MESURE DE LA SURFACE DES GORM

GSS. Toutes les faces d'un polyèdre étant des polygones, dont nous avons appris à évaluer Taire, il suffira, pour obtenir Taire de la surface totale d'un polyèdre, de faire la somme des aires de toutes ses faces. Nous aurons donc peu de chose à ajouter sur ce sujet.

Théorème. Lasurface latérale d'une pyramide régulière SABCDEF (fig. 480) a pour mesure le produit du périmètre de sa base par la moitié de la perpendiculaire abaissée de son sommet sur l'un des côtés de cette base.

En effet, cette surface latérale se compose d'une série de triangles isocèles égaux. L'aire de l'un d'eux, ASB par exemple, a pour mesure le produit de AB par la moitié de la perpendiculaire SI. Pour avoir la mesure de la surface latérale totale, il n'y a qu'à répéter ce produit autant de fois que la pyramide a de faces, ou autant de fois que sa base a de côtés. En appelant n ce nombre de côtés, la mesure cherchée sera donc

ABx^SIX» ou ^SIxABxn.

Or, AB Xn exprime le périmètre de la base; cette expression revient donc à l'énoncé du théorème.

CoROLLÀiRS. On ferait voir de même que la surface latérale d'une pf^ramide régulière tronquée a pour mesure le produit de la distance des deux arêtes parallèles d'une même face par la demi-somme des périmètres des deux bases.

656. Théorème. La surface latérale d'un prisme droit a pour mesure le produit de sa hauteur par le. périmètre de .^a base.

En effet, celte surface latérale se compose d'une série de rectangles qui ont tous pour hauteur la hauteur du prisme. Appelons H cette hauteur, B, B', V\ etc., les bases de ces rectangles, c'est-à-dire les côtés du polygone qui sert de base au prisme ; Taire de la surface latérale de ce prisme aura pour expression

BxH + B'xH + B"xH+etc.,

ou (B + B' + B" + etc.)xH,

c'est-à-dife le produit du périmètre de sa base par sa hauteur.

Application. Combien faudrait-il d'une étoffe à 8 décimètres de largeur pour recouvrir les murs d'un salon octogone^ gui a 3*,4 de lumteur, et dont chaque mur a ^'^fi de largeur?

318 SECONDE PARTIB.

Pour résoudre cette question, il faut d*abord évaluer Taire de la surface totale des murs, laquelle est la surface latérale d'un prisme droit, dont la base est un octogone régulier de 2'°,5 de côté. Cette aire, d'après ce que nous venons de voir, aura pour valeur

S",4X2-,5X8 ou 68«^

Pour avoir maintenant la quantité d'étoffe cherchée, il faut remarquer qu'elle forme un rectangle dont une dimension a 0",8, et dont l'wre doit équivaloir à 68" «; pour avoir la quantité d'étoffe cherchée , c'est-à-dire la seconde dimension du rectangle, il faut donc diviser 68"« par 0»,8 ; ce qui donne pour quotient S5'^.

657. En M servant des nombres donnés au n» U3, on verra qqc pour obtenir la surface totale d'un polyèdre régulier on n'a qu'à mulllplier le carré de Vune des arêtes, savoir :

Par 4 fois 0,4330 ou 1,732, si c'est un téiraèdtf régulier ; Par s fois 0,4330 ou 3,404, si c'est un octoédre régulier; ' Par 20 rois 0,4330 ou 8,660, si c'est un icotaèdre régulier; Par 6 fois l ou 6, si c'est un hexaèdre régulier; Par 12 fols 1,7205 ou 20,646, si c'est un dodécaèdre régulier.

658. Nous avons à nous occuper maintenant des corps terminés par des surfaces courbes.

THÉORÈSfE. La surface latérale d'un cylindre a pour mesure leproduit de sa hauteur par la circonférence de sa base.

En effet , si l'on suppose cette surface fendue suivant une génératrice AB (fig. 513), puis développée sur un plan, nous savons (548) que la circonférence de la base inférieure se développera suivant une droite BB' perpendiculaire à AB ; de môme la circonférence de la base supérieure se développera suivant une droite AA' perpendiculaire à AB. D'ailleurs, A A.' et BB' seront égales, puisque les circonférences dont elles sont le développement ont môme rayon ; la figure ABB'A' est donc un rectangle , qui a pour hauteur AB, ou la hauteur du cylindre, et pour base BB', ou la circonférence de la base du cylindre. L'aire de ce rectangle a pour expression ABxBF; la surface du cylindre a donc pour mesure le produit de sa hauteur par la circonférence de sa base.

Application. Supposons que l'on ait à constrmre un tuyau cylindrique en tôle, dont le diamètre soit de 0",85 et la hauteur de 9"',44 ; sa surface latérale aura pour mesure

9",44X0'",85X7r, ou 9",44X0™,85X3,l4l6,

ou, en effectuant le calcul, 25«S2082. Cette superficie fait connaître la quantité de t61e qu'on devra employer.

GÉOMÊTKIE DANS L'fiSPAGB. 519

6tt9. Théorème. La surface latérale d'un cône a pour mesure le produit de la circonférence de sa base par la moilié de son côté.

En effet, si Ton suppose cette surface fendue suivant une génératrice SB (fig. 514 ), puis développée sur un plan, nous savons (538) que la circonférence de la base se développera suivant un arc de cercle BB' ayant le sommet S pour centre; l'évaluation de la surface du cône revient donc à celle du secteur de cercle BSB'. Or, celui-ci a pour mesure jSBxBB'; d'ailleurs BB' équivaut en longueur à la circonférence de la base du cône, et SB est son côté; donc la surface latérale du cône a pour mesure le produit de la moitié de ce côté par la circonférence de sa base.

Application. Supposons que le toit conique d'une tour ronde ait S'^.b de diamètre à sa base, et 6°*,4 de côté, la superficie de ce toit aura pour valeur ^x8",5Xir, ou, en remplaçant it par sa valeur approchée 3,1416 et effectuant la calcul, 85"*'%45. On peut avoir besoin de cette superficie pour déterminer la quantité de matériaux nécessaire à la couverture du toit.

660. Théorème. La surface latérale d'un cône tronqué a pour me^ sure le produit de son côté par la demi-somme des circonférences de ses bases.

Supposons, en effet, que la surface du cône dont ce tronc fait partie soit fendue suivant une génératrice SB (fig. 514), puis développée sur un plan. La surface du cône entier aura pour développement un secteur BSB'; celle du petit cône retranché aura pour développement un secteur semblable kSM. La surface latérale du cône tronqué aura donc pour développement le trapèze circulaire ABB'A'. Nous avons vu que Taire de ce trapèze a pour mesure ABXîCA'-^' + B^')- ^^^ ^® ^^^ '® ^^^® ^" ^^"® tronqué , AA' et BB' équivalent respectivement en longueur aux circonférences de ses deux bases : la surface latérale de ce cône tronqué a donc pour mesure le produit de son côté par la demi-somme des circonférences de ses deux bases.

661 . Corollaire. L*aîre de la surface latérale du cône tronqué est susceptible de deux autres expressions qu'il est utile de connaître.

1° Soit ABCD (fig. 515 ) la section méridienne d'un cône tronqué , c'est-à-dire la section de ce cône faite par un plan mené suivant Taxe ; soit EF son axe ; AB sera son côté , AE et BF seront les rayons de ses bases ; et, en désignant par S Taire de la surface latérale , on aura, d'après ce qui précède,

S=ABxKcircAE + circBF).

Par le milieu I du côté AB , menons IH parallèle à AE ; cette droite équivaudra à la demi-somme des rayons AE et BF ; et puisque les circonférences sont entre elles comme leurs rayons , la cîrcon*

férence dont le rayon est IH est la demi-somme de celles qui odI pour rayons A£ et BF ; ainsi Ton a

S=ABxcîrcIH;

c'est-à-dire que la surface latérale d'un cône tronqué a pour mesure le produit de son côté par la circonférence de la section faite à égale distance des deux hases , parallèlement à ces bases. Cette expression s'applique à la surface latérale du cône entier; car il suffit, dans ce cas, de supposer que la base supérieure se réduit à un point qui est le sommet du cône.

66S. ^ Élevons au point I la droite 10 perpendiculaire à AB , et abaissons du point A sur BF la perpendiculaire AG. Les deux triangles ABG et OHI seront semblables , comme ayant leurs trois côtés perpendiculaires chacun à chacun , savoir : AB à 10, A€l à BF, et par suite à sa parallèle IH , et enfin BG à OH. On a donc la proportion