TANGENTES ET CERCLES TANGENTS

79. On dit qu'une droite AB est tangente h un cercle C, lorsqu'elle n'a réellement qu'un seul point D de commun avec ce cercle (P. I,

F. 40). Le point D est le contact de la tangente et du cercle. Pour qu'une droite AD se trouve tangente à un cercle C , il faut et

il suffit quelle soit perpendiculaire à l'extrémité d'un rayon CD.

Elle n'a en elfct alors que le seul point D de commun avec le cercle; car tout autre point E pris sur AB , aussi près que vous voudrez de D, sera plus éloigné du centre C que D (Cl) et ne se trouvera pas sur la circonférence (12).

80. Tracer par un point D , pris sur la circonférence d'un cercle

G, une droite qui soit tangente à ce cercle (P. I, F. 59).

Vous courriez grand risque de donner une fausse direction h la tangente, si vous vous contentiez, pour la tracer, d'appliquer une règle contre le cercle, au point D. 11 faut absolument tirer le rayon CD , puis élever une perpendiculaire à l'extrémité D de ce rayon (53 et oG).

81. Tracer par un point A, pris hors d'un cercle B, une droite qui soit tangente à ce cercle ( P. 1 , F. 41 ).

Il suffit, dans ce cas, d'appliquer une bonne règle contre le point A et contre le cercle: une dioitc AC, tracée le long de la règle, maintenue dans sa position, est la tangente demandée. Mais, s'il fallait détern)iner exactement le point de contact de cette tangente, vous devriez abaisser du centre B, sur AC, une perpendiculaire BE (57) ; ou bien joindre A au cenire B, clierclier le milieu D de la droite AB (59) , et décriic du point D comme centre, avec DB pour rayon, un cercle ou seulement un arc qui coupât AC. L'intersection E serait le contact cherclié j car, si vous lirez le rayon BE , la tangente AC sera perpendiculaire à l'extrémité E de ce rayon , puisque l'angle AEB , inscrit au cercle D , comprend le diamètre AB (48),

C'est toujours ainsi qu'il faut opérer, pour déterminer exactement le coiiiact d'une tangente.

Remarquez que d'un point A situé à l'extérieur du cercle B , on peut toujours mener deux tangentes AC , AF à ce cercle, et que le dernier tracé fait trouver à la fois les deux contacts E, G. C'est pour cela (pi'on le pr(''l'ère ordinairement au premier.

82. Les tangentes parallèles d'un miine cercle sont impendiculaires aux extrémités d'un diamètre et leur distance égale ce diamètre.

La tangente FC (PI, F. 40) est perpendiculaire à l'extrémité f}\i rayon CG (79); le rayon CH est d'équerrc sur la tangente Ml ,

ET CEnCLES TANGEJITS. 37

pt sur la [►arall«^le FG (68). Voilà iloric deux por[»pii(Jiculaires CG , lie l\ la nn'iiH' droite FG, qui passent par le inèiiie |)oiMlC. Conséqiieinnient (iH)), elles se coiiroiident ; (îCll est un diamètre, et ce diamètre forme la distance dos deux tangentes parallèles (Go).

85. Deux cercles A , B (P. I, F. 42) qui n'ont qu'un seul point C de comiiiun , sont dits tangents l'un à l'autre; le point C est leur contact.

Clincun des deux cercles est tout îi fait en dehors de l'autre (F. i^), et alors ils se touchent cstcrieurement ; ou bien, le petit est entouié du grand ( I'. iô ) , et alors ce dernier est touché intérieurement par le preiniii-.

Deux cercles A, B se touchent extérieurement (F. 42), quand la distance AB des centres éijale la sot)ime des rayons.

Si AB vaut la soninie des rayons, deux rayons AC, BC sont en ligne droite, et leur extrémité commune C se trouve sur les deux, circonférences; elles ont donc un p.oinl commun. Reste h démontrer qu'elles n'ont que celui-là. Or, s'il y en avait un autre D, situé aussi près de C (ju'on voudra, AI), BD seraient des layons; la ligne ADB vau«lrait AB ; et cela ne se peut, car la première serait une ligne brisée, puisque la seconde est droite (2).

8i. Tracer un cercle qui en touche un autre A extérieurement , en un point donné C (P. 1, F. 42).

Tire/ le rayon AC ; portez sur son prolongemcni, hpartir de C, le rayon du cercle demandé; vous marquerez ainsi un point B qui sera le centre de ce cercle.

85. Un cercle B en touche un autre A intérieurement (P. I , F. 45), quand la distance Al> des centres égale la différence des rayons.

Si AB vaut la dilférence des rayons, le plus grand se compose du plus petit et de cette dilleience. Un rayon BC du petit cercle fait donc partie d'un rayon AC du grand, et leur extrémité commune C se trouve sur les deux ciiconférences. Besie à faire voir que ces courbes n'ont pas d'autre point coujmun. Or, s'il y en avait un second I), situé aussi près de C qu'on voudra, Al) serait un rayon du grand cercle et vaudrait AC ou AB-[-BC; BD serait un rayon du petit cercle, et AB -|- BD vaudrait AB-f- BC ou AD. La ligne droite AD aurait donc même longueur que la ligne brisée ABD , ce (pii est impossible (2).

8G. Tracer un cercle qui en touche un autre A intérieurement , en un point tbnné C (P. 1 , F. 45).

Tirez le rayon AC; portez-y, à partir de C et vers A, le rayon du cercle demandé; le point B, ainsi marqué, sera le centre de ce cercle.