DF:AC::AI:AB

En vertu de cette dernière proportion , les deux proportions [1] et [2] ont leurs seconds rapports égaux; les deux premiers le sont donc aussi , et il vient

DEF: AIC:: AIC: ABC.

Ainsi le triangle AIC est une moyenne géométrique entre les deux bases DEF et ABC du tétraèdre tronqué. Donc, etc.

GÉOMÉTRIE DAI9S L*JBSPACE. 3^5

697. Théorème. Le volume d'une pyramide tronquée a peur me-sure le tiers du produit de sa hauteur par la somme de ses bases et d'une moyenne géométrique entre ces bases.

En effet, soit KBCDEabede (fig. 531) une pyramide tronquée, et SABCDE la pyraihide entière. Imaginons un tétraèdre OMNP de même hauteur que la pyramide SABCDE , dont la base MNP soit équivalente à la base ABCDE, et posée sur un même plan. Prolongeons le plan abcde; il coupera le tétraèdre OMNP suivant un triangle mnp, et déterminera un tétraèdre Omnp qui aura même hauteur que la petite pyramide Sabcde. Appelons H la hauteur des deux pyramides SABCDE et OMNP, et h la hauteur des deux pyramides Sabcde et Omnp. La pyramide Sabcde étant semblable à la pyramide SABCDE (606), on aura

abcde:kBCDE::h*:E\

Le tétraèdre Omnp étant semblable au tétraèdre OMNP, on aura de même

innp:MNP::A«:H«,

d'où , à cause du rapport commun ,

abcde : ABCDE : : mnp : MNP.

Or, par supposition, les conséquents sont équivalents ; il en est donc de même des antécédents.

Cela posé, remarquons que le tétraèdre OMNP équivaut à la pyramide SABCDE , puisqu'il a une base équivalente et même hauteur (691, 692). Par la même raison, le tétraèdre Omnp équivaut à la pyramide Sabcde. Il en résulte que le tronc de tétraèdre équivaut au tronc de pyramide.

Mais le premier a pour mesure le tiers du produit de sa hauteur par la somme de ses bases et d'une moyenne géométrique entre ces bases. Cette mesure est donc aussi celle du tronc de pyramide; et comme ce tronc a même hauteur que le tronc de tétraèdre et des bases équivalentes, il s'ensuit que le tronc de pyramide a pour mesure le tiers du produit de sa hauteur par la somme de ses basés ABCDE et abcde, et d'une moyenne géométrique entre ces bases.

CoROLUiRE. Ce théorème étant général , s'applique aux pyramides régulières tronquées.

Application. Un bassin a ses murs en talus, le fond est un carré dont le côté a 30", les bords forment aussi un carré dont le côté a 32", et la profondeur du bassin est dei^; on demande sa capacité en hectolitres.

La forme du bassin est celle d'une pyramide tronquée. L'aire de sa plus grande base est de 32" X32'", ou 1024"S- l*aire de sa plus

3&Ô SECONDE PABTIB.

petite baae est de 30" X 30", ou 900"-°; la moyenne géométrique entre ces deux bases est y/ïo24"*x900"-% ou 960"*. La capacité du bassin a donc pour expression

ou i4"»X2884«% ou 3845«%333....

ce qui revient à 3845333'*«*-*«**, ou à 3846333 litres , ou enfin i 38453 hectolitres et 33 litres.

698. Théorème. Le volume d'un cône tronqué a pour mesure le tiers du produit de sa hauteur par la somme de ses bases et d'une moyenne géométrique entre ces bases.

Car un cône tronqué peut être considéré comme une pyramide régulière tronquée dont les bases sont des polygones réguliers d*un nombre infini de côtés infiniment petits. La mesure de son volume rentre donc dans celle du volume d'une pyramide tronquée.

Corollaire. L'expression du volume du cône tronqué est susceptible d'une forme remarquable. Si Ton nomme h sa hauteur, R et r les rayons de ses bases, Taire de la base inférieure sera TtR', celle de la base supérieure sera -nr^ ; la moyenne géométrique entre ces

bases sera v/7rR*X7rr*, ou y^ir'xR'X^» ou tcRx^. Le volume du tronc de cône sera donc représenté par

JAX(7rR'+7rr*+7rRXr),

ou ^^Ax(R*+;^+RXr),

c'est-à-dire que powr obtenir le volume d'un tronc de cône, il faut faire le carré du plus grand rayon , le carré du plus petit, et le produit du plus grand par le plus petit; ajouter ces trois résultats, multiplier la somme par la hauteur du tronc et par le rapport de la circonférence au diamètre , puis prendre le tiers du produit.

Applications. L Problème. On demande la capacité d'un cuvier dont le fond a l'^^X^de rayon, le bord supérieur l^.SS de rayon, et dont la profondeur est de 1™,54.

La forme d'un cuvier est ordinairement celle d'un cône tronqué; en ayant égard aux données ci-dessus , on voit que la capacité demandée a pour valeur

iX^Xl'»,54X[(l%38)*+(l-,l2)«+l",38Xl-,12],

ou fîXl",54x[l'"S9044+l™«,2544+l«%5456],

ou bien f J X 1",54 X 4-%7044,

ou enfin 7"*"*"^,244776, ce qui revient à 72 hectolitres et 48 litres environ.

II. Pour mesurer le bois en grume, c'est-à-dire recouvert de son écorce et de

GÊOMÊTBIE DANS t*ESPACE. 3&7

son aubier, on considère chaque arbre, quand il est droit, comme un cOne tronqué. On trace à ses deux bouts, en dedans de I*aubier , deux cercles qui sont les bases du tronc; quant à sa hauteur, elle est égale k la longueur de l'arbre mesurée , non pas sur sa surrace, mais perpendiculairement aux bases. Pour obtenir celte mesure, on peut appliquer une règle horizontalement au centre de chacune des i^xlrémilés de l'arbre, supposé couché sur le sol, et mesurer ensuite la distance des deux règles.

Supposons que la longueur de l'arbre ait été trouvée de 4",f 1 ; le rayon de la plus grande base de 0",fô; et le rayon de la plus petite base de 0",12; le volume du tronc de cône aura pour valeur

iX V X ♦Ml X [(m5)»+(O-,12)»+0M5x0-,12].

En effectuant les calculs, on trouve

Dans la pratique , on mesure la longueur de Tarbre sur sa surface, et Ton multiplie celle longueur par Taire de la section faite ^ égale distance des deux bases , section qui, abstraction faite de l'écorce et de l'aubier, a pour rayon la demi-somme des rayons des deux bases.

Celte manière d'opérer est inexacte; mais comme elle est assez expéditive, on peut remployer lorsque les rayons des deux bases diffèrent peu, et que l'on ne désire pas une grande approximation.

III. Pour jauger un tonneau, c'est-à-dire pour évaluer sa capacité, on peut le considérer comme formé de deux cdnes tronqués égaux , réunis par leur plus grande base ; cette base commune est la section perpendiculaire ^ l'axe , faite k la hauteur de la bonde ; le diamètre de cette section s'obtient en introduisant une règle divisée par l'orifice de la bonde. La circonférence de chacun des deux fonds circulaires du tonneau porte le nom de jable, et la partie renflée où se trouve la bonde porte le nom de bouge. Pour obtenir, -d'après ce qui précède , la capacité d'un tonneau , il faudrait faire le carré du rayon du jable , le carré du rayon du bouge, et le produit de ces deux rayons ; ajouter ces trois résultats , multiplier la somme par la longueur du tonneau dans le sens de son axe , et par le rapport de la circonférence au diamètre , puis prendre le tiers du produit.

Si, par exemple, le rayon du jable était de 0-,20, le rayon du bouge de 0",30, et la longueur du tonneau deO",00, sa capacité serait

JX¥X0-,90X(0-,2C X0-,2G+ 0-,30xO-,30+ 0-,20x0-,80),

ce qui donnerait, tout calcul fait, 0— "^,222137, ou 222*•••"»^137, c'est-à-dire un peu plus de 222 litres.

Ce mode d'évaluation donne toujours un résultat trop faible; et l'on en concevra facilement la raison, si l'on remarque que la génératrice de la surface du tonneau est une ligne courbe, convexe vers l'extérieur, tandis que la génératrice- de chacun des troncs de cône que nous venons de considérer n'en est qu'une corde , en sorte que la surface de chaque tronc de cône est intérieure à celle du tonneau.

Les percepteurs des droits sur les boissons emploient pour mesurer la capacité des tonneaux une règle divisée, nommée jou^c , qu'ils introduisent par ia bonde dans diverses directions, pour en conclure ensuite la capacité cherchée par un calcul fort simple. Quand ils n'ont point de jauge, ils ont recours à un calcul analogue à celui que nous venons de faire; mais pour tenir compte de l'erreur que l'on commet en remplaçant la capacité du tonneau par deux cônes tronqués, ils remplacent le produit des deux rayons par le carré du plus grand. Si l'on fait le calcul de cette manière, on verra qu'il revient à la règle suivante, adoptée dans les droits réunis : faire le carré du diamètre du jable.

ZkB SECONDE PARTIE.

y ajouter le double du carré du diamètre du bouge, muUipUer laêomme par la longueur du tonneau et par le nombre 0,262.

En opérant d'après celle règle sur les données précédentes, on obtient pour résultat 233 litres {. On yoit que ce résultat diffère de il litres { de celui que BOUS avions obtenu d'abord.

099. Tout polyèdre pouvant se décomposer en pyramides dont on sait évaluer le volume, on voit qu'il est possible de mesurer celui d'un polyèdre quelconque.

Supposons que Ton prenne pour sommet commun de toutes les pyramides l'un des sommets du polyèdre lui-même ; la base de chacime de ces pyramides étant ime des faces du polyèdre, on en pourra mesurer Taire , et la question se réduira à mesurer la hauteur de chaque pyramide.

On pourra employer à cet effet Tappareil que représente la figure 471; on posera le polyèdre sur le plan horizontal inférieur par la face qui sert de base I la pyramide dont on veut mesurer la hauteur, et Ton fera varier la position du polyèdre et celle du plan horizontal supérieur, jusqu'à ce qu'une arête inférieure de ce plan vienne passer par le sommet de la pyramide. La distance des deux plans horizontaux, mesurée sur la tige verticale, indiquera la hauteur cherchée.

On comprend qu'il faut se servir d'une arête inférieure du plan horizontal mobile, et non de sa surface même, parce qu'il peut arriver que le polyèdre ait des points plus élevés que celui qui sert de sommet à la pyramide dont on mesure la hauteur.

Ce procédé n'est applicable d'une manière générale qu'aux polyèdres convexes, et nous avons dit que ce sont aussi les seuls que la Géométrie élémentaire ait à considérer. II est rare , d'ailleurs , qu'un polyèdre ne présente pas dans sa forme quelque pârlicularité qui facilite la recherche de son volume; c'est ce qui arrive pour la plupart de ceux que l'on rencontre dans la pratique.

700. Il résulte du théorème du n*» 030 que si Ton prend deux faces égales de deux tétraèdres symétriques pour bases de ces tétraèdres , ils auront aussi même hauteur, et dès lors ils ont même volume, puisque leur mesure est la même.

Deux polyèdres symétriques pouvant toujours se décomposer en un même nombre de tétraèdres symétriques , équivalents en volume d'après ce que nous venons de dire, il s'ensuit que ces deux polyèdres sont eux-mêmes équivalents. Et comme un corps quelconque peut toujours être considéré comme un polyèdre, puisque, s'il se termine par une ou plusieurs surfaces courbes , il suffit de supposer ses faces infiniment petites, on voit que toutes les fois qu'un corps a un plan de symétrie, les deux parties séparées par ce plan sont équivalentes en volume; ce qu*il était d'ailleurs facile de pressentir.

701. Parmi les polyèdres réguliers, il en est deux dont nous avons appris à mesurer le volume • ce sont le tétraèdre régulier et le cube. On pourrait obtenir le volume des autres par le moyen général indiqué au n» 699. Mais on peut remarquer que si l'on décompose un polyèdre régulier en pyramides qui aient son centre pour sommet commun et ses faces pour bases , par la nature même de ce polyèdre, toutes les pyramides seront égales? et leur hauteur sera la

GÉOMÉTRIE DANS L'ESPAGE. 3Zl9

dislance du centre du polyèdre à l'une quelconque de ses faces, distance que Ton nomme son apothème. Pour obtenir le volume de ce polyèdre, il faudra donc mesurer Taire d'une de ses faces, la multiplier par la longueur de Tapothème , prendre le tiers du produit , et multiplier le résultat par le nombre des pyramides , c'est-à-dire par le nombre des faces.

La longueur de l'apothème, qui entre dans le calcul précédent, est facile Jk obtenir; car les polyèdres dont nous parlons ont tous des faces parallèles, dont la distance est évidemment le double de l'apothème cherché : or, celte distance • s'obtiendra sans peine au moyen de l'appareil que représente la flg. 471.

702. Théorème. Le volume d*une sphère a pour mesure le produit de sa surface par le tiers de son rayon.

Concevons la surface de la sphère partagée, par des arcs de grands cercles , en portions triangulaires ou polygonales assez petites pour que chacune d'elles puisse être considérée comme plane, et les arcs qui lui servent de côtés comme rectilignes; chacune de ces portions de surface sera ce que nous avons nommé un élément de surface ; et la sphère se trouvera remplacée par un polyèdre. Imaginons que ce polyèdre soit décomposé en pyramides ayant pour sommet commun le centre de la sphère et pour bases les divers éléments de sa surface, et considérons en particulier Tune quelconque de ces pyramides.

Sa base étant un élément de la surface de la sphère, ou, ce qui revient au même, un élément de plan tangent, est perpendiculaire à l'extrémité d'un rayon , ce qui revient à dire que la perpendiculaire abaissée du centre de la sphère sur l'élément qui sert de base à la pyramide est égale au rayon de la sphère, ou, en d'autres termes , que la hauteur de la pyramide est égale au rayon ; d'où il suit que le volume de cette pyramide a pour mesure le produit de l'élément qui lui sert de base par le tiers du rayon.

Or, comme on en peut dire autant de toutes les autres pyramides il s'ensuit que leur somme , ou le volume total de la sphère , a pour mesure la somme des produits de chaque base par le tiers du rayon, ou le produit de la somme des bases par le tiers du rayon , ou enfin le produit de la surface de la sphère par le tiers de son rayon.

Corollaire. La surface de la sphère dont le rayon estR^ a pour mesure 4?cR*. Si l'on multiplie cette expression par |R, on obtient pour produit 4TtR»xiR, ou^itR*. Ainsi, pour obtenir le volume d'une sphère, il faut faire le cube de son rayon, le multiplier par le rapport de la circonférence au diamètre et prendre les ^ du produit; ce qui revient à multiplier le cube du rayon par 4,1887902... ou simplement par 4,1888.

Applications. — Problème I. Qîiel est le volume d'un boulet qui a 22 centimètres de diamètre?

Le diamètre ayant 22**"*, le rayon a 1 1''*"*; le cube de ce rayon vaut I33iee..t.eub . \q yolume dcmaudé équivaut donc à 1331''"*''X 4,1888

ou à 5dw.ci.b 575ctt»|.c.ib 293miU-c«b^

350 SEGOMDB PARTIE.

Problàme il En considérant la terre comme une sphère dont le rayon est de 636"y',62, quel est son volume en myriamètrcs cubes ?

Le volume demandé aura pour valeur (636™y',62)'x 4,1887902. En effectuant les calculs indiqués, on trouve pour résultat environ 1081 millions de myriamètres cubes.

Problème HI. Quel est le volume d*une sphère dont la surface équivaut à un mètre carré?

Désignons par R le rayon de la sphère , par S sa surrace , et par V son volume. Nous aurons

S=4iïR'' et V=J7cR«.

Si Ton prend la valeur de R dans la première égalité pour la substituer dans la seconde, on trouvera, toutes réductions faites,

^ — — 7=' 6v/ît

Appliquant celte formule à l'exemple proposé, on aura

|m.caJ>

V=— ji== = 0- •^,094 6 V 3,141092 ou 94 décimètres cubes.

Problème IV. Qitel diamètre faut-il donner à un bassin demi" sphériqus pour que sa capacité soit de 50 hectolitres?

Appelons R le rayon du bassin; la capacité de la demi -sphère aura pour expression fxR'; et comme 50 hectolitres représentent 5000 litres ou 5000 décimètres cubes , on devra avoir

§TrR»= 6000*«<^-<^"»', ou § X^7^ X R* =5000**«"^«^,

ou enfin f } xR'=5000^"*^"^.

Si Ton divise les deux membres de l'égalité par ff , on obtient

Par conséquent, en extrayant la racine cubique de ce nombre, on aura le rayon du bassin. On trouve ainsi 13**%3 dont le double 26'**%6, ou 2'",66 est le diamètre demandé.

705. Théorème. Le volume d'un secteur sphérique a pour mesure le produit de l'aire de la calotte qui lui sert de base par le tiers du rayon,

La démonstration est la même que pour le théorème précédent.

Corollaire. Soient h la hauteur de la calotte qui sert de base au secteur et R le rayon de la sphère, 27cRx/^sera Taire de cette calotte (663) ; le volume du secteur sera donc 2îrR x A X^R, ou §7cRVi. Or itR' exprime Taire d'un grand cercle; pour avoir le volume d'un secteur sphérique ^ il faut donc multiplier l'aire d'un gra7id cercle par la hauteur de la calotte qui sert de base à ce secteur, et prendre les deux tiers du produit.

704. Théorème. Le volume d'un segment sphérique a pour mesure

GÉOMÊTEIB DAMS L'fiSPACE. 351

le produit de l'aire du cercle qui aurait pour rayon la hauteur de ce segment y par le rayon de la sphère diminué du tiers de cette hauteur. Soient PP' (fig. 507) l'axe du segment, PAP'B une section méridienne faite dans la sphère suivant cet axe; AB l'intersection du plan de ce méridien avec le plan qui termine le segment. La portion PC de Taxe, comprise entre son extrémité P et la ligne AB, sera la hauteur du segment. Son volume sera la différence entre celui du secteur sphérique engendré par le secteur circulaire AOP, et celui du cône engendré par le triangle rectangle ACO. Ainsi, en nommant V le volume du segment , on aura

V==f7r()PxPC—i7rÂC'xOC (703,693).

Afin d*abréger récriture , désignons le rayon OP par R, la hauteur CP par A. La demi-corde AC étant perpendiculaire au diamètre PP', est moyenne géométrique entre les deux segments de ce diamètre. On a donc

ÂC'=PCXP'C = *(2R— A).

On a d'ailleurs OC = R— *.

L'expression du volume V peut donc s'écrire :

V = §TrR»A— ^7rA(2R— A)(R— A), ou V=^irA[2R«— (2R — A)(R — A)],

ou V = ^7rA(3RA — A*),

ou enfin V = îrA'(R— ^ A) ;

ce qui revient à l'énoncé du théorème.

Remarque. Cette expression suppyose que l'on connaisse le rayon OP de la sphère. Si le segment était donné détaché de la sphère , son rayon ne serait pas immédiatement connu. Mais on remarquerait que si l'on joint AP et AP' le triangle PAP' sera rectangle en A, et donnera

ÂP==PCxPP'=PCX2 0P=:2PCxOP.

D'un autre côté, dans le triangle rectangle ACP , on a ÂP' = PC' + ÂC'. En égalant ces deux valeurs de ÂP, il vient

2PCxOP = PC*+Â^; d'où 0P=?^^±^,

expression qui permet de calculer le rayon OP à l'aide de la hauteur PC du segment et du rayon AC du cercle qui le termine.

Application. Un bassin a la forme d'une defni'^phère, dont le diamètre est de 3°' ; il est rempli d'eau jusqu'à une hauteur de 1", 2, à partir du point le plus bas; quelle est la quantité d'eau contenue?

L'eau contenue forme un segment sphérique dont la hauteur est de'l^jî, et le problème se réduit à calculer le volume de ce segment. Or, Taire du cercle dont le rayon aurait 1"»,2 a pour valeur ^X(l",2)', ou 4'"%5267; multiplions cette aire par le rayon de la sphère dinrinué du tiers de la hauteur du segment, c'est-àdire par 1"",6 moins 0™,4, ou par !*",!, nous aurons pour produit 4"-^"^,978270 ou 4978'*'*^*'"*S270, qui représentent 4978"«'«,27, ou 49 hectolitres 78 litres et une fraction de litre.

Corollaire. On obtiendrait le volume d'une tranche sphérique, telle que mnpqm'n'p'^ (fig. 455), en remarquant qu'elle est la différence entre les deux segments kmnpq et km'n'p'q'.

705. Théorème. Le volume d'un coin sphérique est à celui de la sphère comme Vangle dièdre du coin est à 4 angles droits.

Môme observation que pour la proposition relative à l'aire du fuseau (667).

706. Pour évaluer approximalivement le volume d'un corps terminé par une ou plusieurs surfaces courbes quelconques, la méthode ordinaire consiste a le décomposer, au moyen de deux systèmes de plans parallèles, rectangulaires entre eux, en une série de parallélépipèdes rectangles tronqués, et de pyramides rectangulaires.

S*il s'agit d'évaluer le volume d'un monticule, on prend les deux systèmes de plans verticaux. L'intersection de chaque plan vertical avec le terrain s'obtient par une ligne jalonnée. Les arêtes verticales des parallélépipèdes ou des pyramides se mesurent à l'aide d'un nivellement ; et les arêtes horizontales de leurs bases sont les distances horizontales entre les plans verticaux consécuUfs, distances faciles à mesurer.

Pour les corps de petites dimensions qu'on ne peut pas assimiler a des corps géométriques I on emploie un autre procédé, fondé sur la considération de leur poids , et dont nous parlerons bientôt.