AB:AG::IO:IH

Mais si Ton imagine des circonférences qui aient pour rayons lO etIH, on aura

IO:lH::circIO:circIH.

Donc, à cause du rapport commun,

AB:AG::cîrcIO:circm; et, en égalant le produit des extrêmes au produit des moyens, ABxcircIH=AGxcircIO.

La valeur de S, que nous avons trouvée équivalente au premier membre de cette égalité, équivaut donc aussi au second , et l'on a

S=AG X cire 10 =EFX cire 10,

c'est-à-dire que la surface latérale d'un cane tronqué a pour mesure le produit de sa hauteur EF par la circonférence qui aurait pour rayon la perpendiculaire élevée dans la section méridienne sur le milieu de son côté jusqu'à la rencontre de son axe.

Cette expression nous sera bientôt utile. Remarquons qu'elle s'applique à la surface latérale du cône entier, puisqu'il suflit, dans ce cas , de supposer que la base supérieure se réduit à un point qui est le sommet du cône.

Application. Imaginons un bassin circulaire dont la paroi ait un talus, cette paroi formera la surface latérale d*un cône tronqué. Supposons que le rayon de la base inférieure soit de 6"", celui de la base supérieure de 7"» et le côté de 3" ; si, pour cause quelconque ,

GÉOMÉTRIE DANS L'ESPAGE. 321

on avait besoin de connaître la superficie de cette paroi , on pourrait employer la seconde expression

S=ABxcircIH;

on aurait alors IH = — ^ — = -^ ;

circffl=fflX2Xit=13»X3,1416=40«,84; donc S = 3" X40'",84 = 122»%52.

663. Théorèmb. L'aire d'une calotte sphériqtie a pour mesure le produit de sa hauteur par la circonférence d'un grand cercle.

Soit AB (fig. 516) la portion du méridien comprise entre Textrémité A de Taxe OA de la calotte et le plan qui lui sert de base. Soit 0 le centre de la sphère. La surface de la calotte peut être considérée comme engendrée par la révolution de Tare AB autour du rayon AO. Or cet arc peut être considéré comme une ligne brisée composée d'un nombre infini de côtés infiniment petits; et si l'on divise cet arc en parties égales suffisamment petites, ces parties approcheront autant qu'on le voudra d'être reclilignes. Supposons donc cet arc divisé en parties égales assez petites pour que chacune d'elles puisse être regardée comme rectiligne , c'est-à-dire se confonde avec sa corde. Des points de division c, d^ e, ainsi que du point B, abaissons sur l'axe les perpendiculaires cm, dn, cp, Bq ; puis joignons le centre de la sphère au milieu des arcs kcy cd^de, «B par les rayons Ox, Oy, 0-5, Ou; ces rayons seront perpendiculaires sur Ac, cd, de^ eB, considérés comme cordes.

La surface de la calotte se compose des diverses portions de surfaces engendrées par la rotation autour de AO des différents arcs Ac, cd^ de, cB, ou de leurs cordes, puisqu'elles se confondent avec leurs arcs. Or, dans ce mouvement de rotation , l'arc Ac engendre une surface latérale de cône dont l'aire a pou r expression km X cire Qx (002). L'arc cd engendre une surface latérale de cône tronqué, dont l'aire a pour expression mn X circOy. Les autres arcs de, eB, engendrent aussi des surfaces latérales de cônes tronqués dont l'aire a pour valeur

np X cire Os et pq X cire Ou,

La surface de la calotte a donc elle-même pour valeur

Ai«X cîrcOjî-|- mn XcircOy + ''!P XcircOs+jîg X circOw. Mais les rayons Ox, Oy, 0^, Ou étant ^gaux, l'expression de la surface de la calotte peut s'écrire :

Ai»X circOa?+ mnXcîrcOa? + WjP XcircOa?+p^X circOa?, ou (Aw-|-mn+ np -^pq) X cire Ox ,

ou enfin kq x cire Ox.

322 SECONDE PAETIV.

Or, circO^ est une circonférence de grand cercle, et kq est la hauteur de la calotte ; donc enfin la surface d'une calotte sphérique a pour mesure le produit de sa hauteur kq par la circonférence d'un grand cercle.

664. Corollaire L L'aire de la surface sphérique entière équp' vaut à quatre fois l'aire d'un grand cercle.

En effet : si le point q (fig. 516) coïncidait avec le centre de la sphère, Tare ÂB serait un quadrans, et la calotte sphérique se changerait en hémisphère, ce qui n'influerait en rien sur la démonstration précédente. Mais alors la hauteur kq ne serait autre que le rayon AO de la sphère; l'expression de Taire de la deou-spbére est donc

AO X cire Ox , ou AO X cire AO ,

c'est-à-dire le double de ^AOxcircAO, ou le double de Vaîre d'un grand cercle.

Si Ton nomme R le rayon d'une sphère, l'expression de sa surface sera 47Tli'.

663. Corollaire IL Le théorème relatif à Taire d'une calotte sphérique s'étend sans peine à Taire d'une zone quelconque.

Soit CDEF (fig. 517) la section méridienne (ou section suivant Taxe) d'une zone dont AB est Taxe; CF et DE les intersections de ses bases avec le plan méridien ; la portion mn de Taxe comprise entre ces droites sera la hauteur de la zone. La surface sphérique totale ayant pour mesure 2A0xcircA0, ou ABxcircAO, et les calottes engendrées par les arcs AC et BD ayant respectivement pour mesure A971 XcircAO et Bn XcircAO, il s'ensuit que Taire de la zone, qui est la différence entre la surface entière de la sphère et celle de ces deux calottes , a pour valeur

AB X cire AO— Am X cire AO — B» X cire AO ,

ou (AB — km — B;i)XcircAO, ou mnXcircAO,

ç'est-à-dire le produit de sa hauteur par la circonférence d'un grand cercle.

Corollaire III. Le même théorème s'applique également à une calotte plus grande que la demi-sphère , à celle qui serait engendrée par l'arc AD, par exemple ; car cette calotte est la différence entre la surface sphérique entière et la calotte engendrée par Tare BD; sa valeur est donc

AB X cire AO — B» X cire AO, ou (AB — B») X cire AO , ou enfin km X cire AO,

c'est-à-dire le produit de sa hauteur par la circonférence d'un grand cercle Corollaire IV. Il suit du corollaire U que sur une même sphère,

GÉOMÉTRIE DANS L'ESPAGE. 32S

les zones et les calottes de même hauteur ont même superficie. Ainsi , pour diviser une surface sphérique en parties équivalentes par des plans parallèles, il suffit de diviser son axe en parties égales, et de mener par les points de division des plans perpendiculaires à cet axe.

6C0. APPLICATIONS. I. Le globe terrestre pouvant être considéré comme une sphère dont le rayon est de 636"*'^62 , on demande d'exprimer en myriamètres carrés la surface de la terre.

L'aire d'une sphère dont le rayon est R a pour expression AvSf\ la valeur de Taire demandée est donc

En effectuant le calcul , on trouve pour résultat 6092962'^"'' et une fraction qu'il convient de négliger.

II. La hauteur de la zone torride, c'est-à-dire la distance entre les plans des tropiques, est d'environ 507 myriamètres; quelle est la surface de cette zone en myriamètres carrés î

Pour obtenir la surface demandée, il faut multiplier le rayon de la sphère, 636"y%62 par 2 et par 3,1415926, et multiplier ensuite le résultat par la hauteur donnée 507"^'. En effectuant le calcul, on obtient pour produit 2028000"y'•^

III. La hauteur de la calotte sphérique qui forme chaque sow glaciale est d'environ 52"y',65; on demande la superficie de cette zone ? Pour l'obtenir, il faut encore multiplier le rayon par 2 et par 3,1415926, et le produit par la hauteur donnée 52"'7',65. On trouve pour résultat 210600"^'.

On voit que cette surface n'est qu'un peu plus du dixième de celle de la zone torride; en sorte que celle-ci est près de cinq fois plus grande que les deux zones glaciales réunies.

On peut remarquer encore qu'en réunissant la zone torride aux deux zones glaciales , on obtient une superficie de 2449200"''*% c'est-^-dire un peu moins de la moitié de la surface totale du globe ; en sorte que les deux zones teiii« pérées en occupent un peu plus de la moitié.

IV. Problème. Quel rayon faut-il donner à une sphère pour que l'aire de sa surface soit équivalente à 1 mètre carré?

L'aire de la sphère étant équivalente à quatre grands cercles, Taire de chacun de ces cercles doit valoir le quart d'un mètre carré, ou 26 déc- carrés. Or Taire d'un cercle a pour mesure le produit du carré de son rayon par le rapport ic; si donc on divise 25^*«** par 3,1415926, on aura pour quotient le carré du rayon cherché. On trouve ainsi 7'***,9577 ; le rayon demandé est la racine carrée de ce nombre, c'est-à-dire 2'**^,82 , ou G"»,282.

667. Théorème. Vaire d'un fuseau sphérique est à celle de la sphère comme l'angle des méridiens qui comprennent le fuseau est à quatre angles droits.

32b SECONDE PARTIE.

Il est d'abord évident que sur une même sphère deux fuseaux peuvent coïncider, et sont par conséquent égaux , quand les plans méridiens qui les comprennent forment entre eux des angles égaux. Cette proposition admise , on peut employer une démonstration tout à fait analogue à celle qui a été employée pour démontrer que les angles au centre sont entre eux comme les arcs qu'ils interceptent sur une même circonférence.

Corollaire. Le fuseau dont Tangle dièdre est droit, et que l'on nomme pour cette raison fuseau droit, est le quart de la surface sphérique; •/ équivaut, par conséquent, à un grand cercle.

668. Remarques. I. On peut prendre le fuseau droit pour unité de fuseau, comme on prend Tangle droit pour unité d'aogle et le quadrans pour unité d*arc. A l'aide de cette convention, Taire du fuseau a pour mesure la valeur même de son angle dièdre.

II. Tout fuseau APP'B ( fig. 509) est coupé par Téquateur en deux triangles sphériques égaux A PB et AP'B , qui sont isocèles et birec^ tangles, puisque les angles dièdres qui ont pour arêtes AO ou BO sont droits. Et, quand le fuseau est droit, ces deux triangles ont un angle droit de plus, celui qui a pour arête OP ou OP', et sont, par conséquent, trirectangles. L'aire d'un triangle trirectangle étant évidemment la moitié de celle du fuseau droit , est la huitième partie de Taire de la sphère.

660. Théorème. L'aire d'un triangle sphérique a pour mesure V excès de la demi-somme de ses angles sur un angle droit (en prenant le fuseau droit pour unité de superficie, et Tangle droit pour unité d'angle).

I. Supposons d'abord que le triangle soit isocèle. Soit ABC (fig. 518; ce triangle, dans lequel les côtés AB et AD sont égaux. Achevons le grand cercle BDôc? dont le plan sera, si Ton veut, celui de la figure ; prolongeons également les côtés AB et AD au-dessus et au-dessous du plan BD6^; ils rencontreront ce plan en ô et en d, et se rencontreront eux-mêmes en a au-dessous de ce plan.

Deux grands cercles se coupent toujours mutuellement en deux parties égales (862) ; il suit de là que BD6 est une demi-circonférence , ainsi que l^bd ; ou a donc BD6 = D6df , et , en retranchant la partie commune D6, il reste BD = bd.

On a de même DAd = ADa, et, en retranchant la partie commune AD, il reste kd = Da.

De même encore on a BA6=: ABa, et, en retranchant la partie commune AB, il reste A6 = Ba.

Les deux triangles kbd et aBD ont donc leurs trois côtés égaux chacun à chacun. D'ailleurs ces triangles sont isocèles; car BÂ6 et "ùkd étant des demi -circonférences , et AB et AD étant égaux par supposition, il en résulte A(I = A6, et, par suite, aD=aB. Les

GÉOMÉTRIE DANS L*£SPAGE. 325

triangles kbd et aBD sont donc égaux et superposables, car leurs parties égales sont disposées dans le même ordre , puisqu'ils sont isocèles.

II en résulte que la somme des triangles ABD et kbd équivaut à la somme des triangles ÂBD et aBD, c'est-à-dire au fuseau ÂBaDA, lequel a pour mesure Tangle A du triangle proposé.

Le fuseau BA6DB a pour mesure Tangle B du triangle proposé ; le fuseau DAc^BD a pour mesure Tangle D de ce triangle. Si on fait la somme de ces trois fuseaux, elle aura pour mesure A+B + D. Mais la somme de ces trois fuseaux, c'est-à-dire la somme des deux triangles ABD et kbd, plus les deux fuseaux BA6DB et DA(/BD, forme Thémisphère supérieur au plan BD6(/, plus deux fois le triangle ABD. En désignant ce triangle par T, et en remarquant qu'en prenant le fuseau droit pour unité, Taire de l'hémisphère est représentée par 2, on aura

2T + 2 = A + B-fD, d'où 2T = (A+B+D)— 2,

et T = i(A + B + D)-l,

ce qui revient à l'énoncé du théorème.

II. Supposons en second lieu que le triangle proposé soit quelconque. Soit ABD (fig. 519) ce triangle , et 0 le pôle du petit cercle dont la circonférence passe par les trois points A, B,D. Le pôle d'un cercle étant également distant de tous les points de sa circonférence , si Ton joint le point 0 aux points A, B, D, par des arcs de grand cercle, ces arcs seront égaux , comme étant sous-tendus par des cordes égales , et les triangles AOB, BOD, AOD seront isocèles. D'après la première partie de la démonstration on aura donc : .

triangle AOB = ^ ( AOB -|- BAO + ABO) — 1 ,

triangle BOD = ^ (BOD + BDO -f DBO) — 1 ,

triangle AOD = ^(AOD+ADO-f DAO)— 1.

Si l'on ajoute ces égalités membre à membre, en observant : 1"* que les angles AOB -{-BOD -{-AOD forment en somme 4 angles droits, puisque ce sont des angles dièdres formés autour d'une même droite , savoir le rayon de la sphère qui aboutit au point 0;

2»quel'ona BAO+DAO = BAD; ABO-|-DBO = ABD, et ADO-!-BDO = ADB,

il viendra :

triangle ABD = i (BAD + ABD -{- ADB -[- 4) - 3 , ou triangle ABD = ^ ( BAD + ABD -f- ADB) — 1 ,

ce qui revient encore à l'énoncé du théorème.

336 ftlGOMDB PAKTIE.

m. Le pôle 0 (flg. 520) peut tomber hors du triangle proposé; les triangles AOB , BOD , AOD &*en sont pas moins isocèles , et Voù a, comme ci-dessus :

triangle AOB = J ( AOB -f BAO + ABO ) — 1 , triangle BOD = i(BOD + BDO + DBO)— 1, triangle AOD=:i (AOD+ADO+DAO)-* 1.

Ajoutons les deux dernières égalités membre à membre , et retranchons-en la première» en observant qu*on a

BOD + AOD = AOB; ADO + BDO = ADB; DBO— ABO = ABD, et DAO— BAO = BAD, il viendra :

tr BOD + tr AOD — tr AOB = i (ADB-f ABD + BAD) — i-f 1 ou triangle ABD £= ^ ( ADB -f ABD + BAD) — 1 .

Ainsi le théorème est général.

Corollaire. 11 suit de ce théorème que deux triangles sphériques symétriques sont équivalents en surfaces ; car leurs angles étant l«a mâmes , ces triangles ont la même mesure.

RsMAROUB. Il ne faut pas perdre de vue que Tévaluation de Taire d*un triangle sphérique exige remploi de deux unités , le fuseau droit et l'angle droit ; et le théorème que nous venons de démontrer lignifie , à proprement parler, que raire d'un triangle sphérique est à celle du fuseau droit comme l'excès de la demi^omme de ses angles eur un angle droit est à un angle droit.

Applications. Sur une sphère dont le rayon a 3 décimètres, quelle est la superficie d'un triangle sphérique dont les angles ont pour valeurs respectives 162« 17', 103» 4' et 93^61'î

Calculons d'abord la superficie du fuseau droit , ou , ce qui revient au même , Taire d'un grand cercle : celte aire a pour valeur ^^ X (3**/ ou 28' %28. La somme des angles donnés est 359^ 12', dont la moitié est 179^36'. Si Ton retranche un angle droit, ou plutôt 90^ il reste %V 36', ce qui revient à 5376'. L'angle droit vaut d'ailleurs 6400'. En désignant par x la superficie cherchée, on a donc :

ar:28^-,28:: 6376': 5400';

S7#. Pour mesurer l*âlre d*une surface courbe quelconque, on la di?ise en par> Ues assez petites pour que chacune d'elles puisse être considérée comme plane i Taire de chacune de ces porUons s'évalue alors comme celle d'un polygone, et la somme de ces aires partielles forme celle de la surface proposée.

GÉOMftTRIfi DANS L'ESPACE. S27

Ordinairtmêiit, pour opérer cette décomposition, on coupe la surbce donnée par deux systèmes de plans qui ont des direclions perpendiculaires ffig. 521). Chacune des portions de surface ainsi obtenues forme alors un petit quadrilatère curviligne que Ton peut, à cause de sa petitesse, et parce flue sa surlace est sensiblement plane, assimiler k un parallélogramme; son aire s'évalue donc sans aucune difficulté , et la somme des aires de tous les quadrilatères analogues donne Taire de la surface proposée avec une approximaiion d'autant plus grande que les sections sont plus rapprochées.

11 est commode , quand on opère sur le terrain , de prendre les deux systèmes de plans verticaux, rinlerseclion de chaque plan vertical avec la surface proposée pouvant s'obtenir aisément. En effet, supposons qu'on veuille me» turer la superficie réelle d'un terrain, au lieu de sa base productive; chaque section verticale s'y tracera au moyen d'une ligne jalonnée; car la ligne formée par les pieds des jalons n'est autre que l'intersection de la surface du sol avec U i>lan vertical dans lequel tous les jalons sont contenus.