CHAPITRE PREMIER

Nonons DB ghomohiqitb. '

736. La Gnomonique est l'art de construire les cadrans solaires; cet art offre une des applications, sinon les plus utiles, du moins les plus inléressanles, de quelques-unes des notions précédentes.

On sait que , sur un cadran solaire , l'heure est indiquée par la position de l'ombre qu'y projette une ligne fixe nommée style» On donne à ce style, qui peut être considéré comme une ligne droite , une direction parallèle à l'axe de la terre; et l'étendue du globe terrestre , quoique immense par rapport à nous, étant négligeable par rapport à sa dislance au soleil , puisque celte dislance équivaut à environ 12000 fois le diamètre de la terre, on peut, sans qu'il en résulte d'erreur sensible , admettre que le mouvement diurne apparent du soleil s'exécute autour du style , ou du moins autour de son prolongement.

Les droites menées , à un instant donné , du soleil à tous les points du style , déterminent un plan dont l'intersection avec le plan du cadran est la direction de l'ombre projetée sur ce cadran par le style; les plans menés ainsi par le style et par le soleil aux différentes heures du jour sont ce que l'on nomme les plans horaires; et leurs intersections avec le plan du cadran forment les lignes horaires. Tout le problème de l'établissement d'un cadran solaire consiste donc : 1" à donner au style une direction parallèle à l'axe de la terre ; S"* à trouver les lignes horaires.

727. Toute parallèle à l'axe de la terre détermine avec cet axe un plan, lequel n'est autre chose qu'un plan méridien , puisqu'il passe par l'axe de la ' terre. 11 suit de là que le style doit être dirigé dans le plan méridien qui passe par le point où il doit être fixé.

La première chose à faire est donc de déterminer la direction de ce plan méridien. Or , tout plan méridien est un plan vertical ; car si par un de ses points on élève une verticale, elle passera par le centre de la terre, et aura, par conséquent, deux de ses points dans ce plan méridien , et y sera contenue tout entière ; mais tout plau qui contient une verticale est un plan vertical ; donc tout plan méridien est vertical. Pour déterminer la direction du plan méridien d'un lieu, il suffît donc de déterminer sa trace horisontale, que l'on nomme une ligne méridienne, ou simplement méridienne.

On peut employer pour cela plusieurs moyens :

D'abord , l'ombre d'un fil à plomb sur un plan horizontal , à l'instant de midi, est évidemment méridienne, puisque le soleil est alors, ainsi que le fil à plomb, dans le plan méridien. Si l'on n'a aucun moyen de déterminer l'instant précis où il est midi , on peut y suppléer de la manière suivante : on trace sur un plan horizontal plusieurs circonférences concentriques (fig. 534), au centre 0 desquelles on élève une tige verticale; on observe, avant midi, le moment où Textrémilé de l'ombre ée la tige vient passer sur l'une de ces circonférences , et l'on marque le point A où s'opère le passage; on observe, après midi, le

moment où rexlrémilé de l'ombre de la tige vient passer sur la même circonférence, et Ton marque le point M où le passage s'opère; on joint OA et OA'; et la droite OM , qui divise en deux parties égales l'angle AOA', est la méridienne cherchée; car la marche du soleil peut être considérée comme symétrique par rapport au méridien.

On peut encore, pour déterminer la méridienne, faire usage de la boussole. On dispose l'instrument de manière que l'aiguille marque 2y environ à l'ouest; comme cette valeur est précisément celle de la déclinaison de l'aiguille aimantée (à Paris du moîDs), on est assuré que la ligne de foi de la boussole est dirigée suivant la ligne nord et sud ; c'est-à-dire suivant la méridienne.

Dans tous les cas, lorsqu'on a déterminé une méridienne, si l'on a besoin de mener une seconde méridienne par un autre point , on peut se contenter de mener une parallèle à la première; car, dans une étendue même asseï grande, les méridiennes sont sensiblement parallèles.

728. Il s'agit maintenant de déterminer l'angle que le style doit faire avec la méridienne. Soient PAF (fig. 535) le méridien du lieu; A, le point du globe où l'on se trouve; AV, la verticale; AH , la ligne méridienne; AS, la direction du style parallèle à Taxe PP' du globe; enfin, OE l'intersection du méridien PAP' avec réquateur. Il est facile de voir que les angles SAH et AOE sont égaux , comme ayant leurs côtés perpendiculaires , chacun à chacun , savoir : AH perpendiculaire à AV, comme étant l'une horizontale, l'autre verticale; et AS perpendiculaire à OE , comme étant parallèle à PP' , qui est perpendiculaire à réquateur, et, par conséquent, à la droite OE, menée par son pied dans ce plan. Or, l'angle AOE, ou plutôt l'arc AË, qui exprime la dislance, comptée sur réquateur , entre l'équateur et le point A , est ce qu'on appelle la latitude de ce point. L'angle SAH , que doit faire le style avec la méridienne , est donc égal à la latitude du lieu.

729. Si le plan du cadran doit être horizontal , rien de plus facile , d'après ce qui précède, que de donner au style la direction convenable. On trace une méridienne; on fait passer par cette méridienne un plan vertical , et dans ce plan on mène une droite qui fasse avec la méridienne un angle égal a la latitude du lieu. Cette droite indique la direction du style.

Supposons maintenant que le plan du cadran soit vertical. Soit XY (fig. 536) la ligne de terre , c'est-à-dire l'intersection du plan de l'horizon avec le plan vertical du mur sur lequel le cadran doit être établi. Soit OS le style : du point 0, dans le plan du mur, abaissons OH perpendiculaire sur la ligne de terre, c'est-à-dire verticale. Soit HM la méridienne : du point S, abaissons SA perpendiculaire sur OH, et SB perpendiculaire sur le plan du mur. La droite SA sera horizontale , puisqu'elle est perpendiculaire è la verticale OH; la droite SB sera aussi horizontale , puisqu'elle est perpendiculaire au plan du mur, qui est vertical. Le plan des droites SA et SB est donc horizontal , et sa trace sur le plan du mur sera une droite AB, parallèle à la ligne de terre. Les droites OS et HM étant toutes deux dans le plan du méridien , la droite AS est aussi dans ce plan, puisqu'elle y a deux points; d'ailleurs, la verticale OH est perpendiculaire à la méridienne HM , qui est horizontale : les droites AS et HM , situées dans un même plan et perpendiculaires à une même droite, sont donc parallèles entre elles. 11 en résulte d'abord que l'angle OSA exprime l'inclinaison du style par rapport à la méridienne , et est, par conséquent, égal à la latitude du lieu. U en résulte ensuite que les angles BAS et YHM ont leurs côtés parallèles et dirigés dans le même sens, et sont, par conséquent, égaux; c'est-à-dire que Tangle BAS est égal à l'angle que fait la méridienne avec l'horizontale menée au pied du mur, angle que Ton nomme l'ajxtmut de ce mur, et que l'on peut mesurer directeifienL

Dans le triangle rectangle OÂS, on connaît l'hypoténuse OS, qui est la longueur du style, et Tangle aigu OSA ; on peut donc déterminer le côté AS. Dans

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Je triaugle BAS, qui est reclangle en B, puisque SB est perpendiculaire sur le plan du mur, on connaîtra alors Tliypoténuse AS et Tangle aigu BAS; on pourra donc aussi construire ce triangle. De Ta la construction suivante :

Au point 0 [fig. 537), sur le mur même, faites l'angle S'OH égal au complément de la latitude du lieu; prenez OS' égal à la longueur du style ; du point S' abaissez sur OH la perpendiculaire S'B. Au point A où elle coupe OH, faites, dans le plan du mur, l'angle BAS' égal à l'azimut du mur; prenez AS'=AS', et du point S*^ abaissez S'^B perpendiculaire sur AB. Imaginez maintenant que les deux triangles OAS' et ABS'' soient relevés de manière que les cAlés égaux AS' et AS" coïncident, le cdté OS' aura la direction qu'il faut donner au style.

Cbacun des triangles OA^ et ABS' peut être construit au moyen de trois lattes; on les fixera sans peine sur le mur, dans la position que nous venons d'indiquer et que représente la figure 536; on n'aura plus alors qu'à sceller le style dans le mur, de façon que sa direction coïncide avec celle de l'hypoténuse OS.

Dans le cas particulier où le plan du cadran serait parallèle à Téquateur, il suffirait que le style fut perpendiculaire au cadran. 730. Voyons maintenant comment on peut déterminer les lignes horaires. Imaginons d'abord , pour plus de simplicilé , que le plan du cadran soit parallèle à l'équateur : le style , étant perpendiculaire au cadran , les plans horaires qui passent par le style seront eux-mêmes perpendiculaires à ce style , et leurs traces sur te cadran , c'est-à-dire les lignes horaires, feront entre elles des angles qui serviront de mesure aux angles dièdres formés par les plans horaires.

Or, la marche diurne apparente du soleil étant uniforme , les angles dièdres formés par les plans horaires consécutifs sont égaux entre eux ; il en est donc de même des angles formés par les lignes horaires consécutives; et chacun de ces angles est la 24* partie de 4 angles droits.

Tout se réduit donc à trouver l'une des lignes horaires, la ligne de midi , par exemple. Pour cela, soient 0 (fig. 538} le pied du style, et ABune horizontale menée par le point 0 dans le plan du cadran : le plan méridien qui passe par le point 0 , étant perpendiculaire au cadran , puisqu'il l'est à l'équaleur qui lui est parallèle, et étant aussi perpendiculaire au plan horizontal qu'on mènerait suivant AB, puisqu'il est vertical, est perpendiculaire à l'inlerseclion AB de ce plan horizontal avec le cadran. La droite AB , étant perpendiculaire au méridien, est perpendiculaire à son intersection avec le cadran. Si donc, parle point 0, on mène OM, perpendiculaire à AB, celte droite OM sera l'intersection du plan du cadran avec le méridien , c'est-à-dire la ligne horaire qui correspond à midi.

Du point 0 comme centre , avec OM pour rayon , décrivons une circonférence; prenons, à partir du point M , à droite et à gauche de OM , une suite d'arcs égaux à la 24* partie de cette circonférence , et menons des rayons à tous les points de division : ces rayons seront les lignes lioraires. Les rayons OA , OB correspondront à 6 heures du matin et à 6 heures du soir, et tous les rayons placés au-dessous du diamètre AB correspondront aux heures Intermédiaires.

Suivant l'époque de l'année et la latitude du lieu , il pourra arriver que le soleil projette l'ombre du style sur le cadran avant 6 heures du matin et après 6 heures du soir ; on aura besoin alors de quelques-unes des lignes horaires placées au-dessus du diamètre AB. Il pourra arriver, au contraire , que l'on n'ait d'ombre qu'après 6 heures du matin , et qu'elle cesse avant C heures du soir; dans ce cas, quelques-unes des lignes horaires placées au-dessous de AB seront inutiles.

134. Supposons maintenant que le plan du cadran soit horizontal. Soient P (fig. 638) le pied du style, et PO la méridienne. Faisons l'angle OPS égal à la lati-

lude du lieu ; prenons PS égal à la longueur du style, et menons SM perpeDdiculaire à PS. Si l'on redresse verlicalement par la pensée le triangle PSM , il se confondra avec le méridien, et la droile PS aura la position du style. Imaginons, par le point S ainsi redressé, un plan perpendiculaire au style; il sera parallèle à Téquateur et perpendiculaire au méridien , par conséquent ; d'ailleurs , le plan horizontal est aussi perpendiculaire au méridien , la trace horizontale XY du plan dont nous parlons sera donc llntersection de deux plans perpendiculaires au méridien , et sera elle-même perpendiculaire à ce méridien, et, par suite, à la méridienne PO, ainsi qu'à la droite MS, qui passent par son pied M dans le méridien. De plus, la droile SM, perpendiculaire à PS, sera contenue dans le plan perpendiculaire à PS. Dans ce plan , qui est parallèle à l'cquateur, comme nous l'avons dit , traçons un cadran solaire dont PS soit le style , le pied de ce style étant alors le point S ; et , pour plus de commodité , rabattons ce plan sur le plan horizontal , en le faisant tourner autour de XY comme charnière. La droile SM , étant perpendiculaire à XV, viendra se rabattre sur la méridienne PO, et le point S tombera en un point 0, tel qu'on aitMS = MO.

Du point 0 comme centre, avec OM pour rayon, décrivons une circonférence ; le rayon OM , étant dans le méridien , représente la ligne horaire de midi. Prenons, à partir du point M , une série d'arcs égaux à la 24" partie de la circonférence , et menons des rayons à tous les points de division : ces rayons seront les lignes horaires du cadran parallèle à l'équateur, rabattues avec ce cadran sur le plan horizontal.

Prolongeons ces lignes horaires jusqu'à leur rencontre avec XY, les points I, 3, a, 4, 5 appartiendront aux plans horaires et au plan horizontal. Mais le point P, qui est le pied du style sur le plan horizontal, appartient aussi aux plans horaires et au plan horizontal. Les droites Pi, P2, P3, P4, PS sont donc les traces horizontales des plans horaires, c'est-à-dire les lignes horaires du cadran horizontal.

On n'a plus qu'à répéter, à la gauche de la méridienne, les constructions opérées à sa droite. Ces constructions, pour plus de commodité, s'opèrent ordinairement sur le papier, au moyen d'une échelle de réduction, et Von en rapporte les résultats sur le plan du cadran , en ayant égard à celte échelle.

Les lignes horaires extrêmes s'élendant à une distance assez grande du point M , on remédie à cet inconvénient en prenant une longueur MC proportionnelle à la moitié de largeur du cadran, et élevant au point C une droite CD perpendiculaire à XY. Cette droite coupe les lignes horaires extrêmes en certains points a, &, et l'on rapporte les longueurs Ca, Cb sur les c6lés du cadran lui-même, en les augmentant dans le rapport déterminé par l'échelle de réduction adoptée. On opère de même à la gauche de la méridienne , ou plutôt on ne fait que copier de ce côté ce qui a été fait de l'autre, attendu que la méridienne divise le cadran en deux parties symétriques (fig. 640).

Remarques. 1. Le diamètre AB (fig. 530} étant parallèle à XY, les lignes horaires du cadran parallèle à l'équateur qui correspondent à G heures «lu matin et à G heures du soir ne peuvent point rencontrer XY; et comme les lignes horaires correspondantes du cadran horizontal doivent être menées au point de concours de AB et de XY, il en résulte qu'elles doivent être parallèles 4 XY.

H. Les plans horaires qui sont à 12 heures d'intervalle l'un de Taulre sont évidemment sur le prolongement l'un de l'autre; il en est donc de même des lignes horaires correspondantes : ainsi (lig. &40), la ligne horaire qui correspond à 5 heures du matin est sur le prolongement de celle qui correspond à 7 heures du soir, et vice versa,

732. Supposons enûn que le plan du cadran soit vertical. Soient 0 ( fig. 541 ) le pied du style : XY, l'horizontale qui forme le pied du mur sur lequel le cadran doit être établi j OH une perpendiculaire abaissée du peint 0 sur XY,

c'est<%-^ire une verticale; et HM la méHdienne. Le pian du mur est supposé rabattu sur le plan horizontal ; les droites HO et HM sont les traces du piaa méridien.

Au point H, élevons HCK perpendiculaire è HM; prenons H(y=HO: au point (/, faisons l'angle HO^P égal au complément de la latitude du lieu. Lu point P ainsi déterminé sera le point où le style prolongé viendrait percer la plan horizontal; car il est facile de voir que le triangle O'HP n'est que le rabattement de celui que forme la verticale OH , la méridienne HP cl le sj^le prolongé; ce triangle est, en effet, rectangle en H, puisque OH étant une verticale est perpendiculaire à riiorizonlale HM.

Cela posé, traçons un cadran horizontal, en prenant le point P pour le pied du style. Les lignes horaires prolongées viendront couper la droite XY en certains points 1, 2, 3, etc., qui appartiendront aux plans horaires et au plan du mur; mais le point 0 appartient aussi aux plans horaires, puisqu'il appartient au style; et il appartient d'ailleurs au plan du mur. Les droites Of , 02, 03, etc., sont donc les traces verticales des plans horaires, c'est-à-dire les lignes horaires du cadran vertical.

Les constructions précédentes s'opéreront sur le papier, pour plus de facilité, et l'on en reportera les résultats sur le plan du cadran, en les augmentant dans le rapport convenable. Pour remédier à rétendue des lignes horaires, on emploiera le même moyen que pour le cadran horizontal (voy. la fig. 542).

Remabques. ]. Sur un cadran vertical, les lignes horaires ne sont point disposées symétriquement par rapport à la ligne de midi. Cela ne peut avoir lieu que quand ce plan est perpendiculaire au méridien , c'est-à-dire quand son azimut est de 90".

H. Si par le point P (fig. 541), on mène une droite vq, parallèle à XY, ou voit que toutes les lignes horaires qui seront situées au-dessous de pq ne pourront rencontrer XY. Or, ces lignes horaires étant deux à deux sur le prolonge* ment Tune de l'autre , il ne peut y en avoir que 12 au-dessus de pq. Ainsi, un cadran vertical ne peut marquer plus de 12 heures différentes^ quelles que soient la latitude et t'époque de Tannée.

En effet, ce plan vertical, passant par le centre du globe, coupe en deux parties égales le cercle que décrit le soleil dans son mouvement diurne apparent; cet astre ne peut donc être plus de 12 heures en avant de ce plan verticaU Au bout de ce temps il passe en arrière , et le plan du cadran se trouve dans l'ombre.

H est évident d'ailleurs que le cadran vertical peut être éclairé moins de 12 heures; cela dépend du temps que le soleil passe au-dessus de l'horizon.

733. On remplace quelquefois le style par une plaque disposée en avant du cadran et percée d'un trou circulaire. Au milieu de l'ombre projetée par la plaque, on aperçoit un point lumineux, qui, en passant sur les lignes horaires, indique l'heure correspondante. Cet appareil se nomme un gnomon.

Il est évident que le tracé des lignes horaires est toujours le même, puisque le trou circulaire dont nous parlons, et qu'on nomme le centre du gnomon, peut être considéré comme l'extrémité du style. Mais, au lieu d'avoir à déterminer la position du style , comme le gnomon se place arbitrairement, on a à déterminer le centre du cadran , ou, si l'on veut, le pied du style fictif dont le centre du gnomon est l'extrémité.

C'est ordinairement pour les cadrans verticaux que l'on emploie les gnomons; voici comment on déterminera dans ce cas le centre du cadran.

Du centre du gnomon , abaissons une perpendiculaire sur le plan vertical du cadran , et mesurons cette perpendiculaire. Soit B ( fig. 537 ) le pied de cette perpendiculaire. Menons par ce point la verticale BS' et l'horizontale 68'. Prenons BS* égale à la longueur de la perpendiculaire mesurée. Au point S', faisons l'angle B^A égal au complément de Tazimut du mur. A partir du point A

ainsi déterminé, prenons sur BS' une longueur AS' égale AS". Au point A, élevons une verticale indéfinie. Au point S', faisons un angle AS'O égal à la latitude du lieu. Le point 0 où la droite S'O rencontrera la verticale AO sera le pied du style fictif, ou le centre du cadran; car il est facile de voir que celte eonstruction est l'inverse de celle que nous avons employée pour déterminer la direction du style au n*» 729, et que les triangles ABS" et OAS' (fig. 536} ainsi construits sont les mêmes que ceux qui ont servi au numéro cité.