DE LA

FORMULE STÉRÉOMÉTRIQUE

BAILLAIRGÉ.

Chercher le volume d’un corps c’est chercher combien de fois il contient un autre corps lequel est pris pour unité de volume et qui est un cube dont le côté est l'unité de longueur—Delà vient l’expression ‘ cuber un corps. ”

Il est facile de trouver la solidité d’un cube dont le côté est différent de l’unité.

On démontre avec autant de facilité qu’un parallélipipède rectangle et droit est égal au produit continu des ? dimensions de sa base et de sa hauteur.

Quoique ce soit un peu plus long, on démontre aisément qu’un prisme triangulaire, et par suite qu’un prisme quelconque est égal au produit de sa base par sa hauteur. Au contraire quand il s’agit des corps non-prismatiques, les démonstrations sont longues et difficiles et les formules qui donnent le volume de ces solides sont très variées et d’une application souvent peu aisée. La raison de cette différence vient de ce que les prismes, ayant une grosseur uniforme, peuvent se décomposer en tranches égales superposées et qu'ainsi on peut les considérer comme formés par la trace d’une de ces tranches se mouvant parallèlement à elle-même.

Dans les autres corps, si on les suppose engendrés par le mouvement d’une tranche, à hauteur infiniment petite, cette tranche ne reste pas constamment la même ; elle varie en grandeur, et cette variation n’est pas la même pour tous les corps.

Voyons un peu comment se fait cette variation.

Je prends une surface plane à contours définis ; je fais mouvoir cette surface parallèlement à elle-même, et d’un mouvement uni-

IV FORMULE STÉRÉOMÉTRIQUE

forme, de sorte que un point quelconque de cette surface décrive, dans ce mouvement, une ligne droite ; j'obtiens un prisme. ,

Mais je reprends l’expérience ci-dessus, avec les mêmes précautions ; seulement je m’arrange pour que, à intervalles de temps égaux, la surface diminue ou augmente dans le même rapport soit géométrique soit arithmétique. Ainsi v. g. je suppose que dans la seconde position le plan générateur ait diminué de #, relativement à ce qu’il était dans la première position ; que dans la cinquième position, il ait diminué de + relativement à ce qu’il était dans la quatrième position. En d’autres termes, je suppose que la surface du

plan soit exprimée par À dans la lère position et par Le dans la 2de position et par de dans la 3me position et ainsi de suite. Faisons une autre application et exprimons par A la surface du

plan dans la lère position et supposons qu’elle diminue de b à chaque nouvelle position,

dans la 2me position, la surface du Plan sera A— Db 6 me & «ce « A—92b « 4me C1 « [14 A port 3 b jusqu’à ce qu’on arrive à A — nb = O.

Ce qui est clair c’est que j’obtiendrai un solide différent suivant la variation du plan générateur ; mais il est également clair que, avec un pler déterminé variant dans un rapport fixé, et à des intervalles ou distances spécifiés, je ne pourrai obtenir qu’un seul et même corps et cela toutes les fois que je me poserai les mêmes conditions, i-e, la même loi.

Donc, réciproquement, dans un corps en particulier v. g. une sphère, un ellipsoïde, la surface s des sections équidistantes et parallèles varient suivant une certaine loi.

Maintenant quelle est cette loi? J’ai supposé qu’une surface, une tranche, était exprimée en fonction de la voisine; mais il vaut mieux exprimer le terme général qui les représente toutes et chacune en particulier, de même qu’au lieu de dire qu’un terme x d’une progression géométrique est égal au terme précédent multiylié par le rap-

port p, on préfère exprimer le terme général en fonction du premier terme a et dire x=ap nl

Or pour les solides en question le choix de la variable est facile à faire, et il est tout naturel d'exprimer une surface quelconque en fonction de sa distance à une des Z'bases parallèles. Cette variable aura un coeflicient et un exposant et l'expression aura un ou plusieurs termes.

bé bd bn. cé

42 EU On el,

BAILLAIRGÉ. LA

Jusqu'ici les mots tranches et surfaces ont été employées indistinctement, parce qu’on peut se représenter une surface comme une tranche d’une épaisseur infiniment petite. D'ailleurs dans un instant toute confusion sera écartée.

Je dis donc que le terme général représentant les surfaces s sera

une expression de la formé s — Ax®+Cx1+DxP

Avec ces données, j'essaye de cuber un corps non-prismatique P, de hauteur H, et dont les bases B inférieure, et B’ supérieure sont parallèles.

Pour ramener ce cas à l'évaluation d’un prisme, il faut se rappeler que ce corps P peut être supposé engendré par un plan B se mouvant d’une extrémité de H à l’autre.

En d’autres termes je partage Æ en n parties indéfiniment petites et par les points de division je mène (n-1) plans et sur ces (n-1) sections ainsi que sur la base B’ je construis n prismes. Or il est très aisé de démontrer que plus n augmente, plus la somme des » prismes approche du volume P. qui en est conséquemment la limite : ear l’er- | reur peut être rendue aussi petite que l’on veut. |

P H Tous ces prismes auront une hauteur commune h dre chacun

aura pour solidité le produit de À par une des bases, disons, par la

base supérieure. Je désigne par s, s, 8”, ............. S ) ces |

différentes bases supérieures des prismes, en commençant par la plus |

voisine de B jusqu’à la base B’ — ss (n-1) par convention.

Done le volume de P sera exprimé par :

P=hs + he + he” +... + hs (M1) À

ou bien

P=h ds + s + e” + SE Fat 7.

ou encore en disposant 8

verticalement les ter- g’ :

mes dans la parenthèse s’’ Ï

mais le terme général de la valeur des s, en fonction de la distance |

de chaque surface à la base B’, est s=AxM+Cx"+DxP +

a paris = Ax, M +Cx," + Dx,P + | mA," + Cx, +Dx, P + |

VI FORMULE STÉRÉOMÉTRIQUE

Remplaçant donc tous les 8, s’, s’’ etc, par ces expressions on aura dat es0sts Dates monts

Ax4Cx + Dx P +4 désir dou ts 6 + (4 + 6 Mbsssdisnagsanes

P=h x 4 ‘ + ‘ + ç Dia ae [4 [4 [4 ‘ [4 [4

RETIOS Pa PES LEE (n-1) (n-1) (n-1)

Reste à additionner tous les termes en dedans de la parenthèse ; et pour plus de facilité, je commence par la première rangée verticale, renfermant les termes ayant pour coefficient À et pour exposant m.

La distance entre deux surfaces voisines étant la même ou h, et x appartenant à la surface s voisine de B, cet x égale H-h. Par la même raison x, appartenant à s voisine de 8, cet x, égale (H-h) -h=H—?het ainsi de suite x, =H — 3h et enfin x (n-1) égale H—nmh. Conséquemment

UE Ses x. (H-b) © À x. x? (H—92h)" ix” E— (H— 3h) ® € = À x € = À x n 6 € [4 € € € ‘ € € £-x x (H- nb)" (n-1) (n-1, Or (H—h) ” égale PR LE NL re D RES

Le développement des autres binômes ne diffère de celui-ci qu’en ce qu’il faut remplacer k par 2h, ensuite » par 3h, tout le reste étant le même pour tous. Pour simplifier je remplace

m (m-1) m (m-1) (m-2) MR R sd ER a b QE nan Sites dus La Somme cherchée devient done m m-1 m-? m-3 + m 1H-1labhH +12bh? H — 15ch$H +... —1"|h 1) —2 + 2 — 2 +2" A 1] —3 * + 32 — 33 +3" FD + 42 — 45 +4 4 € 6 c Ex.

BAILLAIRGÉ. VII

Ici les termes des colonnes verticales sont semblables et il n’y a plus qu’à prendre la somme des coefficients, qui ne sont autres que les puissances successives de la suite naturelle des nombres de 1

jusqu’à n. Je les indique s” ; Cu , e » l'indice 1, 9, 3.......... . indiquant le degré de la puissance à la-quelle les nombre 1, 2, 3, 4... n sont élevés.

Avec ces notations la somme cherchée est

ame RTS TR RER UT “es LR:

m+l n mais en général* S° — m+1 avec une suite de termes renfermant m

les puissances décroissantes de n ; or dans le cas actuel, h =, et n

= ,et il suffit de prendre le terme en ( x” 1) qui est véritable-

ment la limite ‘4 S1,ce qui donn m +1 ge + n m A Ju, A ar +5 b h?HMÈ-.. ep

Faisant passer n hors de la parenthèse.

m A4 m-2 "ADF ——nhHml ke D» p° H croco iso ee 2 3 m,m CELLLILILLLEILLELELE) 5% m+i n h Mais nh = H,n ?h°?— H? , comme aussi HHMI- HU@H? x HUÈ—H La somme revient donc à m a m b m 1 m n À > cer H RE) RU + —H LELELLELLE) penser H 1 2 3 m +1 Comme on se le rappelle les numérateurs 1 , à , b , © , HUE HN CE 1 ne sont que les coefficients du binôme (H-h)" ; on

sait que la somme algébrique de ces co-efficients pour (H-h) M, égale zéro ; mais quelle est leur somme, lorsqu'ils ont été divisés, comme ci-dessus, par

1,2, 3, 4, .......... mass ssssessseusse .-...Mm+1l

Rappelons-nous que dans cet (m + 1), mest rigoureusement le même que l’exposant de k, et non pas de H. Quand l’exposant m,

#* Voir plus loin pags 10.

VIII FORMULE STÉRÉOMÉTRIQUE

dans h " est le même que celui de H, dans H ”, i-e quand la puissance développée est entière et positive, on démontre que la somme al-

gébrique des co-eflicients ainsi divisés égale + = = re

En conséquence de la similitude des termes,

1 Mr D ER. V7 ce a" "An — TH +74 Hm | =n À

—m+l m +1 Donc la somme des termes de la première rangée verticale m m D: 1 m Na VAL, hoc +Az, 1148

Je remarque le co-efficient A ainsi que l’exposant m paraissent dans les deux membres de l’équation, et j'en conclus qu’il en serait dé mème si au lieu de À et m, j'avais © et n, ou bien D et p.

D'ailleurs la seule restriction apportée pour arriver à faire la somme ci-dessus, c’est que la puissance soit entière et positive. Done je puis remplacer m, n, p, par les nombres 0, 1, 2, 3, 4 ...... , et ainsi lorsque la loi régissant les 8 sera exprimée par

8=Ax%+çCxl+Dx + Ex + RARE VS +Ux"

le volume sera représenté par

n 0 n 1 n 2 AH + CH PCSLEZ 1+1 LÉ p= Gus

Faisant passer n hors de la parenthèse et comme n h = H, j’obtiens enfin PeHg se + DE+ LH +) 2 3 m+l Telle est la formule qui donne le volume d’un corps dans lequel les surfaces des sections équidistantes et parallèles aux bases sont régies par une loi dont le terme général serait

S = À + Cx+D x”? + RE EAU POS +Uzx"

J’appelle cette formule, formule du prisme équivalent, puisqu’elle montre que le corps non-prismatique P est égal au volume d’un prisme de même hauteur H, mais dont la base

C D ,, 2? U m (a+ <u+iu niueuls + EH ) est une base moyenne entre toutes les surfaces régies par s = A + Cxé Ds... 2e

Mais il faut remarquer que rien n’est venu préciser davantage les co-efficients indéterminés A, C, D ete, de sorte que dans un cas

Voir plus loin page 12, :

BAILLATRGÉ. IX

particulier si on voulait trouver le volume d’un corps, il faudrait déterminer les valeurs de A, de C.............. , à moins de tourner la difficulté.

Ainsi que nous le verrons plus tard, dans la plupart des cas pratiques, la loi qui régit les surfaces parallèles aux bases ne ren-

ferme que x 0 s € + et x? et la formule du volume se réduit à P=Hx (A + H+ FH);

réduisant les trois termes au dénominateur 6, puis faisant passer celui-ci hors de la parenthèse, on a

P=Hx (A + . H + += ?) = + (cA+scH+2D8 ?)

Puisque la 1ère parenthèse renfermait une surface, la 2me doit en renfermer six ; voyons ce que peuvent être ces sic surfaces dans un corps quelconque.

Ilest naturel de prendre d’abord les bases, (la loi des surfaces est S=A+Cx + Dx°).

La base supérieure = A car ici x = 0 la base inférieure = A+CH + D H? car ici x = H leur somme =92A +CH+DH'et

6A+3 CC H+2D H?-2 A-C H—-D H?=4 A+? C H+D H? qui évidemment égale 4 fois { À + C LS + D (+) . surface de la

section faite à mi-hauteur

Donc lorsque dans un corps P, S=A + Cx+D x?

15 = sn supérieure"

"7" (B+B'+ 4 M) B - Base inférieure

M =Surface d’une section parallèle à mi-hauteur.

Comme cela la difficulté est bien tournée puisqu’en évaluant, par la méthode élémentaire, les surfaces B, B’, et M, je suis certain de comprendre les coefficients À, C, D sans avoir besoin de les calculer.

Cette formule, comme on peut s’en convaincre, comprend les cas où l’on aurait S—A+Cx+Dx ? +Ex% ou bien unou plusieurs de ces quatres termes. Ainsi elle s'applique même aux Prismes.

Cette formule Pas (B+B’+4 M) est la formule stéréomé-

trique que M. Chs. Baillargé travaille à vulgariser ; elle à l'immense avantage de pouvoir remplacer toutes les autres formules de stéréométrie ; nous en parlerons plus loin.

x FORMULE STÉRÉOMÉTRIQUE NOTE