CHAPITRE Vin

DE LA MBSVRB DES TOLUMBS.

678. Mesurer le volume d*un corps, c'est le comparer à un autre volume qui est pris pour unité. On choisit pour iinité de volume celui d'un cube auquel on donne pour arôte Tunité de longuetu*. Si , par exemple , Tunité de longueur est le mètre, Tunité de volume est un cube qui a pour arête un mètre , et qu'on appelle mètre cube. Si l'unité de longueur est un décimètre, l'unité de volume est un cube qui a pour arête un décimètre, et qu'on appelle décimètre cube; et ainsi de suite. £n admettant, par exemple, que mb (fig. 523) soit un cube dont l'arête ab ait l'unité de longueur, mesurer le volume d'un parallélépipède rectangle MB, c'est chercher combien de fois il contient le volume du cube mb.

On va voir que l'évaluation des volumes se ramène toujours à de simples mesures de longueur.

679. ThéoeèmA. Le volume d'un parallélépipède rectangle a pour mesure le produit des trois arêtes qui aboutissent à un même sommet.

Soit MB (fig. 523) le parallélépipède rectangle proposé. L'énoncé qui précède signifie que, pour obtenir le nombre d'unités de volume

332 SECONDE PAETIB.

contenues dans ce parallélépipède, il faut chercher le nombre d'unités de longueur contenues dans les trois arêtes AB, AC, AD , qui aboutissent à un môme sommet A, et faire le produit de ces trois nombres.

En effet, supposons, pour fixer les idées, que Taréte AB contienne quatre fois Tunité de longueur ab^ et que les arêtes AC et AD la contiennent respectivement 5 fois et 7 fois. Divisons AB en quatre parties égales, et par tous les points de division menons des plans perpendiculaires à AB; divisons AC en 5 parties égales, et par tous les points de division menons des plans perpendiculaires à AC ; enfin , divisons AD en 7 parties égales , et par tous les points de division menons des plans perpendiculaires à AD; le parallélépipède BM se trouvera ainsi divisé en petits parallélépipèdes rectangles, qui auront tous pour hauteur , pour largeur et pour épaisseur Vunité de longueur a6, car deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre eux , et deux plans parallèles sont partout égalements distants. Ces petits parallélépipèdes rectangles seront donc des cubes, ayant pour arête Tunité de longueur, c'est-à-dire que ce seront autant d'unités de volume ; il ne reste donc plus qu'à déterminer leur nombre.

Or, le long de l'arête AB, on peut compter autant de ces petits cubes qu'il y a d'unités de longueur dans AB, c'est-à-dire 4; ces 4 petits cubes forment une sorte de colonne posée horizontalement. Le long de l'arête AD, on peut compter autant de ces colonnes qu'il y a d'unités dans AD, c'est-à-dire 7 ; et ces 7 colonnes forment une sorte de tranche horizontale. Enfin , le long de l'arête AC, on peut compter autant de ces tranches qu'il y a d'unités dans AC, c'est-àdire 5, et ces 5 tranches composent le parallélépipède proposé. Le nombre total des petits cubes est donc le produit des nombres 4 , 7 et 5, c'est-à-dire 140; le parallélépipède proposé contient donc 140 unités de volume.

Les raisonnements que nous venons de faire sont tout à fait indépendants du nombre d'unités de longueur contenues dans les trois arêtes AB, AC et AD. Si l'unité de longueur n'était pas contenue un nombre exact de fois dans les trois arêtes , il faudrait recourir à une unité de longueur plus petite , et , par conséquent , aussi à une unité de volume plus petite, jusqu'à ce qu'on parvint à une unité qui pût être contenue un nombre exact de fois dans ces arêtes, ce qui finira toujours par arriver dans la pratique , parce qu'en prenant une unité suffisamment petite , les restes , s'il y en a , finiront toujours par devenir inappréciables.

Nous démontrerons d'ailleurs plus loin , et d'une manière directe, un théorème qui donnera à celui-ci , dans le cas de l'incommensiurabilité, toute la rigueur désirable.

GÉOMÉTRIE DANS L'ESPâGE. ^53

COKOLLAIRB. Dans le cas où le parallélépipède rectangle proposé est un cube , les trois arêtes qui aboutissent à un même sommet sont égales , et pour obtenir le nombre d'unités de volume contenues dans ce cube , il suffit de chercher le nombre d'unités de longueur contenues dans Tune de ces arêtes , et de former un produit où ce nombre entre trois fois comme facteur. Si , par exemple , l'arête du cube proposé contient 2 unités de longueur, ce cube contiendra 2 X 2X2, ou 8 unités de volume. Si l'arête du cube contient 3 unités de longueur, le cube contiendra 3 X 3 X 3, ou 27 unités de volume; et ainsi de suite.

C'est pour cela que l'on donne, en arithmétique, le nom de cube à un produit de trois facteurs égaux,

680. Cette observation nous permet de faire comprendre com* ment se subdivisent les unités de volume.

Un centimètre valant 10 millimètres, un centimètre cube vaut 10X10X10, ou 1000 millimètres cubes.

Un décimètre valant 10 centimètres, un décimètre cube vaut 10 X 10 X 10, ou 1000 centimètres cubes.

Un mètre valant 10 décimètres, un mètre cube vaut 1000 décimètres cubes.

Un décamètre valant 10 mètres, un décamètre cube vaut 1000 mètres cubes, et ainsi de suite.

Dans le système métrique, les différentes unités de volume se convertissent sans calcul les unes dans les autres ; il suflit , pour opérer cette conversion, d'un simple transport de virgule. Ainsi j3«.cub 067319 reviennent à 13057'»«*-^"\319 ou à 130573l9«"»-^\

Rappelons que lorsqu'il s'agit de la mesure du bois de chauffage, le mètre cube prend le nom de stère; et que, pour les mesures de capacité, le décimètre cube prend le nom de litre.

681. Applications. Problème I. Quel est le volume d'air contenu dans une salle rectangulaire qui a 10",42 de longueur sur 7",51 de largeur et 3",86 de hauteur?

Les trois dimensions données peuvent s'exprimer par 1042""*, par 751""' et par 385""* ; le volume cherché équivaut donc à 1042 X 761 X 385, ou 301278670 centimètres cubes. Pour obtenir les décimètres cubes contenus, il faut diviser ce nombre par 1000; le volume demandé revient donc à 301278'»«««*,678«'»'-^"*'.Pour obtenir les mètres cubes contenus dans les 301278'*'"-*"*», il faut encore diviser ce nombre par 1000 ; le volume cherché est donc enfin de 3oi«-cub,278**-*"**,670**"'*'^"*».

Problème II. Un bloc de marbre dont la forme est celle d'un parallélépipède rectangle a 2",3 de longueur stêr 1",6 de largeur et 0^,9 d'épaisseur, quel est son volume ?

nk SECONDE PABTIE.

Les trois dimensions données reviennent à 23 dédmètres, 16 décimètres et 9 décimètres; le volume du bloc de marbre équivaut donc à 23 X 16 X9 ou 3312 décimètres cubes. Divisons par 1000 pour obtenir les mètres cubes contenus; nous trouverons définitif vement 3-«*,312*'««^.

PaoBLÈm IlL Une pile de bois a 13-,4 de longueur^ 6" de lar^ geur et 7",2 de hauteur; an demande d'évaluer en stères la çuan-iité de bois qu'elle contient.

La forme que Ton donne aux piles de bois dans les chantiers est celle d'un parallélépipède rectangle. Les trois dimensions de celui que nous avons à considérer reviennent à 134*'*«, à 60^ et à 72*^; son volume équivaut donc à 134 X 60 X 72, ou 482400'**'«^; ce qui revient à 482°***"*',400, et par conséquent à 482 stères et 4 décistères.

Pboblème IV. Un bassin rectangulaire qui a 6^,4 de longueur^ 8^,5 de largeur et 2"*,7 de profondeur, est rempli d'eau aux deux tiers de sa hauteur, combien d'hectolitres d'eau contient- il?

L'eau contenue dans le bassin forme un parallélépipède rectangle dont les arêtes ont respectivement 64^*, 35'*^ et IS**»* (puisque 18 est les deux tiers de 27 ). Le volume de ce parallélépipède est donc de 64X35X18, ou 40320 décimètres cubes, c'est-à-dire 40320 litres. Pour avoir le nombre d'hectolitres contenus, il faut diviser ce nombre par 100; la quantité d'eau cherchée est donc de 403'***S20"*'**.

688. Le produit des deux arêtes ÂB et AD du parallélépipède MB (iig. 523) exprime l'aire de sa base supérieure BD, puisque cette base est un rectangle. D'ailleurs, la base supérieure est égale à la base inférieure. On voit donc que, pour obtenir le volume d'un parallélé-

Ïiipède, on n'a qu'à multiplier l'aire de sa base par sa hauteur, c'est- -dire le nombre d'unités d'aire contenues dans la base par le nombre d'unités de longueur contenues dans la hauteur; ce qu'on exprime en disant que le volume d'un parallélépipède rectangle a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

Application. Si l'on sait, par exemple, que la base d'un parallé* lépipède rectangle contient 28 mètres carrés, et que sa hauteur est de 5 mètres, on en conclura que son volume équivaut à 28X5 ou 140 mètres cubes.

Corollaire. Deux parallélépipèdes rectangles^ qui ont des bases équivalentes et métne liauteur, sont équivalents en volume; car la mesure de leur volume est la même.

683. Lemmb. Deux parallélépipèdes de même base et de même hauteur sont équivalents.

Soient, en effet, AG et MS (Bg. 524) deux parallélépipèdes dont les bases ABCD et MNOP sont égales, et qui ont même hauteur. Si leurs bases inférieures sont supposées placées sur un marne plan

horizontal, leurs bases supérieures seront aussi dans un même plan horizontal , puisqu'ils ont môme hauteur. Divisons cette hauteur en un certain nombre de parties égales, et par tous les points de division menons des plans horizontaux qui coupent à la fois les deux parallélépipèdes. Ils se trouveront décomposés tous deux en un même nombre de tranches de même hauteur. Considérons deux tranches correspondantes, c'est-à-dire comprises entre les mêmes plans horizontaux, ag et ms par exemple. La base abcd de l'une estégale à ABCD, en vertu du théorème du n"" 618 ; la base mnop de l'autre est égale à MNOP par la même raison ; ces deux bases abcd et mnop sont donc égales. Or, comme le nombre des tranches est tout à fait arbitraire, on peut toujours le supposer assez grand pour que la hauteur de chaque tranche soit aussi petite que l'on voudra. Plus cette hauteur sera petite, et plus les différences de formes qui existent entre les tranches correspondantes ag et ms tendront à de* venir inappréciables; et si l'on suppose cette hauteur infiniment petite, les deux tranches infiniment minces ag et mg pourront être considérées comme rigoureusement égales puisque leurs bases sont égales. Les deux parallélépipèdes AG et MS peuvent donc être re^ gardés comme composés d'un même nombre de tranches infiniment minces, égales chacune à chacune; les volumes de ces deux parallélépipèdes sont donc équivalents.

Corollaire L Tout parallélépipède oblique MS peut être changé en un parallélépipède droit AG équivalent qui ait une base égale et même hauteur.

Corollaire II. Tout parallélépipède droit AG (fig. 626) peut être changé en un parallélépipède rectangle équivalent, qui ait une base équivalente, et même hauteur.

Prolongeons , en effet , les droites AB et DC ; prenons sur le prolongement de AB une longueur MN égale à AB; par les points H et N menons MP et NO perpendiculaires à MN; le rectangle MNOP et le parallélogramme ABCD seront équivalents, comme ayant même base et même hauteur. Sur le rectangle MNOP construisons le parallélépipède rectangle MS, dont la hauteur MQ soit égale à la hauteur AE du parallélépipède droit proposé. Je dis que AG et MS seront équivalents. En effet, les rectangles ABFE et MNRQ, qui ont même base et même hauteur, sont égaux. Les plans de ces rectan* gles étant tous deux perpendiculaires au plan ANOD, puisque les parallélépipèdes sont droits, se confondent en un même plan; il en est de même des plans DCGH et POST. La distance des faces AF et DG est donc celle des faces MR et PS. Par conséquent, si l'on renversait les deux parallélépipèdes, l'un sur la face AF, l'autre sur la face MR, ils auraient môme base et même hauteur. En vertu du lemme qui précède , ils sont donc équivalents.

684. THiORims. Le volume d'un parallélépipède quelconque a pour mesure le produit de sa base par sa luiuteur.

Cet énoncé signifie que pour obtenir le nombre d'unités de volume contenues dans un parallélépipède quelconque , il faut chercher le nombre d'unités d'aire contenues dans sa base, le nombre d'unités de longueur contenues dans sa hauteur, et multiplier ces deux nombres l'un par l'autre.

En effet, d'après le premier corollaire du lenmie précédent, un parallélépipède quelconque peut être changé en un parallélépipède droit équivalent, qui ait môme base et même hauteur; d'après le second corollaire , un parallélépipède droit peut être changé en un parallélépipède rectangle équivalent, qui ait une base équivalente et même hauteur ; il en résulte qu'un parallélépipède quelconque peut élre changé en un parallélépipède rectangle équivalent, qui ait une base équivalente et même hauteur. Soient B cette base et II cette hauteur, le volume du parallélépipède rectangle aura pour exprèssion BxH (682) ; cette expression sera donc aussi celle du parallélépipède proposé. Or B équivaut à la base de ce parallélépipède proposé, et H est sa hauteur; son volume a donc pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

688. LsMMB. Deux prismes de même base et de même hauteur sont équivalents.

La démonstration de cette proposition est la même que celle du n« 685.

Corollaire. Tout prisme triangulaire est la moitié d'un paraHélé" pipède qui a une base double et même hauteur.

Car soit ABCEFG (fig. 488) un prisme triangulaire quelconque. Prolongeons les plans ABC et EFG ; achevons les parallélogrammes ABCD et EFGH, et joignons DH; il en résultera un parallélépipède ABCDEFGH. Car les plans ABCD et EFGH sont parallèles, puisque ABCEFG est un prisme; les droites AD et EH, parallèles aux droites BC et FG qui sont parallèles, sont parallèles elles-mêmes, et déterminent un plan parallèle à la face BCGF; de même les droites CD et GH sont parallèles et déterminent un plan parallèle à la face ABFE. Le polyèdre ABCDEFGH est donc compris sous six plans parallèles deux à deux ; ce polyèdre est donc un parallélépipède , dont la base ABCD est double de la base ABC du prisme proposé, et qui a même hauteur. Or, le plan ACGE le divise en deux prismes triangulaires ABCEFG et ACDEGH, qui ont des bases égales ABC= ACD, et môme hauteur; chacun d'eux, le prisme proposé par exemple, est donc la moitié de ce parallélépipède.

686. Théorème. Le volume d'un prisme triangulaire a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

Car soient B sa baseet H sa hauteur; le volume du parallélépipède

GÉOMÉTRIE DANS L*£SPAGE. 337

qui améme hauteur et une base double a pour mesure2BxH (684). Le volume du prisme triangulaire qui en est la moitié, a donc pour mesure B X H, c'est-à-dire le produit de sa base par sa hauteur.

687. Théorème. Le volume d'unprisme quelconque apour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

Car tout prisme peut être divisé par des plans diagonaux en prismes triangulaires de même hauteur que lui (609). Soient H cette hauteur, B ,. B', B", etc. , les bases des prismes triangulaires ; la somme de leurs volumes aura pour mesure B xH+B' X H+B" X H+ etc., ou, ce qui revient au même, (B + B'+B"+etc.)xH. Or le facteur entre parenthèses , c'est-à-dire la somme des bases des prismes triangulaires qui composent le prisme proposé , n*est autre chose que la base de ce prisme ; son volume a donc pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

Corollaire I. Ce théorème étant général , s'applique aux prismes réguliers.

Corollaire II. Deux prismes qui ont des bases équivalentes et même hauteiu* sont équivalents, car la mesure de leur volume est la même.

Application. Une salie octogone a 3",4 de hauteur, et chacun des côtés de son parquet a 2",5 de longueur; on demande le volume d'air contenu dans cette salle.

Le volume cherché est celui d*UD prisme régulier dont la hauteur est de 34 décimètres, et dout la base est un octogone régulier qui a 25 décimètres de côté. Nous avons vu que pour obtenir l'aire de cet octogone , il faut multiplier le carré du c6té, c'est-à-dire esS*** par 4,8284, ce qui donne pour produit 30]7'*%75. 11 reste à multiplier cette aire par 34^ ce qui donne pour le volume cherché 1 02603** *^,500, ou 102 mètres cubes, 603 décimètres cubes, et 500 centimètres cubes.

688. Théorème. Le volume d'un cylindre a pour mesure lepro* duit de sa base par sa lumteur.

En effet, on peut considérer un cylindre comme un prisme régulier dont la base est un polygone d'un nombre infini de côtés infiniment petits , et la mesure de son volume rentre dans celle du volume d'un prisme.

APPLICATIONS. Problème I. Trouver le volume de vapetlr que peut contenir le cylindre d'une machine, sachant que ce cylindre a 1",36 de hauteur, et 0°>,62 de diamètre à sa base.

Le rayon de la base étant 0",31, Taire de cette base a pour valeur ^X(0^,Siy. Le volume cherché a donc pour mesure ^^ X (0",31)* X 1"',35. En effectuant ce calcul, on trouve pour résultat 0"<^»*», 407739, ou 4a7d«c.cub 739ce«t.cub^

Problème II. Quelle profondeur faut-il donner à un réservoTr cylindrique de 7™ de rayon, pour qu'il puisse contenir 3850 hecto^ litres d'eau ?

Les 3850 hectolitres, ou 385000 litres , représentent 385000 décimètres cubes, ou 385 mètres cubes. La base du réservoir cylindrique a une superficie exprimée par ^ X^O'"^ ou 154"" ^ Il faut que cette superficie, multipliée parla profondeur cherchée , qui est la hauteur du cylindre, donne pour produit 385°*«*^; pour obtenir cette profondeur, il gufSt donc de diviser 385"»'**"^ par 154"*% ce qui donne pour quotient î'^yd.

Problème III. Quel rayon faut^il donner à un réservoir cylindrique de 3°* de profondeur pour que sa capacité soit de 1000 hectolitres f

La capacité donnée revient à 100 mètres cubes ; divisant ce nombre par la hauteur du cylindre, qui est de 3", le quotient SS^^SSSS... exprimera la base, ou Taire du cercle dont on demande le rayon. Divisant cette aire par ^, le quotient 10"S6060... sera le carré du rayon; la racine carrée de ce nombre, ou 3",25... sera donc le rayon demandé.

689. Lemme I. LetM: tétraèdres de même base et d^ méms hat^ leur sont équivalents.

Soient, en effet, SÂBC et OMNP (fig. 526) deux tétraèdres dont les bases ABC et MNP sont égales, et qui ont même hauteur. Supposons leurs bases placées sur un môme plan horizontal; leurs sommets seront à la môme distance de ce plan. Divisons cette distance en un certain nombre de parties égales, et par tous les points de division menons des plans horizontaux qui coupent à la fois les deux tétraèdres. Ils se trouveront décomposés en un même nombre de tranches de môme hauteur. Considérons deux tranches correspondantes, abcdefet mnpgrt. Leurs bases abc et 7nnp sont semblables aux bases ABC et MNP des tétraèdres, et par conséquent semblables entre elles; d'ailleurs ces mêmes sections aôc, mnp sont entre elles comme les bases ABC et MNP (S98); elles sont donc équivalentes. Or, elles ne peuvent être à la fois semblables et équivalentes sans être égales. Cela posé, CQmme le nombre des tranches est arbitraire, rien n*empêche de le supposer assez grand pour que la hauteur de chaque tranche soit aussi petite que Ton voudra. Plus cette hauteur sera petite, et plus les différences de forme qui existent entre les tranches correspondantes abcdef et mnpqrt tendront à devenir inappréciables ; et si Ton suppose cette hauteur infiniment petite, les deux tranches infiniment minces abcdef et mnpqrt pourront être considérées comme rigoureusement égales, puisque leurs bases abc et mnp sont égales. Les deux tétraèdres SABC et OMNP peuvent donc être regardés comme composés d'un même nombre de tranches infiniment minces , égales chacune à chacune ; les volumes de ces deux tétraèdres sont donc équivalents.

GÊOMÉTRU DAMS L'fiSPACE. 339

690. LsMMB n. Tout tétraèdre est le tiers d'un prisme triangulaire de même base et de même hauteur.

Soit SABC (fig. 527) un tétraèdre quelconque. Par son sommet S menons un plan SDE parallèle à la base ; puis, par les points À et G, menons AD et CE parallèles à BS jusqu'à la rencontre du plan SDE , et joignons SD et SE ; nous formerons ainsi un prisme triangulaire ABCDSE ; car les droites SD, SE , DE étant respectivement parallèles aux droites BA , BC , AC , comme intersections de deux plans parallèles par un troisième, les figures ABSD, BCES, ACED sont des parallélogrammes, et, par suite, les triangles ABC et DSE sont égaux. Ce prisme triangulaire a même base ABC que le tétraèdre « et môme hauteur, puisque le sommet de ce dernier est dans le plan de la base supérieure du prisme. Or, je dis que le tétraèdre SABC est le tiers du prisme ABCDSE.

En effet, suivant les droites SA et SE, faisons passer un plan» qui coupera le parallélogramme ACDE suivant la diagonale AE, et divisera, par conséquent, ce parallélogramme en deux triangles égaux.

Nous aurons à considérer trois tétraèdres qui ont leur sommet en S. l"" Le tétraèdre SABC : c'est le tétraèdre proposé. S^" Le tétraèdre SADE : en lui donnant pour sommet le point A, on voit que sa base DSE est égale à la base ABC du premier tétraèdre, et que, de plus, ils ont pour hauteur commune la hauteur du prisme; en vertu du lemme qui précède, ces deux tétraèdres sont donc équivalents. 3° Le tétraèdre SAGE : sa base ACE est égale à la base ADE du second tétraèdre; et, de plus, ils ont même hauteur, puisqu'ils ont même sommet S, et que leurs bases sont sur un même plan. Ces deux tétraèdres sont donc équivalents aussi.

Le prisme triangulaire ABCDSE est donc composé de trois tétraèdres équivalents; et par conséquent le tétraèdre proposé, qui est un des trois, est le tiers du prisme triangulaire.

691. Théorèmb. Le volume d*un tétraèdre a pour mesure le tiers du produit de sa hase par sa hauteur.

Cet énoncé signifie que pour obtenir le nombre d'unités de volume contenues dans un tétraèdre , il faut chercher le nombre d'unités d'aire contenues dans sa base, le nombre d'unités de longueur contenues dans sa hauteur, multiplier ces deux nombres l'un par l'autre et prendre le tiers du produit.

Pour le prouver, considérons le prisme triangulaire qui a même base et même hauteur que le tétraèdre proposé; son volume aura pour mesure le produit de celte base par cette hauteur (686) ; donc le tétraèdre, qui en est le tiers, en vertu du lemme précédent, a pour mesure le tiers de ce produit, c'est-à-dire le tiers du produit de sa base par sa hauteur.

3&0 SECONDE PABTIfi.

Corollaire. Deux tétraèdres qui ont des hases équivalentes et même hauteur sont équivalents, puisqu'ils ont même mesure.

692. Théorème. Le volume d'une pyramide quelconque a pour mesure le tiers du produit de sa hase par sa hauteur.

Car toute pyramide pouvant se partager par des plans diagonaux, en tétraèdres de môme hauteur, si l'on nomme H cette hauteur, et B, B', B", etc., les bases de ces tétraèdres, la somme de leurs volumes aura pour expression

iBxH + JB'xH+4B"xH+ etc.;

ou, ce qui revient au même,

4(B+B'+B"+etc.)xH.

Or, B+B'+B"+ etc., c'est-à-dire la somme des bases des tétraèdres, c'est précisément la base de la pyramide; son volume a donc pour mesure le tiers du produit de cette base par sa hauteur.

Corollaire I. Ce théorème étant général , s'applique aux pyramides régulières.

Corollaire II. Deux pyramides qui ont des hases équivalentes et même hauteur sont équivalentes, puisque leur mesure est la même.

695. Théorème. Le volume d*un cône a pour mesure le tiers du produit de sa base par sa hauteur.

Car on peut considérer ce cône comme une pyramide régulière, dont la base est un polygone régulier d'un nombre infini de côtés infiniment petits. La mesure de son volume rentre alors dans celle du volume d'une pyramide.

Applications. Problème I. Quel est le volume d'un cône dont la hauteur est de 0",52 , et dont la base a 0",23 de rayon?

L'aire de la base a pour mesure ^ X (0",23)*, le volume du cône a donc pour valeur

ou 0"-^,028818, ou enfin 28*•«•*^«^818«"*•«"^

Problème II. La hauteur d'un cane est de 16 décimètres; son côté a 20 décimètres, quel est son volume?

Rappelons-nous que l'axe du cône , son côté et le rayon de sa base forment un triangle rectangle dont l'hypoténuse est le côté du cône. On aura donc le carré du rayon en retranchant le carré de la hauteur (ou de l'axe) du carré du côté, ou (16)' de (20)*, ce qui donne 144 décimètres carrés. L'aire de la base a donc pour valeur ^ X 144^^""; et le volume du cône équivaut à

i X ^^X 144'»» X l6^ ou à 2413'»''»* environ , ou 2«•«"^4l3

6Ê0IIÉTBIE DANS L*£SPACE. 3/il

Pboblème III. Le volume d'un cône est d'un mètre cube, et le rayon de sa base est le tiers de sa hauteur; quelle est la valeur de ce rayon?

Appelons r ce rayon et h la hauteur ; le volume du cône aura pour expression

ou , comme h est le triple de r,

— « — , ou itr"Xr, ou enfin wr*.

Si donc on divise 1""*^ par le rapport it, oupar 3,1416, on aura le cube du rayon; on trouve ainsi O'^'^jSlSSOOHl.

En extrayant la racine cubique de ce nombre , on obtient 0°>,682 pour le rayon demandé.

604. Théorème. Le volume d'un prisme triangulaire tronqué a pour mesure le produit de sa base par une moyenne entre les trois perpendiculaires abaissées des sommets opposés sur cette base.

Soit àBCDEF (fîg. 528) un prisme triangulaire tronqué; par les points A, £, C, faisons passer un plan ; il détachera du prisme tronqué un tétraèdre EABC , qui aura pour base ABC , et pour hauteur la perpendiculaire abaissée du point £ sur ABC ; en appelant e cette perpendiculaire, le volume du tétraèdre EABC sera exprimé par

AABCxc

Par les points D, E, C, faisons passer un plan; il partagera la pyramide quadrangulaire restante EADFG en deux tétraèdres EADC et EFDC.

Tirons DB ; il sera facile de voir que les deux tétraèdres EADC et BADC sont équivalents ; car ils ont môme base ADC , et leurs sommets E et B sont sur une droite EB parallèle à cette base, puisqu'elle est parallèle à la droite AD qui y est contenue : ces deux tétraèdres ont donc môme base et môme hauteur, et sont, par conséquent, équivalents (691). Or le tétraèdre BADC peut ôtre considéré comme ayant son sommet en D; il a alors pour base ABC, et pour hauteur la perpendiculaire abaissée du point D sur cette base; en nommant d cette perpendiculaire, le volume du tétraèdre DABC, ou celui du tétraèdre équivalent EADC , aura pour expression

^ABCxrf.

Tirons FA et FB ; on prouvera sans peine que les tétraèdres EFDC et BAFC sont équivalents. En effet, leurs bases FDC et FAC sont des triangles équivalents, puisqu'ils ont môme base FC et môme hauteur. De plus , les sommets £ et B de ces deux tétraèdres sont

sur uno droite EB parallèle au plan de leurs bases ; ces tétraèdres sont donc équivalents (601). Or, le tétraèdre BÂFC peut être con* sidéré comme ayant son sommet au point F ; il a alors pour base ABC, et pour hauteur la perpendiculaire abaissée du point F sur cette base ; en nommant / cette perpendiculaire , le volume du tétraèdre FABC, ou celui du tétraèdre équivalent EFDC, aura pour expression

^ABCx/.

Le volume du prisme tronqué, qui se compose des trois tétraèdres EABC , EADC et EFDC , a donc pour mesure :

iABCx«+iABCxd-|-iABCx/,

ou iABCx(c+<^+/), ou encore ABCxK^+^+/)-

Mais^(c + d-|-/) exprime une moyenne entre les trois perpendiculaires 0, d, /. Le volume du prisme tronqué a donc pour mesure le produit de sa base par cette moyenne.

Corollaire. Lorsque le prisme triangulaire est droit, les perpendiculaires e^dyf^ ne sont autre chose que les arêtes latérales AD, BE, CF; on peut donc dire que le volume d'un prisme triangulaire droit tronqué a pour mesure le produit de sa base par une moyenne entre ses trois arêtes latérales.

69S. Théorèiir. Le volume d'un parallélépipède droit tronqué a pour me^ sure le produit de sa hase par une moyenne (ariUimélique) entre deux arêtes latérales opposées.

Soit ABCDEFGH (flg. 529) un paraUélépipède droit tronqué par un plan EFGH incliné à sa base. 11 est facile de voir d'abord que celle section est un parallélogramme; car les droites £F et GH , étant les inlerseclions de deux plans parallèles âBFE et DCGH par un troisième EFGH, sont parallèles entre efle5;on en peul dire aulanl des droites EH et FG; la ûgure EFGH est donc un parallélogramme.

Menons le plan diagonal DBFH : il divisera le parallélépipède tronqué en deux prismes triangulaires tronqués ADDEFH et Br.DFGH. En vertu du corollaire du Uiéorème précédent, le prisme tronqué ÂBDEFH aura pour mesure

ABDxi(AE4-BF + DH),

et le prisme tronqué BCDFGH aura pour mesure :

BCDxHBF + DH + CG).

Leur somme, ou le parallélépipède tronqué, aura donc pour mesure la somme des expressions précédentes ; et si l'on remarque que Ton peut remplacer BCD par son égal ABD, celle mesure aura pour expression :

ABDxi(AE + CG + 2BF + 2DH) [I],

Tirons EG et AG, et joignons les points 1 el 0 , milieux des diagonales HF, £0 et AC, BD : la droite 10 sera l'intersection des deux plans DBFH el ACGE, puisqu'elle a, dans chacun d'eux , les deux points 1 et 0. U Ogure DBFH étant un trapèze» la droite 10 , qui Joint les milieux des

GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE. 3/lS

c6tés non parallèles, est une moyenne arithmétique entre les deux côtés parallèles; on a donc

i (BF + DH)=IO; d'où BF4-DH=2I0,

cl , par conséquent , îBF + 2DH = 410.

La figure ÂCGE étant aussi un trapèze, la droite 10, qui joint les milieux des côtés non parallèles, est une moyenne arithmétique entre les deux côtés parallèles, et Ton a

}(AE+CG) = 10; d'où AE + CG=210.

A raide de ces valeurs , Texpression [1] pourra s'écrire :

ABDxi (210 + 410),

ou ABD X 4 610 , ou ABD + 210 , ou , ce qui revient au même ,

2 ABD X 10 , ou enfin ABCD x 10.

Ainsi , le volume du parallélépipède droit tronqué a pour mesure le produit de sa base ABCD par la droite 10, qui joint les points de rencontre des diagonales des deux bases. Or , nous venons de voir que 10 est une moyenne arithmétique , soit entre les deux arêtes opposées BF et DH , soit entre les deux arrêtes opposées AË et GG ; donc , etc.

696. Théorème. Le volume d'un tétraèdre tronqué a pour mesure le tiers du produit de sa hauteur par la somme de ses deux bases et d*une moyenne géométrique entre ces bases.

Soit ABCDEF (fig. 530) un tétraèdre tronqué. Par les points A, E, C, faisons passer un plan ; il détachera du tétraèdre tronqué un tétraèdre EABC , qui aura pour hauteur la hauteur du tronc, et pour base la base ABC; en appelant H la hauteur du tronc^ le volume de ce tétraèdre aura donc pour expression

^HxABC.

Par les points D, E, C, faisons passer un plan , il divisera la pyramide quadrangulaire restante EADFC en deux tétraèdres EDFC et EADC. Le premier de ces deux tétraèdres peut être considéré comme ayant son sommet au point C, et pour base DEF. Sa hauteur est donc égale à celle du tronc et son volume a poiu* expression

^HXDEF.

Reste le dernier tétraèdre EADC. Pour obtenir Texpression de son volume, menons par le point E, dans le plan ABED, la droite El parallèle à AD, et joignons DI ; nous aurons à considérer un nouveau tétraèdre lADC. Il est facile de voir que ce nouveau tétraèdre équivaut au tétraèdre EADC ; car ils ont même base ADC , et leurs sommets I et E sont sur une droite El parallèle à cette base , puisqu'elle est parallèle à une droite AD contenue dans cette base; ces deux tétraèdres ont donc même base et même hauteur, et sont , par conséquent, équivalents.

3&(l 8EG0NDB PABTie.

Or, le tétraèdre lADC peut être considéré comme ayant son sommet au point E , et pour base AIC ; il a donc même hauteur que le tronc, et son volume, ou, ce qui revient au même, le volume du tétraèdre équivalent EADC, a pour expression

Le tétraèdre tronqué , qui est la somme des trois tétraèdres EABC, EDFC, EADC , a donc pour mesure

iHxABC+^HxDEF+^HxAIC,

ou ^ H X (ABC+ DEF + AIC).

Pour démontrer le théorème énoncé , il ne reste donc plus qu'à prouver que AIC est une moyenne géométrique entre ABC et DEF. Pour cela , remarquons que les droites DE et DF étant, par la nature môme du tétraèdre tronqué , respectivement parallèles à AC et AB, les deux angles EDF et lAC sont égaux ; les deux triangles DEF et lAC sont donc entre eux comme les produits des côtés qui comprennent l'angle égal, et Ton a

DEF:AIC::DExDF:AIxAC.

Mais DE et AI sont égaux comme parallèles comprises entre parallèles; les deux termes du second rapport ont donc un facteur commun que l'on peut supprimer, et il reste

DEF:AIC::DF:AC [il-

Les triangles AIC et ABC, qui ont même hauteur puisqu'ils ont même sommet C et leurs bases en ligne droite , sont entre eux comme ces bases, et l'on a