abaissée d'un point de sa circonférence sur PP!, sera moyenne proportionnelle entre les deux segments CP et CP'. On aura donc

CP:AC::AC:CF, d'où ÏC*=CPxCF.

Or CF=PP'— CP;

donc ÂC'= CPx (PF— CP).

On pourra aussi , dans chaque cas , remplacer remploi de cette formule par une construction géométrique.

Si c'est AC que l'on demande, on cherchera une moyenne proportionnelle entre les longueurs CP et CF qui seront connues.

Si c'est CP qui est inconnu , la question revient à chercher un rectangle tel que la somme de ses côtés adjacents soit égale à une ligne donnée PF et qui soit équivalent à un carré donné (dont le côté est AC).

Si c'est PF que l'on cherche , avec les longueurs données AC et CP on construira le triangle rectangle PCA. Au point A on mènera AP' perpendiculaire à AP, et qui rencontrera en P' le prolongement de PC. La moitié de PP' sera le rayon de la sphère.

643. II. La tranche sphérique. Si l'on coupe une sphère par deux plans parallèles, la portion d'espace comprise entre ces deux plans et la surface sphérique , est ce qu'on nomme une tranche sphérique (fig. 608). La portion de la surface de la sphère qui termine cette tranche est ce qu'on appelle une zone sphérique. Les deux cercles parallèles sont ses bases, et la distance des deux bases se nomme la hauteur de la tranche ou de la zone*.

Si du centre de la sphère on abaisse une perpendiculaire sur les deux bases parallèles , cette perpendiculaire passera par leurs centres; la hauteur de la tranche est donc la longueur de la droite qui joint ces deux centres. Cette droite est en ménie temps un axe de symétrie, et tous les plans méridiens menés suivant cet axe sont des plans de symétrie.

Application. On faU usagée de la considération des zones dans la géographie. La «irlace du globe terrestre est divisa en cinq zones principales : la ;sone

31/i SECONDE PABTIE.

torride, comprise entre les tropiques , et que l'équateur divise en deux parties égales ; les deux xones tempérées , comprises l'une entre le tropique du Cancer et le cercle polaire arctique ; l'autre entre le tropique du Capricorne et le cercle polaire antarctique; enfin les deux xones glaciales , f^ul ne sont, à bien prendre , que des calottes sphériques situées au delà des cercles polaires.

644. III. Le coin sphérigue. On nomme ainsi Tespace compris entre deux demi-méridiens et la surface sphérique (fig. 509). La portion de la surface sphérique qui le termine se nomme un fuseau sphérique.

Le coin sphérique a deux plans de symétrie : Tun est le plan méridien qui divise en deux parties égales Tangle dièdre formé par les deux faces planes du coin ; l'autre est le plan de Téquateur, ou le plan AOB mené par le centre de la sphère perpendiculairement à l'intersection PP' des deux demi-méridiens qui limitent le coin sphérique.

645. IV. Le cylindre. On nomme ainsi un corps terminé par une surface cylindrique de révolution, et par deux plans perpendiculaires à Taxe de cette surface (Hg. 510). Ces plans, d'après ce que nous avons vu (540, Coroll.), sont des cercles égaux : on les nomme les bases du cylindre , et la hauteur de ce cylindre est la distance mutuelle de ses bases; cette distance est égale à la portion de Taxe du cylindre comprise entre les deux bases, ou à la portion d'une génératrice quelconque comprise entre ces mêmes bases, car toutes les génératrices leur sont perpendiculaires, puisqu'elles sont parallèles à l'axe.

L'axe du cylindre est un axe de symétrie ; tous les plaus menés suivant cet axe , et que l'on nomme plans méridiens par analogie avec la sphère, sont des plans de symétrie. 11 en existe un autre : c'est celui qui est mené par le milieu de l'axe perpendiculairement à cet axe, c'est-à-dire parallèlement aux deux bases, et à égale distance de chacune d'elles.

646. Théorème. Deux cylindres sont égaux lorsqu'ils ont même hauteur et que leurs bases ont même rayon.

Car alors ces bases sont égales ; et si l'on fait coïncider les bases inférieures, les génératrices qui sont perpendiculaires à la base devenue commune coïncideront deux à deux. Et comme elles sont toutes égales, puisque les deux cylindres ont môme hauteur, leurs extrémités supérieures coïncideront ; les bases supérieures se confondront donc en un seul et môme cercle , et les deux cylindres coïncideront dans toute leur étendue.

647. Deux cylindres sont dits semblables lorsque les rayons de leurs bases sont proportionnels à leurs hauteurs.

Théobème. Les bases de deux cylindres semblables sont entre elles comme les carrés de leurs hauteurs.

GÊOMÉTAIB DANS L'£SPAGB. * 31 S

Car si l'on nomme R et r les rayons des bases» H et A les hauteurs , OD aura

Rrr::H:A; d'où R*:f*::H*:A«;

ou , en multipliant par ic les deux termes du premier rapport »

icR*:itr»::H*:A*,

ce qui revient à renoncé du théorème, puisque icR* et kt* mesurent l'aire des bases.

S4S. Applications. C'est dans un cylindre creux que se meut le piston des machines à vapeur. Les meules de moulin sont des cylindres pleins; il en est de même des assises iolérteures d'une colonne. La plupart des telles rondes sont des cylindres ; les morceaux de bois sur lesquels s'enroulent les pièces de ruban sont aussi des cylindres; il en est de même des pions du jeu de dames, des pièces de monnaie , en faisant abstraction des empreintes ; il en est de même encore des pnUu et des disques métalliques qui composent une ^pUê de Volta,

649. Y. Le eâne. On désigne sous ce nom un corps terminé par une surface conique de révolution, et par un plan perpendiculaire à son axe (fig. 511). D'après ce que nous avons vu (tStSO), ce plan est un cercle; on le nomme la base du cône. Sa hauteur est la perpendiculaire abaissée de son sommet sur sa base , ou , ce qui revient au même, la portion SO de son axe , comprise entre cette base et le sommet.

La portion SA d'une génératrice , comprise entre le sommet et la base , se nomme le côté du cône.

L'axe de révolution de la surface conique est Taxe de symétrie du cône; tous les plans menés suivant cet axe, et que Ton nomme plans méridiens par analogie avec la sphère, sont des plans de symétrie.

Otto. THÉOEiMB. Dettx cônes sont égaux lorsqu'ils ont même hauteur, et que leurs bases ont même rayon.

Car ces bases sont alors égales; et si on les fait coïncider, leurs centres coïncideront; les deux axes, qui seront perpendiculaires à la base devenue commune, se confondront; et puisque les deux cônes ont même hauteur, les deux sommets se confondront aussi. Dès lors il devient évident que toutes les génératrices coïncideront deux à deux , et que, par conséquent, les deux cônes coïncideront eux-mêmes dans toute leur étendue.

651. Deux cônes sont dits semblables quand les rayons de leurs bases sont proportionnels à leurs hauteurs.

TnioRÂME. Les bases de deux cônes semblables sont entre elles comme les carrés de leur hauteur.

Même démonstration qu'au n'' 647.

SIA SECONDE PAKTIE.

6tt9. De la proportioDDalité entre les hauteurs et les rayons des bases , il suit encore que l'angle des deux surfaces coniques est le même. Car soient SO et «o (iig. 511 ) les axes, AO et oo les rayons des bases ; joignons AS et as ; les triangles SOA et soa seront rectangles en 0 et en o, puisque les axes sont perpendiculaires sur les bases. Or, par supposition, on a la proportion AO : ao :: SO : so; ces deux triangles sont donc semblables , et les angles ASO et aso sont égaux. Or, chacun de ces angles est la moitié de Tangle de la surface conique correspondante : Tangle des deux surfaces est donc le même.

053. YI. Le cane tronqué. On nomme ainsi un corps terminé par une surface conique de révolution et par deux plans perpendiculaires à son axe (fig. 512); c'est ce qui reste d'un cdue, quand on en retranche la partie supérieure par un plan parallèle à la base. Les deux cercles, inférieur et supérieur, sont les bases du cône tronqué. Sa hauteur est la distance mutuelle de ces bases, oa^ ce qui revient au même, la portion Bb de l'axe comprise entre ces deux bases. La portion Aa d'une génératrice comprise entre les deux bases du c6ne tronqué se nomme son côté.

On peut remarquer que la partie enlevée est un cône semblable au cône total. Car si l'on coupe le cône total par un plan méridien , ce plan rencontrera la surface conique suivant ime génératrice SA, et les deux bases suivant les rayons parallèles AB et ab; les triangles ASB et aSb seront donc semblables, et l'on aura

AB:a6::SB:S6 [i],

c'est-à-dire que les rayons des bases sont entre eux comme les hauteurs, ou, en d'autres termes, que les deux cônes sont sem« blables.

Connaissant la hauteur Bb du cône tronqué , et tes rayons AB et db de ses bases, on peut calculer la liauleur SB du cône total. Car de la proportion [l] onUre :

AB:AB — a&::SB:SB — S& ou AB : AB — a& :: SB: Bb, d'où SB=?5^.

Ce résultat est analogue à celui que nous avons obtenu pour la pyramide triangulaire tronquée (S99).

6S4. Applications. Les filtres employés dans certaines fabrications sont de grands cônes tronqués creux. Il en est de même des cuves à lessive. Celte forme est aussi celle des pois de fleurs et de beaucoup de vases et d'ustensiles de cuisine; telle est encore la forme des abat-jour dont on recouvre les lampes. Les couronnes des roues d'angle sont des cônes tronqués pleins, dont les surfaces primiUves sont tangentes, et sur lesquels on a disposé un système de denture qui produit l'engrenage.