TANGENTES ET CERCLES TAN0EI1TS

87. Lorsqu'au lieu de cercles, ce sont seulement des arcs qui se touchent ou sont tangents l'un h l'autre , on dit quelquefois qu'ils se raccordent. C'est d'arcs raccordés que sont formés ordinairement les cintres des ponts, des alcôves, etc. Ces cintres sont dits surbaissés, parce qu'ils ont une haiiieur moindre que leur demi-largeur; au lieu c[{\' un plein cintre , étant l'ornié par une demi-circonférence, a une haufeur égale à sa demi-largeur. Les cintres surbaissés sont appelés queîinclois anses de panier, courbes à 3, à 5 centres, selon qu'ils rcnrei'mcnt trois ou cinq aies de cercle.

Tracer un cintre surbaissé, à trois centres, dont la largeur et la hauteur sont données.

Tirez une droite AB égale à la largeur (P. I, F. 44) ; élevez une perpendiculaire au milieu de AB (o9) et prenez CD égnie à la hauteur du cintre; des points A , C , décrivez , avec AC pour rayon, deux arcs qui se coupent en un point E ; joignez E aux points A, C; rapportez la distance CD sur CE, de C en F , au moyen d'un arc de cercle déorit du point C; joignez D à F et prolongez la droite DF jusqu'à AE ; enfin , par le point d'intersection G , menez GII parallèlement à CE. Vous aurez IG^ LV , parce que CE = CA; vous aurez aussi HG=nD, parce queCF = CD. Vous pourrez donc décrire de I un arc AG, et de 11 un arc GD. Ces deux arcs se raccorderont ou se toucheront en G, attendu que la distance III de leurs centres sera égale à la différence de leurs rayons HG, IG (8o).

Il faudra ensuite rapporter CI de C en K, au moyen d'un arc dont C soit le centre; décrire de K, avec KB, un arc; sensiblement plus grand que l'arc AG, et enlin continuer l'arc GD, jusqu'à ce qu'il soil touché intérieurement en L, par l'ai'c qui a son centre en K. Vous aurez forn)é alors une courbe exenjpie ôo jarrets , qui aura trois centres I, II, K on qui renfermera trois arcs de cercle AG , GDL, LB. Chacun de ces arcs sera la sixième partie de sa circonférence ou contiendra GO degrés.

88. Il arrive parfois que, pour soutenir un escalier ou une rampe, on est obligé de consiruiie un cintre dont les extréuiités ne soient pas de niveau. La denn-circonféi-ence ne peut être enqjloyée dans ce c.is; aussi est-ce une espèce d'anse de panier, nommée arc rampant, qui forme alois le cintre.

Tracer un arc rampant composé de deux arcs de cercle.

Tirez une droite .\B ('gale à la largeur que doit avoir l'ai'cade (P. 1, F. 4.')); élevez au milieu une perpendiculaire CD; par les cxtrémitf'S A, B, menez des parallèles à CD; portez sur l'une, de A en E , la distance du sol à l'extrémité la i)lus élevée de l'arc , et sur l'autre, de B en F, la distance du sol à l'extrémité la moins

ëlevée. La droite F.F, aiosi déterminée, se trouvera inclinée comme la ligne de ranipo, ei le point (i où elle rencontrera CI), sera son milieu. Pivnoz alors GlI^ GK; abaissez de H, sur KF, une |)orpendiculaire III; finis menez, par K et par F, des parallèles ii M]. Los points K , L, oii ces parallèles rencunlreiont la perpiMidicnliiirr III, seront les centres des druK arcs du cintre. Vous décrirez ddnc de K, avec KI^ pour rayon, un arc de cercle, et de L, avec LF , un second arc. Ces deux arcs se raccorderont «mi H , parce qu'ils passeront par ce point, et que la dislance de leurs centres sera précisément la différence de leurs rayons KIl , LU.

Maintenant que vous connaissez les propriétés essentielles des perpendiculaires et des parallèles , vous êtes en élal d'é-iudier la comparaison des droites. C'est une partie fort iniporlanle de la Géométrie : on serait souvent oUiigé de se livrer à des mesurages longs, fastidieux et didiciles, si Ton ne savait pas, par les principes, combien de fois se contiennent des droites placées dans lelîes ou telles circonstances.

Vous avez appris d«''jà que tous les rayons d'un même cercle sont égaux (G) , que tous les diamètres ont même longueur et qu'il y a aussi égalité entre les cordes d'arcs égaux, pris sur le même cercle ou sur des cercles de même rayon (t23).

Il existe encore beaucoup d'auti'es (circonstances qui rendent certain tout d'abord de légalité des droites.

89. Deux droites sont égales, quand elles se trouvent comprises entre deux circonférences concentriques et quelles font partie de rayons.

Les deux circonférences de la figure 24 (P. I) sont concentriques, c'est-h-dire qu'elles ont le même centre B. Les droites I)F, FG se tr-ouvent comprises entre elles et font partie des rayons BD, BE. Il faut iUiuc dé'inontrer que DF = FG.

Or, BI) = I!K, I;F=BG. Par conséquent, BD — BF = BE — BG. Mais BD — BF = DF , BF— BG = FG. Donc , DF= EG.

90. Deux circonférences concentriques sont partout également écartées l'une de f autre.

Le très- petit aie de cercle que le rayon BD coupe par le milieu (P. 1, F. 24), peut êlr-e regardé comme une ligne droite qui fait partie de la tangente au point D. Cet élément de la grande circoid"('-rence est donc d'équene sur BD (79). De même l'élément dont F est le milieu, se trouve d'équerre sur BF. Cet élément de la petite circonférence est donc parallèle h celui de la grande; par

conséquent, leur distance vaut BF (68). Or, récartenient des deux éléments est précisément celui des courbes dont ils font partie.

On verrait de même que EG donne un autre écariemcnt des circonférences concentriques 5 comme DF = EG, ces circonférences sont aussi écartées en D qu'en E, et conséquemment, leur écartcment est partout Je même (89).

91. Une droite AD (P. I, F. 25) qui fait un angle aigu ou obtus avec une autre DE, est appelée oblique^ et le point D de rencontre est dit \e pied de celte oblique, comme le point B est dit \e pied de la perpendiculaire AB.

Deux obliques sont égales^ quand elles s'écartent également de la perpendiculaire abaissée de leur point de rencontre.

Les écartements dont il s'agit, sont ceux des pieds; de sorte que si BD = BE, on a nécessairement AD = AE.

En ettet, AB est alors perpendiculaire au milieu de DE, et par conséquent, son point A se trouve à la même distance des extrémités D, E (52).

92. Deux obliques qui ne s écartent pas également de la perpendiculaire^ sont inégales, et la plus longue est celle qui s'écarte le plus.

Élevons une perpendiculaire au milieu de la distance AB (P. 1, F. AG) qui sépare les pieds des deux obliques AC, BC , et joignons B au point où celte pei-pendiculaire DE rencontre AC; nous aurons EA = EB (91), et par suite, CA = CEB. Or, la ligne brisée CEB surpasse la ligne droite CB. Donc aussi, l'oblique CA est plus longue que l'oblique GB.