SOLIDES

Le mesurage des solides comprend celui de leurs surfaces aussi bien que celui de leurs volumes ou solidités, On peut classer les

solides en prismes et prismoïdes, cylindres et cylindroïdes, pyramides, cônes et conoïdes, fuseaux, sphères et sphéroïdes. Les prismes sont des solides qui ont deux bouts où bases égales et parallèles, et dont toutes les autres faces sont des parallélogrammes ; de sorte que le prisme est égal en diamètre ou en largeur dans toute son étendue ; il diffère sous ce rapport de la pyramide ou du prismoïde dont les côtés s’inclinent ou se terminent en pointe à un bout de la fig, Un prisme peut avoir un triangle pour base ou toute autre fjure, et s’appelle, d’après la nature de telle base, triangulaire, quadrangulaire, pentagone, et ainsi de suite. Le cylindre n’est rien qu’un prisme ayant une base circulaire, ou un polygone d’un nombre infini de côtés. Parmi les prismes, le parallélopipède est celui dont les faces opposées sont parallèles, comme le nom l'indique, comme dans le cube ; par suite de quoi, tout côté ou toute face de ce solide ou d’autres semblables, peut être considéré comme base. Nous savons tous ee qu'est une pyramide, de même qu’un cône, qui n’est qu’une pyramide à base circulaire. Un conoïde est une espèec de cône arrondi au soramet comme une poire, ou comme le cône de glace à a chûte Montmorency. On peut le concevoir engendré ou tracé dans l’espace par la révolution d’une parabole, ou autre figure semblable, sur Son axe ; et elle est connue, d’après le nom de la courbe génératrice, comme conoïde parabolique, hyperbolique. Le tronc d’une pyramide, d’un eône ou d’un conoïde, est cette partie du solide qui reste après qne le sommet en a été retranché ; et on dit qu’il est contenu entre des bases parallèles quand le plan qui la coupe est parallèle à celui sur lequel repose le solide, Tous ces solides peuvent être droits ou inclinés ; et ils doivent être désignés tels qu'ils sont, comme ‘un prisine pentagone droit, une pyramide octagone inclinée, un cône ou conoïde incliné. Le fuseau, comme son nom populaire l'indique, est une forme bien connue, étant cireulaire et diminuant du centre vers les extrémités : il peut être engendré par la révolution d’an are de eerele, ou d’une ellipse, ou par une parabole ou hyperbole, autour d’une ligne que l’on appelle l’axe du fuseau, et, comme le conoïde, il tire son nom distinctif de celui de la courbe génératrice,

comme un fuseau circulaire, elliptique, parabolique ou hyperbolique,—

non pas que le fuseau en lui-même, soit un solide très-important, mais parce que son tronc central est la représentation de presque toutes les formes de futailles, que l’on rencontre partout. La sphère, la plus belle forme de tous les solides, et celle qui, comme je l'ai déjà dit, contient en elle-même plus d'espace ou de volume que tout autre figure d’égale superficie ; le sphéroïde ou la sphère aplatie qui est la figure de notre terre, de la lune, du soleil et des planètes, qui toutes sont aplaties aux pôles et proéminentes à l'équateur ; et enfin, l’ellipsoïde ou sphéroïde allongé, complète les classes ou espèces variées

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de solides, ou figures renfermant un certain espace, avee leurs troncs, segments, onglets ou sabots, et autres sections que les bornes d’une lecture ne me permettent pas de définir d’une manière plus complète,

LE TABLEAU STÉRÉOMÉTRIQUE.

J'arrive maintenant à l’objet pour ainsi immédiat de cette lecture, à celui qui, peut-être, m’a procuré jusqu’à un certain point, l'honneur d’une invitation, de la part de la Societé Littéraire et Historique de Québec, à lecturer dans l’enceinte classique de ses salles. Je serais heureux d’avoir pu traiter ce sujet d’une manière à justifier la courtoisie d’un auditoire aussi nombreux et aussi capable d’apprécier, d’avoir pu quelque peu intéresser l'élite, l’aristocratie, si je puis mw’exprimer ainsi, de la partie instruite et intelligente de cette ville, qui a bien voulu m’honorer ce soir de sa présence et de sa gracieuse et délicate attention. Jo veux parler du Tableau Stéréométrique que vous voyez devant vous, et dont il me faut vous dire quelque chose, même au risque de paraître partial pour moi-même. Ce Tableau, qui se compose de quelque 200 modèles dont chacun peut être retiré et replacé à volonté, et mis entre les mains de l’élève afin qu’il en fasse l'examen, comprend presque toutes les formes élémentaires qu'il est possible de concevoir. Parmi ces formes se trouvent celles que je viens d’énumérer, comme les prismes et prismoïdes, les cylindres et cylindroïdes, tous deux droits et obliques, ainsi que leurs troncs et onglets ; les pyramides, les cônes et conoïdes, droits et obliques, avec leurs troncs et onglets ou sabots ; la sphère avec ses subdivisions en hémisphère, quart de sphère, demi-quart de sphère ou pyramide tri-rectangle, segments, zones, troncs et onglets, et beaucoup d’autres sections de ce solide ; le sphéroïde allongé ou aplati, avec leurs nombreuses sections et subdivisions ; les fuseaux et leurs sections, renfermant des modèles de futailles de toutes espèces ; les cinq polyèdres réguliers, aussi appelés corps platoniques, quoiqu’ils fussent connus avant Platon. Il y a aussi une foule d’autres formes variées telles que les cônes et autres solides convexes et concaves, et leurs troncs et onglets ; les anneaux concentriques et excentriques, et un certain nombre de figures composées, formées des solides élémentaires que je viens d’énumérer, ou capables d’être subdivisées en ces solides.

Mon but dans la préparation de ce Tableau a été de généraliser et de rendre facile et populaire l’étude des solides, et la manière d’en mesurer les surfaces et les solidités ou volumes. Les faces latérales ou côtés et les bases ou bouts opposés ou parallèles de ces solides produisent toutes les figures planes, depuis le triangle, le carré et le

polygone jusqu’au cerele, l’ellipse, la parabole, ete., nec leurs secteurs, segments, zones et lunes constituants, Vous avez déjà appris à calculer la superficie de ces figures. Les modèles donnent aussi des exemples de superficies convexes, comprenant le triangle et le polygone sphérique, la zone sphérique, la lunule et le segment, et toutes leurs parties constituantes. La manière d'arriver aux superficies de ces figures est de les assimiler à des figures planes au moyen d’une division de la surface concave ou convexe par des ordonnées équidistantes décrites de l'extrémité de l’axe fixe du solide, ou de celui autour duquel on suppose que la courbe génératrice a tourné en décrivant le solide. La distance entre les ordonnées dont chacun, d’après la description que l’on vient de donner, est, évidemment, un cercle ou partie de cercle, est rendue si petite qu’elle permet à l’are intermédiaire d’être considéré comme une ligne droite où à peu près. Les figures ainsi décrites sur le solide sous considération sont ou des zones, ou parties de zones continues, et doivent être considérées comme des trapèzes—la première étant continue, les autres ne l’étant pas, ou ne l’étant qu’en partie. Maintenant, pour obtenir la surface d’un trapèze, qui, comme je l’ai déjà défini, est une figure plane avec deux côtés parallèles, —et ces derniers peuvent, comme de raison, être circulaires ou courbes aussi bien que droits,;—la moitié de la somme des côtés est multipliée par la distance perpendiculaire entre eux, ou par la hauteur ou largeur de la figure ; et la même règle appliquée à la surface courbe que l’on doit calculer s'exprime ainsi : à la moitié de la somme des longueurs des ordonnées des bouts—c’est-à-dire, de la première et de la dernière—ajoutez la somme de toutes les autres ordonnées ou de tous les ares ou cercles, et multipliez le tout par la distance entre les ordonnées ou par la largeur de la zone composante. La longueur combinée des cercles ou circonférences s'obtient aisément en multipliant la somme de leurs diamètres par 34, ou plus correctement, par 3.1416. Cette règle, comme je l’ai appliquée (page 669 de mon traité de géométrie) à une hémisphère de 263 unités de diamètre, et avec seulement quatre ordonnées où cinq segments on zones, donne le résultat à moins de un par cent de la vérité ; tandis qu'avec neuf ordonnées, l’erreur du résultat n’est que la sixième partie de un par cent ; et avec 19 ordonnées, ou 20 sections, la ; partie de un par cent, ou moins de 445% du contenu vrai. Non pas que j'insiste, cependant, sur cette méthode de mesurage pour les surfaces convexes ou concaves, où il y à d’autres règles qui, comme dans le cas de la

sphère ou sphéroïde parfaite, ou des segments de ces corps, en donne

les surfaces courbes exactes ; mais le grand et manifeste avantage de ce système général est, que son exactitude est indépendante de la forme du corps que l’on doit mesurer ; tandis que si la règle pour une sphère, par exemple, était appliquée à un corps qui ne serait pas

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strictement sphérique, l'erreur du résultat serait de beaucoup plas considérable que si on employait le système des ord.nnées équidistantes,—pour ne rien dire du grand avantage pour le mesureur pratique de n'avoir à charger sa mémoire que d’une règle générale applicable à tous les cas, la même que celle pour les figures planes ; par suite de quoi toutes les surfaces ou superficies, planes ou convexes, se trouvent par une seule et même formule, savoir : une subdivision, par des lignes parallèles et équidistantes, en figures dont chacune est un trapèze—continue ou non-continue, il n'importe. 11 reste maintenant à caleuler les volumes ou contenus eubiques des solides du Tableau, qui, comme je l’ai déjà dit, comprennent toutes les formes élémentaires connues ; et c'est ici que je revendique spécialement l’introduetion d’un système de mesurage qui n’est pas exact d’une manière approximative dans son application à la grande majorité des formes géométriques, mais dont l'exactitude absolue est prouvée et hors de donte. La règle est simplement ce qu’elle veut être, comme elle est imprimée en tête du tableau, à. e. : ‘A la somme des surfaces des bases parallèles, ajoutez quatre fois la surface intermédiaire, et multipliez le tout par + de la hauteur ou de la longueur du solide,” Le mot ‘ parallèle” est introduit pour rappeler à la mémoire que les extrémités on bases opposées doivent être contenues entre les plans parallèles, ou, si elles ne le sont pas dans le principe, elles doivent le devenir par la subdivision ou la décomposition du solide en ses éléments constituants. Par conséquent toute la difficulté est réduite, par mon système, au mesurage des surfaces des bases opposées et de la section intermédiaire, le reste de l’ouvrage n'étant qu’une simple multiplication ; de sorte que la formule proposée rend cette branche d’étude d’une application si facile et si générale que l’art ou la science peut maintenant s’enseigner en quelques leçons tandis qu’il fallait autrefois des mois ou même des années. Prenez, par exemple, le segment d’un conoïde ou d’un sphéroïde coupé par un plan incliné dans un sens quelconque vers l’axe du solide, une figure telle que le présenterait l’espace occupé par une substance liquide ou fluide dans un vaisseau de cette forme incliné à l'horizon ; examinez le travail préliminaire qu’il faut tout d’abord, par les anciennes règles, pour trouver l’axe ou les diamètres du solide entier dont le segment sous considération fait partie, et ces facteurs sont nécessaires comme éléments dans le calcul. Mon système dispense de tout cela, et le solide, quelqu'il soit, est pris et soumis à un mesurage direct, sans qu’il soit en aucune manière nécessaire de rechercher la grosseur ou la forme du eorps dont il est une section. Mais il y a une autre raison pour laquelle cette étude est souvent exclue de l’éducation générale, c’est que, par les règles ordinaires, les calculs les plus difficiles sont souvent indispensables, que même lorsqu'on à appris ces caleuls, on les à

presque aussi vite oubliés, et que ces règles ordinaires sont alors de bien peu d'utilité, si même elles le sont, au mesureur pratique, même lorsqu'il a sous la main tous les livres et toutes les données nécessaires pour résoudre le problême.

On peut objecter que pour le prisme et le cylindre, par exemple, la règle ordinaire est même plus simple que la formule générale. Sans doute elle l’est ; mais elle découle elle-même directement et immédiatement de la formule, Prenez un prisme : je l’ai défini d’égale largeur partout ; alors sa section intermédiaire, ou toute autre, rendue parallèle à la base ou bout, est égale en superficie à telle base ; et le raisonnement dit que six fois cette surface par un-sixième de la hauteur se réduit à l’énonciation bien plus simple de une fois la surface par toute la hauteur, Encore, dans le cas de la pyramide ou du cône, le diamètre ou la largeur intermédiaire est exactement la moitié de ce qu’il est à la base ; et comme la moitié de la moitié, ou le produit de 4 x 4, est +, donc la surface intermédiaire est le quart de celle à la base. L'élève qui a déjà appris cette règle la saisit d’un coup d'œil, ou se la rappelle aussitôt, et raisonnée ainsi : quatre fois la surface intermédiaire est égale à la base ; et deux fois la base (car la surface supérieure ici est zéro) par 4 de la hauteur est identique à la règle ordinaire de une fois la base par # de la hauteur, ou # du produit de la base et de la hauteur. Il y a encore un cas où l’ancienue règle ou la règle ordinaire paraît plus simple que la formule générale ; c’est lorsqu'on à à mesurer un paraboloïde, dont le volame est exactement la moitié de son cylindre correspondant.

Mais ici nous en avons fini avec les avantages comparatifs des anciennes règles, et dans tous les autres cas la formule est excessivement plus simple. Prenez, par exemple, le tronc d’une pyramide ; et tout d’abord comment savez-vous que c'en est un, sinon en en mesurant les arêtes supérieures et inférieures et en en comparant les longueurs respectives pour trouver —<ce qu'il faut faire—s’il existe entre elles une juste proportionnalité ; autrement le éorps n’est pas un tronc de pyramide, et par conséquent n’est pas sujet à la règle ? Mais supposons même que ce soit la figure pour laquelle vous la prenez, voyezvous le trouble d’obtenir une moyenne proportionnelle entre les surfaces de ses bases opposées, ce qui renferme une multiplication ur peu longue de ces surfaces et une extraction de la racine carrée du produit assez pénible et que peu de personnes savent fi re? Qu'il est bien plus facile d'arriver à la moyenne arithmétique de ; diamètres opposés et à la surface intermédiaire ! et si la figure est le trone d'un cône, les trois diamètres sont carrés, le carré de celui du milieu est pris quatre fois, et le tout est multiplié, c’est-à-@îre, leur somme par .7854, (ce qui réduit d’un seul trait tous ces carrés en: autant de cercles) et le résultat par} de la hauteur du tronc ; et comme ce calcul doit se répéter tous es jours, dans toutes les parties :

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du monde, en calculant les contenus des tonneaux et des cuves de toutes espèces et de toutes grandeurs imaginables, l'économie de temps et de trouble mérite certainement la plus grande considération.

Mais supposons que ce prisme ou ce cylindre, cette pyramide ou ce cône, ce conoïde, ou ce tronc, ne soit pas exactement une telle figure ; qu’il diffère de la manière la plus légère possible de ce qu’il doit être pour qu’il puisse être soumis aux règles ordinaires—alors si l’on se sert de ces règles pour en calculer le contenu, adieu à toute exactitude, puisque les éléments mêmes par lesquels le corps diffère de son prototype géométrique—<’est-à-dire, son diamètre intermédiaire—n'est en aucune manière pris en considération ; tandis que la formule générale, au contraire, comprend cet élément variant sans cesse, cette largeur intermédiaire entre le sommet et le fond d’un tonneau ou d’une cuve, entre la bonde et le fond d’un baril, et donne un résultat plus exact, dans 99 cas sur 100, que tout autre système où l’on ne fait pas attention à cet élément important et indispensable de variation. En ce qui regarde la sphère ou le sphéroïde, chacune de ses bases opposées est un zéro de superficie, vu qu’un plan ne peut y toucher que par un seul point, et la somme des surfaces dans ce cas est quatre fois la surface du milieu. Et vous pouvez voir immédiatement comme cela est correct, car par les règles ordinaires on vous enseigne à multiplier la surface convexe de la sphère par + du rayon ; mais cette surface convexe est précisément égale à quatre fois la section du milieu, ou à quatre grands cercles de la sphère, et 4 du rayon est la même chose que } du diamètre ou de la hauteur, —de sorte qu'ici encore vous voyez, comme dans le cas du prisme ou du cylindre, de la pyramide ou du cône, la preuve directe de l'exactitude de la règle. Maintenant, prenez un hémisphère : on démontre facilement que la surface intermédiaire est exactement les 4 de celle de la base ; et comme quatre fois 4 font trois, et que 3 et 1 font quatre, quatre grands cercles multipliés par 4 de la hauteur de la demisphère donne, comme de raison, la moitié de la solidité que l’on vient d’obtenir, ou celle de l’hémisphère sous considération. La même chose est vraie pour la sphère aplatie ou allongée, ou pour le sphéroïde et l’ellipsoïde, et leur moitié, et cela, que le plan d’intersection ou la base soit perpendiculaire ou non à l’un des axes du solide ; et les surfaces qui entrent comme éléments dans le calcul du contenu cubique sont toujours des ellipses, et, de plus, ce sont des ellipses semblables ou proportionnelles ; de sorte que dès que l’on connaît un des diamètres de la section du milieu, on peut immédiatement trouver la surface par une règle de Trois, puisque, comme je l’ai déjà démontré, les surfaces des figures semblables sont proportionnelles aux caxrées de leurs dimensions correspondantes quelconques, L’ex-

actitude de la formule, appliquée à tout antre segment on zone d'une sphère, est entièrement démontrée au paragraphe 1529 de mon traité de Toisé ; de même que son extrême rapprochement de la vérité, dans le cas des fuseaux ou de leurs troncs, aux paragraphes 1531 et 1574 ; et son exactitude absolue dans le cas de tout segment d’un sphéroïde, dans le paraboloïde, ou l’hyperboloïde, droits ou inclinés, du paragraphe 1560 au paragraphe 1567 de mon ouvrage.

Maintenant, on est curieux peut-être de savoir comment m'est venue cette idée de traiter tous les solides comme des prismoïdes par cette seule et invariable formule ; le voici : prenant le prismoïde ordinaire, j'en trouve la définition comme suit :—‘ Tout solide ayant pour bases opposées des rectangles à côtés parallèles ; et, par extension, tout solide ayant pour bases parallèles des plans parallèles avec des côtés parallèles.” Maintenant, veuillez remarquer que la seule condition exprimée ou contenue dans cette définition d’un prismoïde est le parallélisme des côtés, et rien de plus. Un tel parallélisme n’exclue pas la proportionnalité des côtés ; alors, pour moi, le tronc d’une pyramide est un prismoïde ; et c'est ce que personne avant moi, du moins que je sache, ne paraît avoir imaginé ; car je n’ai jamais vu dans aucun traité la formule prismoïdale appliquée au tronc d’une pyramide ou d’un cône. Examinez encore le prismoïde rectangulaire, et comme aucun rapport des côtés n’est compris, soit le rapport infini; ou en d’autres termes, laissez l’un des côtés parallèles approcher de l’autre jusqu’à ce qu'ils se joignent et forment une seule ligne, ou bord, ou arète; et alors nous avons le coin qui est, par conséquent, un autre prismoïde. Encore, que ce côté ou cette ligne, ou cette arète diminue et diminue encore jusqu’à ce qu’il devienne un simple point ; et alors nous avons une pyramide, qui est aussi un prismoïde à tous égards. Et puisqu’une ligne ou côté peut devenir un simple point, de même, réciproquement, un point peut devenir une ligne, —et par suite un prismoïde, d’abord carré ou rectangulaire, peut voir l’une de ses bases ou tous les deux, modifiées en une variété presque infinie de figures semblables ou dissemblables, comme je l’ai démontré, de la page 713 à la page 718 de mon traité ; et sur ce, je suis arrivé à l’énonciation plus générale qu’un prismoïde peut avoir pour bases parallèles deux figures quelconques, égales ou inégales, semblables ou dissemblables ; une figare quelconque et une ligne parallèle à son plan, comme dans le coin ; une figure quelconque et un point, comme dans le cône et la pyramide ; et deux lignes non parallèles, mais situées dans des plans parallèles. On peut donner d’autres définitions plus courtes que celle-là, plus techniques et plus scientifiques, telle que “le prismoïde est décrit dans l’espace par la révolution d’une ligne droite autour de deux plans parallèles d’une forme quelconque, sans égard aux vitesses relatives des deux extré-

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mités de la ligne génératrice ; ” maïs la première donne la meilleure idée de la forme du solide, vu qu’elle définit la figure de ses extrémités ou bases.

Vous verrez en l’examinant que le tableau offre une grande variété de formes ; par exemple, une base offre un carré, l’autre aussi un carré d’une grandeur plus considérable ou moindre, mais tourné diagonalement par rapport à l’autre, la base du milieu offre un octogone. Nous avons encore les prismoïdes ou cylindroïdes dont une base est un cercle, l’autre une ellipse, ou deux ellipses de grandeur égale ou différente, le plus long diamètre de l’une correspondant au diamètre le plus court de l’autre, et l’on peut concevoir d’autres formes d’ane variété presque infinie ; et la formule, pour toutes, sans exception, donne le véritable contenu cubique, chaque modèle montrant d’un coup d'œil, au moyen d’un trait que l’on peut y voir, la nature et les dimensions de la section du milieu. Un mot sur les polyèdres réguliers qui se trouvent aussi parmi les modèles du tableau. Ï1 n’y a que cinq de ces corps, ce qui est assez étrange; et cependant la conclusion en est immédiate et inévitable, car il faut au moins trois plans pour faire un angle solide ; et comme la somme de ces angles plans doit être moindr” que 360°, ou quatre angles droits, vu qu’autrement l’angle solide cesserait alors d'exister et deviendrait une surface plane, il suffit d'examiner quels sont les polygones réguliers, dont les angles, pris par ois, par quatre on par cinq, etc., font un angle moindre que quatre 2 .gles droits. Le triangle équilatéral peut s’assembler par trois, par quatre et par cinq, ce qui donne le tétraèdre, l’octaèdre et l’icosaèdre. L'on ne saurait en prendre six, vu que six fois 60° = 360° ; et par conséquent nous ne pouvons avoir aucun autre solide rég:1:er dont les faces soïent des triangles équilatéraux, que les trois que je viens de nommer. L’angle droit ne peut s’assembler que par trois ; deux ne renfermeraient pas un espace, et quatre formeraient un plan ; de là résulte que le cube parfait est le seul solide que l’on puisse former à faces carrées. . Enfin, le pantagone dont l’angle est 108°, donne le dodécaèdre ou figure à 12 côtés, dont la somme àes trois angles plans est 324°. L’hexagone régulier ne peut former uu polyèdre vu que son angle est de 120° et que trois formeraient quatre angles droits, comme vous pouvez le voir en examinant l’arrangement exquis de la ruche, ou la symétrie non moins belle que l’on voit dans le nid de la guèpe ordinaire. À fortiori, alors, on ne peut employer les heptagones ou tout autre polygone pour bâtir ces solides ; et de là encore, comme je viens de le dire, il ne peut y avoir que cinq, et seulement cinq, de ces formes platoniques Quant à la manière de les mesurer, le cube ou l’hexaèdre est un ample prisme, le tétraèdre, une simple pyramyde, l’octaèdre, deux pyramides base à base, et les deux derniers, les figures à 12 et

ET LË TABLEAU STÉRÉOMÉTRIQUE. 29

à 20 côtés, composés d'autant de ; yramides, ayant leur sommet commun au centre du solide ou de la sphère imaginaire qui le circonscrit, par suite de quoi le calcul d’une de ces pyramides composantes donnera le volume du tout.

Quant au mesurage des figures composées, comme le trone d’an cône ou d’une pyramide, ou de tout autre corps, entre des bas *s qui ne sont pas parallèles, le solide se résout ou se décompose, par une section parallèle à la base et passant par le bord inférieur de la base supérieure du tronc, en deux parties, dont une est un tronc propre, l’autre un onglet, ou une pyramide, ou quelque autre figure, selon le cas. La bonée ordinaire se résout ainsi en un cône et segment de sphère ; un mortier, en tronc de cône ou cylindre, avec un hémisphère ou segment de sphéroïde ; le dôme Ture ou Maure, ou pinacle, ou flèche, en tronc central d’une sphère ou d’un sphéroïde, surmonté d’un cône creux ou concave, et ainsi de suite. Si l’on propose un cône sphérique il est évident qu’on peut le concevoir et le traiter sous deux aspects-—d’abord, comme un cône propre, avec l’addition d’un segment de cette sphère dont le cône forme partie ; ou (et ceci s’ap- Ælique à toute pyramide sphérique, ou tronc de pyramide ou de bombe, ou sphère creuse, ou partie quelconque d’un obus,) à la somme des surfaces -des bouts, sphériques qu’ils soient, ajoutez quatre fois la surface parallèle et du milieu, et leur somme multipliée par + de la hauteur sera le contenu vrai. Comme de raÿson, je n’ai, pas besoin de faire remarquer qu’en opérant avec une sphère -ou une bombe creuse, on arrive plus promptement au résultat en appliquant la formule aux sphères intérieure et extérieur ou sphères composantes, et en en prenant la différence.

J'ai dit que la formule s’applique exactement et par la démonstration à la grande majorité-des solides. De cela on doit sans doute ‘eomprendre qu'il y a quelques exceptions, comme dans le cas des -ongléts et fuseanx, mais de même que la futaille ou tronc du milieu d’un faseau se mesure avec une exactitude presque parfaite—disons au quart où, où de un par cent, ou à un demiard près sur un tonneau (voyez pages 707,708 et 709 de mon traité) en opérant sur sa moitié, ou'én'prenanit le ditmètre de la bonde comme celui d’un des bouts où bases, et pour la surface du milieu celui qui en est au quart, ou iritérmédiaire entre le fond et la bonde,;—de même, dis-je, que l’on réussit ainsi, de même on peut obtenir une exactitude presque absolue pour l'onglet de tout solide par une subdivision du corps en tranches parallèles, dont deux ou trois suffisent généralement, ou quatre ou cinq, quand on veut la plus complète exactitude, de la même manière que l’ôn approche de plus en plus de la eirconférence de tout cercle dont le diamètre est connu, en prénant plus de décimales. L'on pout également décomposer et mesurer les cônes ou cylindres creux

ou concaves, on convexes ou renflés, on tont autre corps qui n’est pas une véritable figure géométrique, en se servant toujours de cette simple formule, toujours la même, et l’appliquant dans tous les cas imaginables, sans avoir besoin d’en apprendre d’autres et de s’en charger la mémoire. Les subdivisions, les plans de section, décomposants peuvent être faits équidistants, et le grand résultat auquel on arrive est cette règle universelle, cette formule unique, qui mesure tous les solides et toutes les surfaces ; car, quoique je n’aie pas encore fait allusion à ce fait, on peut démontrer—bien plus, il est prouvé—que lorsqu'on coupe des figures planes, des surfaces, par des ordonnées équidistantes, la superficie de chacune des parties composantes est égale à la somme de ses bases et quatre fois la base ou section intermédiaire multipliée par } de la hauteur de la figure. Maintenant si l’on divise un solide quelconque par une série de plans équidistants, et une surface quelconque par une série semblable de lignes, équidistantes en parties d’égale hauteur, et si l’on imagine des sections intermédiaires dans l’un ou l’autre cas, on a la formule universelle que leurs contenus, solides ou superficiels, selon le cas, sont égaux à la somme des bases extrêmes, joint à deux fois la somme de toutes les autres bases des bouts, et quatre fois la somme de toutes les sections intermédiaires par } de la hauteur commune ; les bases et les sections étant, comme de raison, superficielles ou linéaires, selon que la figure renferme l’espace, ou est une simple surface, plane ou courbe qu’elle soit. J’ai déjà parlé de la tendance à la généralisation que l’on remarque presque vour tout : dans la physique et la chimie tous les phénomènes sont soumis, pour ainsi dire, à quelque loi ou règle générale, universelle. On peut dire que les pouvoirs mécaniques n’en constituent qu’un seul, et sont, dans tous les cas, semblables en ceci, sujets à cette loi, que ce qu’ils donrent en pouvoir, ils le perdent en temps ou en espace. L'unité de mesure, le mètre, s'impose par tout le monde et à la suite viendront une unité pourtoutesles surfaces, et une unité pour toutes les capacités. C’est ainsi que se simplifient le numéraire et l’argent courant. Complétezle projet, et à l’uniformité et à l'identité de l’unité, ajoutez un mode général de calcul ; alors nous aurons non seulement l’unification de la monnaie, comme on le propose en France, projet habilement appuyé dans cette Puissance, par notre concitoyen, R. S. M. Bouchette, Ecr., mais ce sera le projet plus universel, la grande unification et la généralisation de toute science, une langue universelle, an moyen de laquelle les nations pourront conférer, converser entre elles—et un jour, une religion, un berger, et un troupeau, —le millénaire enfin. Mais voyez-vous les immenses avantages de cette généralisation ? En voyez-vous les conséquences étonnantes ? Examinez, le temps qu’il faut, de toute nécessité, aujourd’hui, consacrer à la simple réduction et à l'interprétation de toutes ces règles et

de toutes ces unités qui varient sans cesse ; elles remplissent mille volures, tandis qu’on pourrait employer avec beaucoup plus d’avantage *: temps et le travail que l’on consacre à leur compilation, à l'étude de nouvelles sciences et de nouveaux arts qui mèneraient à une plus grande somme de bien-être et de bonheur pour l’humanité. Maintenant que nous avons pour ainsi dire jeté un coup d’œil sur toutes les figures du “ Tableau” avec leurs contours plus ou moins réguliers, leurs surfaces planes et courbes, il s'élève encore une question : “Comment peut-on mesurer les corps irréguliers de toutes espèces, tels que la statuaire, les bronzes, la sculpture et autres ?” Et afin que cette lecture, en autant que les bornes d’une lecture peuvent le permettre, puisse être complète, et parcourir tout le champ annoncé dans le titre, il me faut, en quelques mots, donner les informations nécessaires. Il est très facile, et de fait plus facile d'arriver au contenu cubique d’un corps très-irrégulier qu'à celui d’un corps de forme plus exacte ; car, avec celui-ci on s’efforce toujours de mesurer directement, tandis qu'avec celui-là on suit un procédé mécanique, qui résout le problème d,une manière plus expéditive et plus satisfaisante. Prenez une statue ou toute autre figure sculptée, ou le chapiteau d’une colonne lonique ou Corinthienne et un vaisseau carré ou cylindrique capable de le contenir. Versez de l’eau dans ce vaisseau jusqu’à ce qu’elle atteigne le sommet de l’objet à mesurer, et marquez la haute r de l’eau ; ensuite retirez l’objet, et marquez encore la hauteur de l’eau, la différence vous donnera immédiatement le volume cherché. Si la substance du corps ou celle du vaisseau qui le renferme est d’une nature absorbante, employez du sable ou quelque autre substance au lieu d’eau. Il y a encore d’autres méthodes d’arriver à des conclusions correctes. La gravité spécifique d’un corps est son poids comparé à celui de l’eau. Supposez alors que l’on ait préparé des tables où le rapport de chaque substance soit donné avec son équivalent d’eau, ou son poids absolu sans égard à l'équivalent ; prenez sur la voie publique une pierre informe, et pesez-là ; comparezen le poids par la règle de Trois avec celui d’un pied, ou &’un pouce, ou d’une verge cube de la même substauce, et vous arriverez ainsi à son contenu cubique. Réciproquement, si l’on cherche le poids de quelque objet que l’on ne peut soumettre à un calcul direct en le mettant dansune balance, mais si l’on peut arriver à son volume, on peut alors aussi s'assurer de son poids par une simple règle de proportion. Maintenant, supposons que l’on veuille trouver les quantités constituantes de qnelque corps composé ou amalgame. Par exemple, + is avez un mélange de cuivre et de zinc fondus ensemble et solidi- #en‘ün corps compacte, sans trace d'aucune des parties constituantes ; le poids de chacun des métaux respectifs peut être soumis à un calcul direct, les facteurs ou les éléments qui entrent dans la for-

mule requise étant simplement le poids spécifique aussi bien du composé que de chacun des éléments dont il est formé. Et il en est de même d’une masse de quartz et d’or; et quoiqu’on ne voie qu’une petite partie du précieux métal, ou qu’on n’en voie, même point du, tout, on peut arriver au poids de l'or avec une facilité comparative. On dit que Hiéro, Roi de Syracuse donna à un habile ouvrier une quantité d’or avec laquelle il devait lui fabriquer une couronne ; mais soupçonnant, lorsque la couronne fut finie, que le bijoutier avait soustrait une partie de l’or et l’avait remplacé par de l'argent, il soumit la question à Archimède afin d’avoir son avis. On ne connaissait pas alors les gravités spécifiques ; mais il paraît que notre philosophe, étant au bain, réfléchissait au moyen de résoudre pour le mieux la proposition sur laquelle le Roi l'avait consulté. Remarquant la différence de poids qu’il y avait entre son corps plongé dans l’eau ef ce qu’il était en plein air, il conçut l’heureuse idée de soumettre la couronne à un semblable calcul, et après avoir pesé la couronne ellemême dans l’eau, et ensuite l’or et l’argent pur, il trouva, par un facile calcul, que, comme le Roi l’avait justement deviné, la couronne était réellement d’or et d'argent, au lieu d'or seul. Notre philosophe fut si content de la découverte qu’il avait faite qu’il courut les rues de la ville en criant : ‘“ Eureka ! Eureka ! ”—“ je l’ai trouvé ; je l'ai trouvé. ” |

On pourrait eroire que le mot‘ Stéréométrique ” ajouté. au ‘“ Tableau ” indique qu’il a seulement et entièrement pour but le toisé, tel n’est pas cependant lecas. Il est de suite évident qu’il doit être aussi d’une grande utilité pour acquérir et donner la connaissance de la nomendature des solides, de leurs formes et de leurs figures variées, lesquels, sans cette aide, nécessiteraient une familiarité préalable des principes et des enseignements du dessin et de la perspective. Les modèles suggèrent à l’Architecte, à l’ingénieur, et au constructeur, les formes et les proportions relatives de pâtés de maisons, de toits, dômes, jetées, quais ; de citernes, réservoirs etchaudières ; de cuves; tonnes, et autres vaisseaux de capacité ; de terrassements de-toutes espèces, comprenant les déblais et remblais de chemins de fer sf autres ; le fût de la colonne Grecque ou Romaine ; le plançon le tronc d’arbre en grume, le billot ; la tente à camper, l'ouverture ébrasée ou non d’une porte ou d’un châssis, niche ou meurtrière dans une muraille ; Le quart de sphère ou de sphéroïde, le demi-segment la voûte du chevet d’une église ou d’une salle ; la sphère entière ou le sphéroïde, la bille de billard ou le boulet d’un canon ; ou sur une plus vaste échelle, la Terre, la Lune, le Soleil, les Planètes, Les modèles seront aussi du plus grand secours pour enseigner la perspective et la projection géométrique des solides.sar. un plan ; aussi les nuances et les ombres qu’ils projettent. De plus ce tableau facilite

ET LE TABLFAU STÉRÉOMÉTRIQUE. 33

considérablement l’art du développement géométrique des surfaces. I y à ausai le triangle polaire, et autres lignes nécessaires à l’étude de la trigonométrie sphérique,

Le temps seul dira si mes efforts pour réduire en un système simple et uniforme les règles multipliées et si compliquées que l’on emploie aujourd’hri pour trouver le contenu des solides ou la capacité des surfaces renfermant l’espace, seront couronnés de succès ; car si ce système a le mérite d'être neuf, il a aussi le désavantage de la nouveauté, comme disait M. Scott Russell de l’ingénieux hélice inventé il y a quelques années par le commandant Ashe, exprésident de cette société. Le monde scientifique, aussi bien que le monde politique, a ses idées conservatrices. Nous n'avons pas encore bien appris les avantages de l’arithmétique décimale ; et l’on n’a pas encore abandonné le calcul fatigant des louis, chelins et deniers pour le système plus expéditif de la piastre où le simple déplacement d’un point fait des merveilles. Il faut beaucoup de temps pour opérer une semblable révolution—une génération, pour ainsi dire ; mais j’ai confiance que je n’attendrai pas aussi longtemps pour être compris, si j'en juge du moins par les nombreux et flatteurs témoignages que j'ai

déjà reçus concernant les avantages multiples de mon invention ou de ma découverte.

Le Conseil de l’Instruction Publique, à sa dernière assemblée générale, a nommé un comité, composé de l’Archevêque de Québec, l'Evêque Langevin, de Rimouski—lui-même un maître accompli dans cet art—et l'Evêque Larocque, de St. Hyacinthe, pour faire un rapport sur la question. Et ce comité, j'ose l’espérer, après lui avoir soumis les opinions si favorables de tant de nos meilleurs mathématiciens, et d’autres juges compétents, tels que D. Wilkie, R. $. M. Bouchette, les professeurs de l’Université Laval, le High School, le collége Morrin et d’autres établissements d'éducation du Canada et d’ailleurs, ne manquera pas de recommander l'introduction du “/1ableau ” dans toutes les écoles de cette Puissance.

Je viens de recevoir une lettre du ministre de l'Education du Nouveau-Brunswick, me demandant de lui envoyer un ‘“ Tableau ” dans le but, dit-il, de l’introduire dans toutes les écoles de cette Province. Non pas cependant que je me propose de me borner au Canada. Au contraire, j'ai déjà pris un brevet pour mon “ Tableau ” aux Etats-Unis, où j'espère l’introduire ; et M. Vannier en m’écrivant de France le dix janvier dernier, pour m’informer de l'octroi de lettres patentes pour ce pays, ajoute que MM. Humbert et Noé, le président et le secrétaire de la société pour la Généralisation de l'Education en France, ont exprimé leur intention de me faire conférer à leur prochaine assemblé générale, quelque marque de distinction pour le bien

que mon système va indubitablement produire en faveur de l’'Education.

L'Honorable M. Chauveau, ministre de l'Education, et d'ailleurs bien qualifié pour juger, “ se fera un devoir, ” comme il le dit dans sa lettre sur le sujet “ d'en recommander l'adoption dans toutes les maisons d'éducation et dans toutes écoles, certain qu’il ‘ est de son utilité pratique. ”

M. Maingui, du Séminaire, écrit :—“ Plus on étudie, plus on approfondit cette formule du cubage des corps, plus on est enchanté de sa simplicité, de sa <larté, et surtout de sa grande généralité. ” M. Bigelow, M. A. ‘“ croyant mon système d’une utilité universelle se ‘ prêtera de bon cœur à son introduction. ” McQuarrie, B. A. ‘ sera ‘ heureux de voir le vieux et ennuyeux procédé remplacé par une ‘€ formule aussi simple et aussi exacte. ” D. Wilkie dit :—“ La règle ‘€ est précise et simple, et étant applicable à presque toutes les va- “ riétés de solides, abrégera considérablement les procédés du calcul. Je me suis ” ajoute-t-il, ‘“ assuré de son exactitude dans son appli- ‘ cation à plusieurs corps. Le Tableau, comprenant une grande va-

: “ riété de formes élémentaires, servira admirablement à former l’œil, “ et facilitera grandement l’étude du toisé. Le gouvernement ren- ‘ drait un véritable service aux écoles moyennes et élevées, en leur ‘# procurant une collection aussi utile.” Le Professeur Newton du Yale College, Massachusetts, considère le Tableau “ Un arrangement très-utile pour montrer la variété et l'étendue des applications de “la formule.” Le Collége l’Assomption ‘ adoptera mon système “ comme partie de son cours d'étude.” Le Rév. T. Boivin, de St. Hyacinthe, dit :—‘ Votre découverte est précieuse, et je recommande ‘ fortement l’adoption de votre tableau. ”

Il y a d’autres personnes qui sans considérer l’exactitüude comparative de la formule, ou ses avantages dans son application au toisé, mais voyant l'immense avantage pour l'élève et le professeur entre les modèles et leur simple représentation sur la planche ou le papier, ont, dans leur opinion écrite, tout particulièrement fait allusion à ce trait du système proposé. M. Joly, Président de la branche de Québec de l’Ecole des Arts de Montréal, dans une lettre à M. Weaver sur le sujet, et après en avoir été lui-même témoin en plus d’une occasion, dit, dans son style expressif :— “ La différence est énorme, ” Les professeurs 4e l'Ecole Normale sont de la même opinion ; etily en a d’autr:s Qui évaluent diversement l’économie de temps, par mon système, d\ douze à dix-huit mois.

La formule prismoïdale n’est pas nouvelle : il y a longtemps qu’elle est connue, « on l’a quelquefois employée pour calculer le

prismoïde rectangulaire ordinaire, aussi bien que les formes familières des déblais et des remblais des voies ferrées et des canaux ; mais personne ne paraît avoir eu l’idée de l'appliquer même au tronc de cône ou de pyramide, auquel, je dois nécessairement le croire, on ne savait pas qu'elle s’appliquât, — autrement, simple comme elle est, bien plus simple et plus directe que le théorème de Legendre, elle aurait fait son chemin avant ce jour dans des traités sur le toisé et autres semblables. Elle n’a jamais été non plus employée, que je sache, pour calculer le segment d’une sphère ou d’un sphéroïde, ni à un grand nombre d’autres formes bien connues ; de sorte que, sous ce rapport, de même que pour un grand nombre d’autres solides auxquels on n’a jamais cherché à l’appliquer, je puis en réclamer vraiment la découverte. Et même si l’idée de cette application s'était jamais présentée à d’autres personnes, comme on l’a quelquefois fait entendre, elles ne paraissent pas en avoir fait l'expérience, ou être arrivées à quelque conclusion utile, pas plus que le premier homme qui, en voyant la vapeur s'échapper par la pression du bec de la théière, ne conçut l’idée que tel agent pourrait exécuter les prodigesque nous connaissons ; et la vapeur ne fut jamais utile en pratique tant que Watt n’eut pas inventé l'engin à vapeur, ni l'électricité tant que Morse n’eut pas découvert la télégraphie. Admettant cependant que cette formule était découverte avant moi, et que je n’ai fait que la dégager de la poussière des ans, ou la re-découvrir, il y à encore peut-être quelque mérire à réclamer, Adams et Leverrier ont droit tous deux à la découverte de la planète Neptune ; et Leibnitz n’a pas été privé de l'honneur de son calcul intégral et différentiel quoique Newton l’eût de plusieurs années précédé dans cette voie par la découverte des “ fluxions. ”

No.2272-71. Ministère de l’'Instruction Publique, Québec, ce 7 Septembre 1872.

C. Baïllargé, Ecuyer, Québec, Monsieur,—J’ai l’honneur de vous transmettre, sur l’autre feuillet, copie de la résolu‘*1n adoptée par le Conseil de l’Instruction Publique, approuvant votre “ Tableau stéréométrique pour toiser tous les corps, segments, troncs et onglets de ces corps, ” ainsi que votre ‘ Nouveau traité de géométrie et de trigonométrie rectiligne et sphérique, suivi du “ Toisé des surfaces et des volumes. ”

J'ai l’houneur d’être Monsieur, Votre obt. serviteur, Louis Grarp. Secrétaire-Archiviste.

36 LETTRES ETO,

Extrait d'une lettre de V. Vannier. Paris, 8 Juillet 1873.

“ Il est bien décidé que votre tableau aura la première récompense de la société libre d'instruction et d'éducation populaire ; vous en serez averti officiellement à la rentrée des vacances, fin octobre, et vous serez en même temps convoqué pour la distribution solennelle des récompenses qui aura lieu dans le courant du mois de Mars prochain.

WOoORCESTER FREE IKSTITUTE,

Worcester, Mass., 24 Juillet 1873.

Ceci est pour certifier que j’ai soigneusement examiné les modèles de Baillairgé tels qu’appliqués par lui à l’enseignement du toisé par la formule prismoïdale et je les considère éminemment utiles dans toutes

les écoles où l’on enseigne le toisé. .

(Signé), C. O0. THOMPSON, Principal Wr. Free Inst.

TABLEAU STEREOMETRIQUE DE M. BAILLARGE.

(Extrait du “ Journal de l' Instruction Publique,” Nov. 1872.)

Nous avons déjà eu occasion de parler de ce tableau, et de l’impulsion extraordinaire qu'il doit donner à l’étude;du toisé. L'auteur a, depuis, obtenu les certificats les plus flatteurs de tous les hommes compétents sur cette matière. Ce tableau, avec la formule qui l’accompagne, est appelé, au dire de tous, à faire une véritable révolution dans les méthodes de mesurage pour les solides. Le conseil de l’instruction publique, à sa dernière séance l’a approuvé, avec le ‘“ Traité de géométrie ” du même auteur, Ce tableau, de cinq pieds par trois, contient deux cents modèles en bois, comprenant toutes le. variétés de formes, de puis les corps les plus simples jusqu'aux corps les plus bizarres et les plus difficiles à toiser. Ces modèles sont mobiles et ne sont fixés au tableau que par une petite tige en fer, de sorte que les élèves peuvent les examiner et les étudier de main en main. L'auteur espère que son œuvre, tout en simplifiant et en facilitant les calculs du savant, aura surtout pour résultat dé metcre à la portée de tous, une science demeurée jusqu'ici, par ses diflicultés presque insurmontables, en dehors des atteintes du plus grand nombre. Tous les collèges et les écoles trouveront dans le “ Tableau stéréométrique ” un puisant moyen de progrès sûrs et rapides,

Nous en publions ci-dessous une gravure, et nous renvoyons le lecteur, pour de plus amples détails, à notre bulletin bibliographique où un homme expert en cette matière, M. Blain de St. Aubin, en fait une excellente appréciation, dans le compte-rendu qu’il donne d’une conférence lue par M. Baillairgé, devant la société historique de Québec.