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CoROLLAiius. Les hauteurs de deux pyramides semblables étant

prbportionDelles aux arêtes homologues, les cubes des hauteurs sont aussi proportionnels aux cubes des arêtes homologues ; on peut donc dire que deux pyramides semblables sont entre elles comme les cubes de leurs hauteurs.

7 18. Théorème. Les volumes de deux polyèdres semblables quelconques sont entre eux comme les cubes de leurs arêtes ou de leurs diagonales homologues.

En effet , deux polyèdres semblables pouvant se décomposer en un même nombre de pyramides semblables chacune à chacune, et, par suite , en un même nombre de tétraèdres semblables chacun à chacun, la démonstration du théorème énoncé rentre dans celle du théorème précédent.

Corollaire. Les corps terminés par des surfaces courbes pouvant être considérés comme des polyèdres dont les faces sont inflnimenl petites , il en résuUe que deux corps semblables quelconques peuvent être regardés comme des polyèdres semblables, et que, par conséquent, en vertu du théorème qui précède, les volumes de deux corps semblables quelconques sont entre eux comme les cubes de leurs lignes homologues.

Applications. I. Lorsque Ton a exécuté en petit le modèle d'une construction terrestre ou navale quelconque , on peut, pour obtenir le volume ou la capacité de cette construction, mesurer simplement le volume ou la capacité du modèle , et appliquer ensuite le théorème précédent.

Supposons , par exemple , que le modèle ait été exécuté à Téchelle d'un centimètre par mètre; les cubes des arêtes homologues seront entre eux comme 1 est au cube de 100, ou comme 1 esta 1000000. Après avoir mesuré le volume du modèle, on n'aura donc qu'à le multiplier par 1000000 pour avoir celui de la construction qu'il représente.

On peut remarquer que cette multiplication par 1000000 revient à regarder les centimètres cubes comme des mètres cubes ; car, puisqu'un mètre vaut 100 centimètres, un mètre cube vaut un million de centimètres cubes.

IT. On peut aussi , en s'appuyant sur ce théorème , déterminer dans quel rapport on doit augmenter les dimensions d'un modèle, pour que le volume soit augmenté dans un rapport donné.

Supposons, par exemple, que l'on ait exécuté, pour une fabrique, un modèle de filtre dont la capacité soit de 2 litres , et qu'il faille en construire un sur ce modèle , dont la capacité soit de 20 hectolitres, ou 2000 litres ; si l'on désigne par L et { deux lignes homologues quelconques de ce filtre et de son modèle, on devra avoir, d'après le théorème précédent,

2000»^'-: 2"'':: L^ : P, ou L» : P :: lOOO : 1 ;

mais lorsque quatre nombres sont en proporUon , leurs racines cubiques sont aussi en proportion ; on aura donc