CHAPITRE IX
DE hk GOHPÀlUISOli DES TOLUHBS.
707. Théorème. Deux parallélépipèdes rectangles deméfnebase sont entre eux comme leurs hauteurs.
Faisons coïncider les deux parallélépipèdes par leur base égale; les arêtes perpendiculaires à cette base suivront deux à deux des directions communes. Soient AG et AL (fig. 532) les deux parallélépipèdes ainsi placés ; et supposons d'abord que les hauteurs AE et AI aient une coipmune mesure, qui soit contenue, par exemple, 5 fois dans AE et 8 fois dans AI. Divisons AI en 8 parties égales; AE contiendra ô de ces parties. Par tous les points de division menons des
GÉOMÉTRIE DAIIS L'£SPACË. 353
plans parallèles aux bases; nous formerons ainsi une suite de parallélépipèdes rectangles égaux entre eux; car, en vertu du théorème du n*" 012, leurs bases seront égales , et par suit« de la construction même ils auront même hauteur (621). Le parallélépipède AL en contiendra 8, et le parallélépipède ÀG en contiendra ô; ces deux parallélépipèdes sont donc entre eux comme les nombres 8 et 5. Mais leurs hauteurs AI et AE sont aussi entre elles comme 8 est à 5 ; les deux parallélépipèdes sont donc entre eux comme leurs hauteurs.
Si les hauteurs sont incommensurables, divisons AI en un certain nombre n de parties égales ; AE en contiendra un certain nombre m*
AE
et sera compris entre m et m -f- 1 de ces parties. Le rapport -rj sera
donc compns entre — et — • — .
Par tous les points de division de AI menons-lui des plans perpendiculaires ; nous formerons n parallélépipèdes rectangles égaux. AG en contiendra m^ et sera compris entre m et m -|- 1 de ces parallélépipèdes partiels ; ainsi le rapport -^ sera compris entre — et » ■ .
Les quantités -tt ^^ tt ^^^^ comprises toutes deux entre les
fractions — et "* qui ne diffèrent que de - , c'est-à-dire d'aussi
peu que Ton voudra, puisqu'on peut prendre n aussi grand qu'on le désire, diffèrent elles-mêmes d'aussi peu qu'on voudra : c'est-àdire qu'elles sont rigoureusement égales.
Applications. Une poutre, dont la forme est celle d*wi parallélépipède rectangle, a 3™,9 de longueur, et son volume équivaut à 24o^«!-«">>; quel sera le volume d'un morceau de cette poutre (coupée perpendiculairement à sa longueur)^ long de 2'",6 ?
Pour résoudre cette question , on a à comparer deux parallélépipèdes rectangles qui ne diffèrent que par l'une de leurs dimensions; on peut donc appliquer le théorème qui précède; et en nonunant x le volume cherché, on devra avoir :
