Des perpendiculaires à une même droite sont parallèles

Si AB, CD (P. I, F. 33) sont perpendiculaires h BE, les angles r-orrespondants ABE , CDE sont égaux , comme droits, et par suite, AB, CD se trouvent parallèles (72).

74. Deux angles sont égaux , quand , ayant leurs côtés parallèles , ils s'ouvrent tout à fait dans le même sens^ ou dans des sens tout à fait différents.

Les angles ABC, DEF, qui ont leurs côtés parallèles (P. I, F. 33), s'ouvrent tout à lait dans le même sens. Prolongeons BC. Les angles .\BC, DGIl .sont égaux, comme correspondants; les angles DGll, DEF sont égaux, pour la même laison. Donc, ABC = DEF.

Les angles AliC , IKL, qui ont au.ssi leurs côlés pai-allèles, s'ouvrent dans des sens tout à fait dillérents. Pi'olongeons IK. Les angles AIJC, BMK sont égaux, comme alternes-internes; les angles B.MK, IKL sont ('gaux, comme correpondanls. Donc, ABC = IKL.

7.'). Deux angles \\\C , Dl'.F sont égaux , quand les côtés AB , BC de l'un se trouvent respectivement perpendiculaires aux côlés DE , EF de l'autre {[\ I, F. 3G).

Élevons en B une perpendiculaire BIV sur AB , et une perpendiculaire BF' sur BC ; elles seront respectivement parallèles h DE, EF (73) , et l'angle D'BF' vaudra DEF (74). Il reste donc h démon

trer que D'6F = ABC. Or, D'BA = F'BC: ce sont des angles droits; ou bien DBF'-}- F'BA = F'BA^- ABC. Retranchant de chaque côté F'BA , on a en effet D'BF' = ABC.

76. Tracer, sur le papier ou sur le tableau, une droHe qui passe par un point A et soit parallèle à une autre droite BC (P. 1 , F. 57).

On se sert pour cela d'une règle et d'une équerre. Peu importe que l'équerro soit juste; il sufllit que les arêtes en soient droites.

Appliquez le plus grand DE dos deux petits côtés de l'équcrre, conti-e la i-ègle, et placez ces deux instruinenls, ainsi accolés, de manière que le grand côté CD du premier se conibnde avec la droite donnée BC. Faites glisser ensuite le système à droite ou à gauche, sans abandonner BC, jusqu'à ce que la face de la règle snr laquelle s'appuie réquerre, passe par le point A, en même temps que le grand côté CD continuera de couvrir une partie de BC. Enfin, poussez l'équcrre le long de la règle maintenue fixe, pour amener le grand côté sur le point A , et tracez une droite AF en suivant ce grand côié; elle sera la parallèle demandée, car les angles correspondants CDE , DAF seront égaux (72).

S'il est nécessaire que la parallèle soit plus lofigne que AF, vous la prolongerez ensuite; et pour cela, vous maintiendrez l'équcrre dans sa dernière position, vous appliquerez la règle le long du grand côté AF, puis vous enlèverez 1 équerre, cl vous tracerez une droite le long de la règle.

77. Tracer la direction d'une rangée d'arbres qui doit être parallèle à une autre rangée AB déjà plantée, et partir d'un point donné C (P. I, F. 58).

Il faut marquer sur AB un point A, autant éloigné de C qu'il sera possible; décriie de ce point A, avec la dislance AC pour rayon, un arc qui parte de C, et se termine sur AB, en B, par exemple; décrire de C, avec le même rayon, un second arc qui parle de A et soit sensiblement plus long que le premier; prendre la corde BC, et avec celle corde pour rayon , décrire de A un troisième arc qui coupe le second ; |niis enfin, joindre l'iniersection D avec le point donné C. La droite CI) sera parallèle à AB, car (72), si vous tiriez la droite AC, les angles alternes-internes ACD, BAC seraient égaux , ayant des arcs d'indication de même rayon el de même coide (58).

Ce procédé convient h tous les cas où les parallèles ne doivent pas être tiès-écarlées , et où le terrain i>ennel de tracer des arcs. Oudérrilces arcs, soit à l'aide d'un cordeau, soit ii laide dune perche (5). Observez qu'il sudit de marquer l'extrémité B de l'arc BC et une petite partie de AD.

78.. Tracer la direclion d'un mur qui duil contenir itn point donné A , tt être jyarallèle à un aulre mur BC, éloigné ou situé audelà d'une lùéce d'eau (P. I, F. 39).

Un ne poul faire usago, dans un tel cas, ni d'un cordeau, ni d'une perche; il faut se servir d'une éiiuene d'arpcnleur ou tl'unc fausse-»'quciie porire sur un pied. Ce dernier inslrunicniesl facile à conslriiire : il sullii de faire, sur la \.([c d'un j^ros picpiel, deux entailles droites (pii se coupent sous un angle cpuMconcpie; ou mieux encore de lixer, sur le bout d'un bàlon, deu\ petites plaucheites qui se croisent el portent 3 épingles : une au croisement et les deuK autres à deux des extiémités. Ces épinf^les doivent être iniplaiiiées de façon (pi'elles se trouvent verticales, lorsque les planchettes sont de niveau.

Quant à la manière d'opérer, elle est très-simple aussi. Plantez verticalement le bûlon sur la droite BC, en un point D, tel que l'un des alignements formés par l'épingle du croisement el les autres, étant dirigé sur un jalon vertical B placé le plus loin possible, il arrive que le second alignement passe par le jalon A, el qu'en méuie temps les planchettes soient bien hoiizonlales, ce que vous vérifierez à l'aide d'un niveau. Avec un peu d'habitude, vous trouverez ce point I) après quelques tâtonnements. Eidevez alors l'instrument et remplacez-le par un jalon vertical; puis établissez la faiisse-équerre au point A, comme elle a été établie en I); dirigez l'un des aligneux-nts des épingles sur le jalon D, de façon que l'uulre alignement laisse les droites AD et BG du même côté; plantez enlin un jalon vertical E sur ce secon(l alignement el le plus loin possible de A. La direction AK sera celle du mur qui doit être parallèle à lîC , car si vous tiriez la droite AD, vous for- Dieriez les angles alternes-internes ADB, DAK, et ces angles ont élé faits égaux, si les planchettes n'ont pas été dérangées (7?).

Il est quelquefois plus conmiode de inarquer le point D arbitrairement, de lever l'angle BDA (3-1), en rapprochant ou en écartant les deux règles, et d'opérer en A connue il vient d'être dit. On peut aussi enqiloyer les angles corrcsponck^nts. Soient CLD la direction donnée (F. 34), et G le point qui doit être sur la parallèle. Planiez un jalon F au-delii de G ; placez le pied de la fausscérpierrc à l'intersection II des aligneiuenls FG , DL; levez l'angle DlKi; portez rinslrument en G; dirigez un de ses alignements sur E, et faites planter un jalon B sur l'autre. La droite GB sera la parallèle demandée.

On opère absolument de la même manière avec l'écpierre d'arpenteur. Seulement, la droite AI) (F. 30), ou la droite Fil (F. 3-i) , se trouve alors perpendiculaire sur la droite donnée, au lieu d'y faire un angle aigu.