PERPENDICULAIRES

laires abaissées de A sur DE. Les angles ABE, ADB seront droits (52). Or, si l'on fait glisser le second de manière que DB suive BE , rcxtrémité A de DA quittera BC; elle se trouvera, par exemple, en a, quand D arrivera en B. L'angle aBE devra donc èire dioit, et c'est ce qui ne se peut, puisqu'il n'est évidemment qu'une partie de l'angle droit ABE.

61 . La plus courte droite qui puisse être menée d'un point A à une droite DE (P. I , F. 25), est la perpendiculaire AB abaissée de ce point.

Celte perpendiculaire est effectivement plus courte que toute autre droite AD. Elevons une perpendiculaire GH au milieu de BD; elle rencontrera AD entre A et D, car elle ne saurait passer par le premier de ces points (GO); l'intersection II sera également éloignée de B et de D (52), et la ligne brisée AIIB égalera AD. Or, AB est plus courte (jue AHB (2).

62. La distance d'un point A à ime droite DE doit se mesurer sur la perpendiculaire AB, abaissée de ce point sur la droite (P. I, F. 25).

Celte règle tient h ce qu'en parlant de la distance d'un point à une tlroiie, on sous-en'.end toujours la plus courte (61) '^ et l'on considèi'e celle-là prérérablcmcnt à toute autre, telle que AD, parce que la droite AB bur hiquelle on la prend, est d'un tracé plus simple que celui d'une droite qui n'est pas perpendiculaire, et aus'^i parce que l'intersection B peut être marquée avec plus d'cxaciiludc! que l'intersection D.

65. La droite que forme un fil-à-plomb librement suspendu, est nommée verticale, et toute droite perpendiculaire à celle-là est horizontale. Quelquefois cette dcrnièie s'appelle aussi ligne de niveau.

Quand une droite n'est ni verticale, ni horizontale, on la dit inclinée.

Planter un jalon h plomb, ou le rendre vertical, ou le placer verticalement , c'est donc la même chose.

Par un mruio point, il ne peut passer qu'une seule verticale j mais une inniiilé d horizontales différentes peuvent s'y croiser.

64. C'est au moyen des instruments appelés niveaux^ qu'on peut marquer des points situés sur une liorizoniale ou vérifier si une droite est horizoïiiale.

Pour la première de ces deux ope-rations, on se sert du niveau d'eau. Sa pièce pi-incipale est un tube do fcri.lanc deux fois coudé. Au milieu de ce tube est une douille , qui permet de poser l'instrument sur un pied. Les deux petites branches portent chacune un ajula^je en verre, qu'on ferme, an moyen d'un bouchon, quand il

faut changer de place. Si vous versoz assez d'eau dans un des ajulagi'S pour (juils en soient remplis tous deux en partie, le liquide s'y nu'iua de niveau et vous fournira un ali};ueuienl horizontal. Visez donc, selon cet alignement , deux objets quelconques ei faites y marquer les points auxquels il aboutit; ces deux points appartiendront à une horizontale, niiîme quand vous auriez été obligés de lain* pivoier le niveau pour en déierniiner un : il suflit que rélf'valion de l'inslruuicnt au-dt'ssus du sol n'ail pas varié.

I*our vérifier si une droite est horizontale et la rendre telle lorsqu'elle ne Test pas , on emploie le niv^u de vmçon ou le niveau à bulle d'air. Le premier de ces instruments sera décrit plus loin. Quant au sercMid, il présente un petit tube de veiie qui fait légôrenieni la voûte et que contient une monture en laiton. Un peu d'air est avec l'eau dont le udxi e-t presque plein. Conmie les corps plus légers que l'eau montent toujours h la surface de ce liquide, vous concevez que la -bulle d'air doit occuper le haut de l'arc î'ormé par le tube, quand les deux extrt'inJK's de cet arc sont de niveau, ou quand la dioite sur Uupu'lle pose la mouture en laiton , a elle- Diéme cette position; car alors l'eau remplit également les tleux parties extrêmes de l'arc et laisse libre le milieu. Si donc la bulle se porte à gauche, par exemple, c'est que la ligne droite est trop élevée de ce côté, et il faut abaisser rexlrémité de gauche ou hausser l'autre, jusqu'à ce (jue la bulle soit au milieu de l'arc et s'y maintienne. Il est aisé de sentir, d'après cela, qu'un tel niveau est d'une grande sensibilité et d'une grande justesse; aussi ne saurais- je trop vous en recommander l'usage; il coûte d'ailleurs peu cher.

65. Deux droites qui sont partout également écartées l'une de l'autre, se nomment paraliélcs; elles ne peuvent jamais se rencontrer quelque loin qu'on les [)rolonge.

La parallèle d'une droite est le lieu de f ou5 les points situés à une même distance de cette droite.

Abaissons de dillérents point A, B, C, etc., d'une droite AD (P. I, V. 31), df'S perpendiculaires sur sa parallèle EF. Ces perpendiculaires AE, liG, Cil, etc., seront les distances des points A, B, C, etc., il la droite EF (G2), et il y aura égalité entre elles, puisque l'écartement des deux parallèles est partout le même. Donc, les points A, B, C, etc., de AD sont à une mécue distance de la parallèle EF.

Il est d'ailleurs visible que tout point I , pris hors de AD, soit

d'un côté, soit de l'autre, serait plus ou moins éloigné de EF que le point G situé sur la même perpendiculaire h celle droite.

66. Marquer plusieurs points qui soient à une dislance donnée y 5 mètres par exemple, d'une droite tracée EF (P. 1, F. 31).

Élevez une perpendiculaire indéfinie E.\ sur EF; portez-y 5°, de E en A; menez par A une parallèle à EF, et marquez sur celte parallèle AD, les point B, C, etc., aux dislances où ils doivent être de A; ils seront tous, ainsi que A, à o" de EF (63).

67. Deux droites AB, CD, parallèles à une troisième EF (P. I, F. 32), sont parallèles l'une à l'autre.

En effet, les écariemenls AE , CE.sont invariables, et comme AC .= AE — CE , cet écarienient des droites AB, CD, est invariable aussi.

68. La droite EB perpendiculaire à une autre AB, l'est aussi à toute parallèle CD (P. 1, F. 53).

Si EB n'était pas d'équerre sur CD, l'angle CDE ne serait pas droit, et l'on pourrai! former un angle droit sur EB, au point D, en tirant une droite DF ou DG.

Or, DF, n'étant point parallèle à AB, finirait par la rencontrer et n)ème par la croiser; l'angle droit EDF sortirait donc de l'angle droit ABE, et se trouverait [)liis grand, ce qui ne se peut (41). De même, le prolongement DU de DG rencontrerait BI, celui de AB, et l'angle EDII, droit comme EDG (42), serait plus grand que l'angle droit EBI.

69. Toute droite qui traverse un système d'autres droites, parallèles ou non parallèles, est appelée transversale.

Des parallèles AB, CD, coupées par une transversale EF, forment plusieurs angles (P. 1, F. 34); ceux de ces angles qui se trouvent placés de la même manière par rapport à la transversale et de la même manière par rapport aux parallèles, comme BGE, DUE, sont (\\ls correspondants ; ceux qui se trouvent placés différemment par rapport à la transversale et qui commencent entre les parallèles, comme AGF, DUE, sont dits alternes-internes: alternes, pour exprimer que la transversale les sépare; internes, pour indiquer leur position entre les parallèles.