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708. Théorèmb. Deux parallélépipèdes rectangles quelconques sont entre eux comme les produits de leurs trois dimensions.

Soient A, B, D les trois dimensions d'un parallélépipède rectangle , ou les trois arêtes qui aboutissent à un môme sommet, et soit P le volume de ce parallélépipède. Soient de même a, 6, d les trois dimensions d'un second parallélépipède rectangle dont nous désignerons le volume par jp.

Concevons, en outre , deux autres parallélépipèdes rectangles : le premier, ayant pour dimensions A, B, (2, et un volume représenté par Q; le second, eyant pour dimensions A, 6, d, et un volume représenté par R.

Les deux parallélépipèdes P et Q auront deux dimensions communes, savoir : A et B; et si on leur donne pour base la face qui contient ces deux arêtes, ils auront même base, et seront, par conséquent , entre eux comme leurs hauteurs , c'est-à-dire comme leurs troisièmes dimensions , et on aura :

D est facile de voir que, par une raison analogue, on aura de même

et R :^ :: A: a.

Multiplions ces trois proportions terme à terme , en supprimant les deux facteurs Q et R qui deviendraient communs aux deux termes du premier rapport, il viendra :

P:p::DxBxA:(^XôXa.

Corollaire I. Deux parallélépipèdes rectangles qui ont une dimension commune sont entre eux comme les produits des deux autres.

Car si dans la proportion précédente on supposeD = d, les deux termes du second rapport auront un facteur commun que Ton pourra supprimer, et il restera

P:i>::BxA:ôxa.

Application. Les volumes de deux murs qui ont même épaisseur sont entre eux comme les produits de leur hauteur par leur longueur. Si , par exemple, le premier mur a 20" de long sur 2"»,5 de haut, et le second 15" de long sur 3" de haut, et que le volume du premier soit de 40"*~^, pour avoir le volume du second , il faudra poser la proportion