COMPARAISON DES CIRCO.NFÉRENCES ET DE LEURS ARCS
iî). Deux circouférencet se contiennent comme leurs rayons ou comme leurs diamètres.
Il est clair d'abord que si elles se contiennent comme leurs rayons, elles se contiendront comme leurs diamètres, puisque les deux rayons se contiennent comme les diamètres, dont ils sont les moitiés (8).
Plaçons les deux cercles l'un sur l'autre, de manière h confondre leurs centres (P. I, F. 4); puis, tirons du centre commun A, deux rayons AB, AC du grand cercle , assez rapprochés pour que les arcs BG, DE puissent être regardés comme des droites, sans erreurs appréciables. Il seia démontré, dans le cliapiiie do \a comparaison des droites, que BCiDK :: AB:AI). Pour deux autres arcsCF, EG, très- petits aussi, nous aurons de même CF ; EG :: AC : AE. Une troisième couple donnera Fil : GI :: AF : AG, et ainsi de suite, jus<ju':i ce qu'on soit revenu aux points B, D. Mais, AB:^AC = AF, AI) = AE = AG. Les seconds rapports de toutes les proportions sont donc égaux, et BC:I)E :: CF:EG :: FIIiGl :: etc.
Or, dans une suite de rapports égaux, la somme des antécédents est à la somme des conséquents, comme un antécédent est à son consé(|uent. Donc, BC -f- CF -f- FH -|- etc. : DE-|-EG 4-GI-j-etc. :: BC:DE :: AB: AD, ce qui signifie que la grande circonférence contient la petite, comme le grand rayon contient le petit.
16. Trouver le rapport de deux circonférences dont les diamètre^ on< 0"',7o eM)°,15.
La grande contient la petite autant de fois que 0°, 75 contient O"", 15 ou autant que 75 contient i5. 11 faut donc diviser 75 par 15 pour trouver le rapport demandé, et par conséquent, ce rap|>ort est 5.
17. La piste du manège d'un huilier a^"^ de rayon; il la trouve trop courte et vent l'augmenter d'un quart. A quelle distance du piwl doit il atteler son clieval?
Puisque la grande circonférence surpassera la petite du quart
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de colle ci , son rayon doit smpassor de \ le rayon donné j fa longuenr du nouveau rayon sera donc 2 mètres, plus le quart de 2"°, c'est-à-dire 2"" plus O^.S ou 2™, 5.
18. Lorsque deux roues dentées engrènent Vunc sur l'autre, les •nombres de tours qu'elles font dans le même temps, se contiennent à l'inverse des rayons.
Il est clair d'abord que les nombres de tours sont inverses des circonférences: la petite roue appliquant successivement tous ses points sur la grande, doit faire d'autant j)lus de tours, contre un seul de celle-ci , que sa circonférence est moindre ou contenue plus de fois dans l'autre. Si, par exemple, le pourtour de la grande roue vaut 2 fois, 3 fois celui de la petite, cetle dernière fera 2 tours, 5 tours, pendant que la première en fera un. Si l'une des roues à 5" de circonféi'ence et l'autre 7"", la petite vaudra 5/7 de la grande et fera 7/5 de tours, pendant que l'autre en fera un, ou 7 tours contre 5. Mais, puisque les circonférences se contiennent comme 5 et 7, il en est de même des rayons (lo). Donc , lorsque les rayons se contiennent comme 5 et 7, les nombres de tours respectifs se contiennent h l'inverse, comme 7 et 5.
19. Le rayon d'une roue est les 2/5 de celui d'une autre avec laquelle elle engrène; combien fait-elle de tours , pendant que la grande en fait un ?
Les rayons se contiennent comn;e 2 et 5; par conséquent, les nombres de tours respectifs doivent se contenir comme 5 et 2. La petite roue fera donc 5 tours, pendant que la grande en fera 2, ou 5/2 tours contre i , ou 1 lonr 1/2 contre 1.
20. On veut qu'une roue qui doit engrener avec une autre ^ fasse 2 tours , pendant que cette autre en fera 5 ; quel doit être le rayon de la première , par rapport à celui de la seconde ?
Puisque les nond^res de tours se contiennent comme 2 et 3, les rayons doivent se contenir coîimc 5 et 2 (18). Consé(juemmcnt, le rayon de la grande roue sera les 5/2 du rayon de la petite ou le surpassera d'une moitié.
