SURFACES

Il est évident que chaque triangle est la moitié, la moitié exacte, de son parallélogramme correspondant. Maintenant, le parallélogramme est, en superficie, égal au rectangle de même base et de même hauteur ; car si la partie oblique ou triangulaire est coupée d’un bout et ajoutée à l’autre, la figure devient un rectangle ; et comme la surface d’un rectangle est égale au produit du nombre d'unités de sa base et de sa hauteur, il s’en suit que la surface de tout triangle est égale à la moitié du produit de sa longueur et de sa largeur. On peut alors adopter cela comme un principe au moyen duquel peuvent se diviser toutes les figures planes, et leurs surfaces constituantes de calculer separément, puis ajouter ensemble. Dans le cas des polygones réguliers, le calcul de leurs surfaces se simplifie biaucoup, en ce qu'ils peuvent se diviser, du centre, en autant de triangles égaux qu’il y a de côtés. La surface du trapèze est la moitié du produit de sa hauteur par la somme de ses côtés parallèles.

Un secteur de cercle n’est rien qu’un triangle de hauteur égale partout, ou ayant une base circulaire, dont chaque point est équidistant du sommet ; et sa surface, par, conséquent, est égale à la moitié du produit de sa base par sa hauteur ; car on peut concevoir sa base comme divisée en un nombre de parties telles que chacune sera, sans erreur sensible, une ligne droite, et de là la règle ; car c’est évidemment la même chose de calculer séparément et de prendre la somme des triangles constituants du secteur, ou d’ajouter leurs bases contiguës, et de multiplier, une fois pour toutes, par la hauteur ou rayon. Encore, le cercle tout entier n’est fait que de secteurs ou triangles contigus, d’où il suit que la surface de tout cercle est égale à la moitié du produit de sa circonférence par le rayon. Ensuite, nous avons à

considérer parmi les figures planes le segment d’un cerele, ou ce qui est renfermé entre une corde et son are correspondant ; et qui est évidemment égal à la surface du secteur, moins la surface du triangle formé par la corde et les rayons. Maintenant, la lunule, figure semblable à la nouvelle lune, d’où vient son nom, est formée de deux ares non concentriques de même ou de différents rayons : la surface de cette figure est la différence de ses deux segments constituants, de sorte qu’une simple répétition du procédé que l’on vient de décrire en mesurera la superficie. La Zone ou partie d’un cercle entre.deux cordes parallèles peut aussi se concevoir comme la différence entre deux segments, et l’on en trouve la surface en conséquence. Les anneaux concentriques et eccentriques sont, comme de raison, égaux en superficie à la différence de leurs cercles constituants. La surface de l’ellipse est égale au produit de ses diamètres multipliés par .7854 ; car l’on trouve par la manière ci-dessus énoncée, que la surface d’un cercle dont le diamètre est un, est .7854 ; en d’autres termes, la surface du cercle est environ 784 par cent du carré qui le circonscrit, de sorte qu’on arrive plus promptement à cette surface en multipliant le diamètre par lui-même et en réduisant le résultat au rapport voulu. L’ellipse étant analogue au cercle, on en trouve la surface d’une manière correspondante. Je puis ajouter que la surface de la parabole est exactement les # du rectangle qui le circonserit.

Il y a une méthode plus générale d'arriver aux surfaces de toutes les figures planes ; c’est de les diviser en un certain nombre de trapèzes par une série de lignes ou d’ordonnées parallèles et équidistantes, et de multiplier la largeur ou distance commune entre leS lignes par la somme ou les longueurs réunies de toutes moins la première et la dernière dont on ne doit prendre que la moitié ; et cela s’applique à toutes les figures imaginables où, plus les coordonnées seront près les unes des autres, plus la surface en sera, comme de raison, exacte. Il y a quelques figures bornées par des lignes curvilignes, dont il est néanmoins facile de calculer les surfaces ; par exemple, quand une partie convexe d’une figure est compensée par une concavité correspondante, comme dans les surfaces développées des voûtes ou des plafonds cintrés d’intersection, ou, sur une plus petite échelle, la surface développée du coude d’un tuyau ou cylindre de toute espèce. Enfin il y a une méthode pour mesurer les surfaces de figures très-irrégulièrement décrites, par un système de lignes compensatoires tirées de manière à renfermer des parties de l’espace superficiel en dehors de la figure, qui peuvent remplacer les parties laissées en dehors des lignes ou y être équivalentes.