CHAPITRE VIL

OOaOAlUliOll ftB LA SVIFACX DBS GOin CiiOMirBlQl».

67t. TnÉontUB. Les aires des surfaces totales de deux polyèdres semblables sont entre elles comme les carrés de deux arêtes homologues quelconques.

En effet, soit S la surface totale d'un polyèdre, soient M, N, P, etc.^ les aires des diverses faces qui la composent; A, B, C, etc., des arêtes quelconques appartenant respectivement à cbactme de ses faces ; soient 5 , m , n , p , etc. ^a, b, o, etc. , les parties homologues d'un second polyèdre semblable au premier.

Deux polyèdres semblables ayant leurs faces homologues semblables chacune à chacune , et les aires do deux polygones sembla* blés étant entre elles comme les carrés de leurs arêtes homologues, on aura :

M:m::A*:a*; N:n::B«:ô«; P:p ::€•:(?•, etc. [l].

D'ailleurs, puisque les polyèdres sont semblables, leurs arêtes homologues sont proportionnelles, et Ton a :

A:a::B:6;:C:c::etc.,

d'où A» : a» :: B* : 6* ;: P : c" :: etc. P].

En vertu des premières proportions , on aura donc :

M:i»::N:n::P:p::etc.;

d'où M+N+P+etc. :m+n+p+etc. ::M;n> etc.,

ou S;j;:M;n.

S38 SECONDE PARTIB.

En ayant égard à la proportim [1] , on peut donc écrire :

S:«::iL«:a»,

et , à cause de la suite de rapports égaux [2] , on aura

S : s :: A* : cf :: B*: ô" :: Oie":: etc.

Corollaire I. Les diagonales homologues étant entre elles comme deux arêtes homologues quelconques , il en résulte que les surfaces totales de deux polyèdres semblables sont entre elles comme les carrés de deux diagonales homologues quelconques, ou, en général, comme les carrés de deux lignes homologues quelconques.

Corollaire U. Un corps quelconque, terminé par une ou plusieurs surfaces courbes, pouvant èlre considéré comme un polyèdre dont les faces sont Infiniment petites , il en résulte que deux corps semblables quelconques pourraient être regardés comme deux polyèdres semblables. Ainsi le théorème précédent pourrait leur èlre appliqué.

Application. Supposons que l'on ait exécuté en petit le modèle d'un hàiiment, d'une machine, ou d'une construction quelconque, à Téclielle d'un cen- Umèlre par mètre par exemple; les lignes homologues seront entre elles comme 1 est h 100. La surface totale du modèle sera donc à celle de la copie comme le carré de I est au carré de 100, ou comme i est à lOOOO. Ainsi, pour obtenir la surface totale de ce bftUment, ou de cette construction, il suffirait de mesurer celle du modèle, et de multiplier le résultat par lOOOO.

679. Théobèmb. Les sur/aces latérales de deux cylindres semblables sont entre elles comme les carrés de leurs hauteurs , ou comme les carrés des rayons de leurs bases.

Cette proposition pourrait se déduire de celle qui précède , d'après l'observation faite au corollaire 11 ; mais elle se démontre directement d'ime manière très- simple.

Appelons S la surface latérale d'un cylindre, H sa hauteur, R le rayon de sa base, s, A, r les parties homologues d'un second cylindre semblable au premier. On aura :

S=27cRxH; 5=2icrXA,

et Ton en déduira la proportion identique

S:^::2itRxH:2icrxA,

ou en divisant par 27c les deux termes du second rapport

S:5::RxH:rxA [13-

Mais puisque les cylindres sont semblables, on a (647)

on a d^ailleurs la proportion identique

multipliant terme à terme les deux proportions [2] et [3] , il vient

RxH:fXA::H*:A» [4].

Les proportions [1] et [4] ayant un rapport commun , les deux autres rapports forment une proportion, et il vient

Maintenant, la proportion [2] donne

et, à cause du rapport commun aux deux proportions [5] et [6], on peut écrire

CoROLLAniE. Si Ton appelle B et 6 les aires des bases des deux cylindres, on auraB=7tR* et 6=7:r*, d*où

B:6::7cR*:7rr*, ou B:6::R«:r* [8].

k causé du rapport commun aux deux proportions [7] et [8] on peut écrire

c'est-à-dire que les aires des surfaces latérales de deux cylindres semblables sont entre elles comme les aires de leurs bases.

Application. Supposons qu'il entre 20 feuilles de tôle dans la construction d'un cylindre creux de 4°" de hauteur, et que l'on veuille savoir combien il en entrerait dans un cylindre semblable de 3"* de hauteur. Les quantités de tôle employées pouvant être regardées comme proportionnelles aux surfaces des cylindres, et, par conséquent , aux carrés de leurs hauteurs, en nommant x la quantité cherchée, on devra avoir :

a?: 20:: (3)*: (4)*, ou a?: 20:: 9: 16,

d'où â?=^ff^=ll \. Il faudra donc 11 feuilles et un quart.

675. Théorème. Les aires des surfaces latérales de deux cônes semblables sont entre elles comme les carrés de leurs côtés, ou comme les carrés des rayons de leurs bases, ou comme les carrés de leurs hauteurs.

Cette proposition se démontre de la même manière que la précédente.

Corollaire. On en déduit, comme nous l'avons fait pour le théorème précédent, que les aires des surfaces latérales de deux cônes semblables sont entre elles comme les aires de leurs bases.

Application. Supposons qu'on ait employé 4500 ardoises pour former la couverture d'un toit conique de 9"' de diamètre à la base,

B80 BEOONDK PARTlBé

et qa'on veaiU6 savoir approximativement combien il en faudmit pour former la couverture d'un toit semblable ayant 6°" de diamètre à la base. Les quantités d*ardoises employées pouvant être considérées comme à peu près {M-oportionnelles aux surfaces latérales des deux cônes, et, par conséquent, aux carrés des rayons ou des diamètres de leurs bases , en nommant x la quantité cherchée , on devra avoir

a::4500::(6)*:(9)*, ou a?: 4500:: 36: 81,

ou X : 4500 : : 4 : 9, d'où a?=i^^=2000.

$74. nous avons vu que l'aire d'une sphère dont le rayon est R a pour expression 41cR^ ou, ce qui revient au même, 2icRx2R. Celte aire équivaut donc à celle de la surface latérale d*un cylindre dont la base aurait pour rayon R et dont la hauteur serait :^R, c'est-à-dire qui aurait pour base un grand cercle de k sphère et pour hauteur le diamètre de cette sphère. Ce cylindre est précisément celui qu'on pourrait circonserire à la sphère, c'est-à-dire dans lequel la sphère pourrait être placée de manière à être tangente à la surface cylindrique par son équateur, et aux bases planes du cylindre par ses pèles» La figure â22 montre cette disposition.

678. Théorème. Les aires des surfaces de deux sphères sont entre elles comme les carrés de leurs rayons , ou de leurs diamètres.

Soient, en effet, S et 5 les aires des sturfaces de deux sphères, R et f leurs rayons , D et (I leurs diamètres; on aura :

S=4ïcR* et «=47cr», d'où S:s;:4Ka»:4Ttf*,

et en divisant les deux termes du second rapport par 4ie,

D'ailleurs on a R:f::D:d, d'où R*:f^::D*:cP.

Donc S:5::D*:«P.

Application. On a employé 36 feuilles d'or battu pour dorer une houle (sphérlque) de 2 décimètres de rayon; combien en faudrait-il pour dorer une boule dont le rayon aurait 3 décimètres?

Les quantités de matière employée pouvant être considérées comme proportionnelles aux surfaces des sphères, et par conséquent aux carrés de leurs rayons , en nommant x la quantité cherchée, on devra avoir

ir:35::(3)»'(2)*, ou a:: 36:: 9: 4,

d'où a:=â^=78î. Il faudrait donc 79 feuilles.

676. neux calottes sphériques sont semblables quand leurs hauteurs sont proporlionnelles aux rayons des sphères auxquelles elles appartiennent» A l'aide d'une démonstration analogue à celle du n** 67) , on ferait voir que (es <kifu de deu9 «abolies 9phér%q^e9 semblabks sont entre eUes comme Ici eartH

GÉOMÊTHIE DAMS L*£8PAGE. S51

de leurt hauteun, ou comme la carrét du rayoni dêi tphèrei a^iquelUt elles appartiennenU

Oa nomme xones semblables celles qui sont la différence de calottes sphériques semblables. On démontrerait de même que leurs aires sont entre elles comme les carrés de leurs hauteurs ou comme les carrés des rayons des sphères auxquelles elles appartiennent.

On ferait voir encore de la même manière que les aires de deux ealotUs sphé^ riques semblables sont entre elles comme les aires des cercles qui leur servent de hase, La même proportionnalité a lieu pour les zones semblables.

((77. Sur deux sphères de rayons différenU , deux fuseaux sont semblables lorsqu'ils ont un mime angle dièdre. Chacun d'eux est alors une même fraction du fuseau droit (667) ou de l'aire d'un grand cerclei d'ailleurs les aires des cercles sont entre elles comme les carrés de leurs rayons : par con»équent, les aires de deux fuseaux semblables sont entre elles comme les carrés des rayons des sphères auxquelles ils appartiennent.

Sur deux sphères inégales, deux triangles sphériques qui ont les mêmes angles, disposés dans le même ordre, ne sont plus égaux, mais semblables. Chacun d'eux est alors une même fraction du fuseau droit correspondant (669)} ainsi en répétant les raisonnements ci-dessus, on voit que les aires de deux triangles iphériques semblables sont entre elles comme les carrés des rayons des sphères auxquelles ils appartiennent.