X : 40"-«^ : : 15« X 3" : 20» X 2",5 ; d'où X

700. Corollaire U. Si le second parallélépipède rectangle était un cube qui eût pour arête Tunité de longueur, le volume que nous avons désigné par p serait alors Tunité de volume ; et si Ton nomme u l'unité de longueur, on aurait à la fois a = 2/, ft = tt, rf=tt, et la proportion obtenue plus haut deviendrait

P:/)::DxBxA:t*xtfXw.

GÉOMÉTRIE DANS L'ëSPAGE. 355

On tire de là

P^DXBXA^D B A

p «XwXv « w tt ^^'

p Or, - , c'est-à-dire le rapport qui existe entre le volume du parallélépipède rectangle et Tunité de volume, c'est le nombre d'unités de volume contenues dans le volume de ce parallélépipède; -, ou le

rapport qui existe entre Taréte D du parallélépipède et Tunité de longueur, c'est le nombre d'unités de longueur contenues dans

cette arête ; de même - et - expriment le nombre d'unités de longueur contenues dans chacune des arêtes B et A. L'égalité [1] signifie donc que le nombre d'unités de volume contenues dans un parallélépipède rectangle équivaut au produit des nombres d'unités de longueur contenues dans ses trois dimensions , ou , en d'autres termes , que le volume d'u9i parallélépipède rectangle a pour mesure le produit de ses trois dimensions , ou des trois arêtes contiguês à un même sommet.

Nous retombons ainsi sur le théorème du n^ 690. Ce théorème , et par suite tous les théorèmes relatifs aux mesures de volume que nous en avons déduits, se trouvent ainsi démontrés d'une manière rigoureuse dans le cas de l'incommensurabilité. Mais nous avons préféré écarter d'abord ce cas purement théorique , afin de présenter les propositions d'une manière plus frappante.

7iO. Corollaire III. Si l'on voulait former un cube qui fût équivalent en volume au parallélépipède rectangle dont les trois dimensions sont A, B, D, il faudrait, en nommant x Taréte de ce cube, poser l'égalité

arXa?Xa:=AxBxD, ou a?»=AxBxD; d'où a?=V^AxBxD,

c'est-à-dire que pour obtenir l'arête de ce cube, il faut multiplier entre elles les trois dimensions du parallélépipède rectangle, et extraire la racine cubique du produit.

Application. Si, par exemple, un parallélépipède rectangle avait 2'",4 de longueur, 1"»,8 de largeur, et 0*»,4 de hauteur, son volume serait 2",4X1",8X0",4, ou l"-^"\728. La racine cubique de ce nombre est l'",2; ainsi un cube qui aurait pour arête l'°,2 serait équivalent en volume au parallélépipède proposé.

Remarque. L'opération qui a pour but de transformer un corps quelconque en un cube équivalent , se nomme cubature. Lorsque le volmne du corps proposé est réduit en nombre , sa cubature

356 SECONDE PABTIE.

n'est plus qu'une opération d'arithmétique; car, en extrayant la racine cubique de ce nombre, on obtient l'arête du cube équivalent.

711. THÉORiniE. Deux prismes de même hauteur sont entre eux comme leurs hases; et deux prismes dont les bases sont égales ou équivalentes sont entre eux comme leurs hauteurs.

En effet, appelons P et P' les volumes des deux prismes, B et B' leurs bases, H et H' leurs hauteurs; chacun d'eux ayant pour mesure le produit de sa base par sa hauteur (687) , on a la proportion identique

P:P::BxH:B'xH' [ij.

Si les hauteurs sont égales, on a H' =H; on peut alors dans le second rapport supprimer le facteur conunun H ou H', et il reste

Si au contraire les bases sont équivalentes, on a B'=B; et l'on déduit de la proportion [1] , en supprimant dans le second rapport le facteur B ou B',

Les deux proportions [2] et [3] reviennent à l'énoncé du théorème.

Ck)ROLLAiRB I. Ce théorème s'étend aux cylindres ; en sorte que detêx cylindres de même hauteur sont entre eux comme leurs doses, ou , ce qui revient au même , comme les carrés des rayons de ces bases; et que deux cylindres de même base sont entre eux comme leurs hauteurs.

GoROLLiLiRE IL II résulte aussi du théorème précédent que si un prisme (ou un parallélépipède) et un cylindre ont même hauteur, leurs volumes sont entre eux comme les aires de leurs bases.

Supposons , par exemple , que deux réservoirs aient même profondeur, que le premier ait une base rectangulaire de 25*" de long sur 12"" de large, et que le second ait une base circulaire de H*^ de rayon ; les capacités de ces deux réservoirs seront entre elles comme 25"X12» est à ^^X 14-»X14", ou comme 300"-« est à 616°» •^

Remarque. Si Ton voulait construire un réservoir à base carrée, équivalent en capacité à un réservoir cylindrique de même profondeur, il fandrail que le carré qui sert de base au premier fût équivalent en superficie au cercle qui sert de base au second. On aurait ainsi l'exemple d'une circonstance où il devienl nécessaire d'opérer, du moins approximativement, la quadrature du cercle.

Corollaire ni. Si un prisme (ou un parallélépipède) et un cylindre ont des bases équivalentes, leurs volumes sont entre eux comme leurs hauteurs.

Corollaire IV, Si un prisme (ou un parallélépipède) et un cylindre ont des bmses équivalentes et même hauteur, ils sont équivalents en volume.

GÉOMÉTRIE DANS L*£SPAGE. 357

On a eu l'occasion de faire un cylindre équivalent à un cube lorsqu'il a fallu déterminer les dimensions des nouvelles mesures de capacité. Gomme la forme cubique eût été incommode dans le commerce , on a adopté la forme cylindrique.

Pour les matières sècbes, le cylindre doit avoir une hauteur égale à son diamètre. Soit R le rayon de la base , le volume a donc pour expression icR' x 2R ou 2icR\ Supposons qu'il s'agisse du décalitre, on devra avoir

2wR*=l'-»»'-=t0--«*, d'où R^=aJl?4l56>

ou R'= 1<^-«*,&91650775.... ;

et en extrayant la racine cubique de ce nombre, on trouve

le double de ce nombre, c'est-à-dire 2<''*,335 ou 0^335 exprime la hauteur que doit avoir le décalitre.

S'il s'agissait de l'hectolitre , on trouverait de la même numière que sa hauteur doit être de 0",503.

Pour la mesure du lait, le litre doit avoir la même forme; en répétant le calcul qui précède, on trouvera que sa hauteur doit être de 108*'",38.

Pour les autres liquides , il faut que la hauteur du litre soit double du diamètre de sa base. En nommant R le rayon de la base, l'expression de son vo^ lume est donc nR^x4R ou 47cR^; et l'on doit avoir

4irR== l*»'*-*-^, d'où R'=4-x*j?ïfr^=0^,079677538..

En extrayant la racine cubique de ce nombre, on trouve R=0^,43; le double de ce nombre , c'est-à-dire (y'*',86 ou Q'^,0%6 exprime le diamètre de la base du litre; sa hauteur doit donc être de 0",n2.

7iS. iBiOktuE., Deux pyramides de même Jiauteur sont entre elles comme leurs bases , et deux pyramides de même base sont entre elles comme leurs hauteurs.

Car, soient P et P' les volumes de ces pyramides; B et B' leurs bases , H et H' leurs hauteurs ; chacune d'elles ayant pour mesure le tiers du produit de sa base par sa hauteur (69S), on aura identiquement :

P:P'::pxH-4B'XH', ou ::BxH:B'xH'.

Si H' = H, on en déduit, comme dans le théorème précédent:

et si B=:B^ on en déduit au contraire :

CoROLLAiRB I. Ce théorème s'étend aux cônes, en sorte que deux canes de même hauteur sont entre eux comme leurs bases, ou , ce qui revient au même, comme les carrés des rayons de ces bases, et que deux cônes de même base sont entre eux comme leurs hauteurs.

Corollaire II. Si une pyramide et un cane ont même hauteur, leurs volumes sont entre e^ix comme les aires de leurs bases.

Corollaire III. Si une pyramide et un cône ont des bases équivalentes, ils sont entre eux comme leurs hauteurs.

Corollaire IV. Si une ptjramide et un cône ont d^s bases équivalentes et même hauteur, ils sont équivalents.

715. Théorème. Toutepyramide est le tiers d*un prisme de même base et de même hauteur.

Car, si Ton nomme B la base et H la hauteur, le volume du prisme aura pour mesure B xH , et celui de la pyramide ^ B xH.

Corollaire I. Tout cône est le tiers d'un cylindre de même base et de même hauteur.

Corollaire II. Toutepyramide est le tiers d'un cylindre qui a une base équivalente et même hauteur.

Corollaire III. Tout cône est le tiers d'un prisme qui a une base équivalente et même hauteur.

714. Théorème. Toute sphère est les deux tiers du cylindre circonscrit (674).

Car, si Ton nomme R le rayon de la sphère , son volume V aura pour expression f TcR*; et celui du cylindre que nous représenterons par V aura pour mesure lïR^ X 2R , ou 2irR^ Or, en prenant les J de V, on obtient pour résultat i7iR\ c'est-à-dire la valeur de V.

Remarque. L'aire de la surface de la sphère est aussi les f de celle de la surface totale du cylindre circonscrit, en y comprenant les deux bases; car celle-ci a pour mesure 2irR x2R 4- 2«R», ou 6itR», dont les | sont V^^S ou AnB?, c'està-dire l'aire de la surface de la sphère.

715. Théorème. Deux tétraèdres qui ont u% angle irièdre égal sont entre eux comme les produits des arêtes qui aboutissent au sommet de cet angle trièdre.

Soient SABD et OMNP (fig. 533) deux tétraèdres qui ont les angles trièdres égaux S et 0. Sur les arêtes correspondantes, prenons les longueurs Sfl, Sô, Sd, respectivement égales àOM, ON, OP, et joignons aô, M, ad. Nous déterminerons un nouveau tétraèdreSaôd, qui sera égal au tétraèdre OMNP, puisqu'ils auront trois faces égales chacune à chacune, et semblablement disposées (588).

Par les points A, 6, d, faisons passer un plan, les tétraèdres %abd et SAôd peuvent être considérés comme ayant pour sommet commun le point b\ leurs bases Sad et SAd étant situées dans un même plan , ces tétraèdres ont même hauteur, et sont entre eux comme leurs bases (712). Or, ces bases elles-mêmes sont des triangles de même hauteur, qui sont, par conséquent, entre eux comme leurs bases. On a donc :

SaM:SABd::Sa:SA.

Parles points A , B , d , faisons passer un plan ; les tétraèdres SAW et SABdf ont pour sommet commun le point d; leurs bases SA 6 et SAB sont sur un même plan ; ces tétraèdres ont donc môme hau-

6Ê0MÊTBIE DANS L'£SPAGB. 359

teur, et sont entre eux comme leurs bases , qui elles-mêmes sont entre elles comme les arêtes SA et SB. On a donc :

SAM:SABe^::Sft:SB.

Si Ton compare enfin les tétraèdres SABd et SÂBD, on voit qu'ils ont pour sommet commun le point A ; leurs bases Sfid et SBD sont sur un même plan; ils ont donc même hauteur, et sont entre eux comme leurs bases, qui elles-mêmes sont entre elles comme les arêtes Sd et SD. On a donc :

SABd:SABD::Sd:SD.

Si Ton multiplie ces trois proportions terme à terme, en observant que les facteurs SA6d et SABdf deviendraient tous deux communs aux deux termes du premier rapport, et que, par conséquent, on peut les supprimer, on aura :

SaM-.SABD :: Sa-xSixSd: SAxSBx SD [1].

et, en remplaçant enfin les quantités SaM, Sa, Sft, Sd par leurs égales OMNP, OM, ON, OP, il vient :

OMNP:SABD::OMxONxOP:SAxSBxSD,

ce qui revient à Ténoncé du théorème.

716. Théorème. Deux tétraèdres semblables sont entre eux comme les cubes de leurs arêtes homologues.

Soient SABC et sabc (fig. 475) deux tétraèdres semblables : les deux angles trièdres S et « étant égaux, on aura, d'après le théorème précédent,

SABC : sabc :: SAxSBxSG : saXsb>:.sc [1].

Or, à cause de la similitude des deux tétraèdres , on a

SB:sb::Sk:sa [2],

et se :*(?:: SA :«« [3].

Mais on a aussi la proportion identique

SA:*a::SA:5a [4].

Multiplions terme à terme les trois proportions [4], [2] et [3] , il viendra :

SKxSBxSC:saXsbXsc::SÂ!':'sa [5].

Les deux proportions [1] et [6] ayant un rapport commun , les deux autres rapports sont en proportion , et Ton a :

SABC:Môc::SÂ':7a.

Toutes les arêtes homologues étant proportionnelles , leurs cubes sont également proportionnels; les volumes des deux tétraèdres sont donc entre eux comme les cubes de deux arêtes homologues quelconques.

Corollaire. Les arêtes homologues étant proportionnelles aux hauteurs , les cubes des arêtes homologues sont entre eux comme les cubes des hauteurs; on peut donc dire aussi que deux tétraèdres sefnblables sont entre eux comme les cubes de leurs ïiauteurs.

7i7. Théorème. Deux pyramides semblables sont entre elles comme les cubes des arêtes liomologues.

En effet , deux pyramides semblables peuvent toujours se décomposer en un même nombre de tétraèdres semblables chacun à chacun et semblablement disposés. Soient Y le volume de Tune des pyramides , M , N , P, etc., le volume des divers tétraèdres dans lesquels cette pyramide est décomposée; A, B, C, etc., une arête quelconque de chacun de ces tétraèdres. Soient Vy m^n^p, etc., a, ft, c, etc., les parties homologues de la seconde pyramide. On aura , à cause de leur similitude,

A:a:: B: &::€:(?:: etc.;

d'où A«:a»::B»:ft»::(?:c«:: etc. [i].

On aura aussi , en vertu du théorème précédent,

[M:w::A»:a»; N:n::B»:ô»; P:|?::C«:c»; etc.; [i]

d'où il résulte, en vertu de la suite de rapports égaux [1],

M:m::N:n::P:j):: etc.

Mais, dans une suite de rapports égaux, la somme des antécédents est à la somme des conséquents comme un antécédent est à son conséquent; on peut donc écrire :

M+N + P+etc. rm + n+p+etc. ::M:m.

Or, M+ N+P+ etc. , exprime le volume V de la première pyramide, et »i+n+i? + ®tc. exprime le volume v de la seconde, on a donc :

ou, en vertu de la proportion [2],

puis enfin , en vertu de la suite de rapports égaux [1],