Diviser en deux parties égales une droite donnée

Sur le papier ou sur un tableau , on élève une perpendiculaire au milieu de la droite donnée (59 et 97).

Sur le terrain, on peut mesurer la droite AB (P. ï, F. 49) ; prendre la moitié du nombre de mètres trouvé , et le porter, à partir de A , vers l'extrémité B; le point C, qu'on marque en terminant, divise bien AB en deux parties égales AC, CB.

Mais, il est plus court d'employer l'équerre d'arpenteur (58).

Elevez des perpendiculaires aux extrémités de AB, en sens inverses; portez sur chacune un nombre de mètres égal a celui que vous paraît avoir la moitié de AB ; plantez un jalon au point D et au point E, ainsi marqués; puis , faites planter, surAB, un troisième jalon C qui soit dans l'alignement DE. La partie AC égalera CB.

En effet, AD, BE sont parallèles (75) et les angles D, E sont égaux comme alternes-internes. Plaçons la figure CBE sur CAD, de mlinière que BE couvre son égale AD, que B soit en A et E en D. La droite BC prendra la direction AC, à cause de l'égalité des deux angles droits A, B. La droite EC prendra la direction DC, h cause de l'égalité des angles D, E. Ces lignes, BC et EC, ne pourront donc se rencontrer qu'à l'intersection C de AC , DC. Par conséquent, BC couvrira AC, ce qui montre que ces deux parties de AB sont égales.

Plus AD et BE sont longues, plus les angles en C approclicni chacun de l'angle droit. DE diffère donc moins d'une perpendiculaire h AB, et par conséquent, le point C se marque avec plus d'exactitude.

Lorsque AD, BE diffèrent peu chacune de '/s AB, les angles en C sont à peu près de 45^ chacun , et la détermination de C est encore assez exacte. Mais il n'en serait plus de même, si les poipondiculaircs AI), BE différaient beaucoup de '/s AB, attendu que les angles en C seraient très-aigus, et DE très-inclinée sur AB.

Si l'on emploie une équerrc à boîte, il vaut mieux diriger de A

COMPARAISON DES liAOITES. 43

el de B deux nlif^nemenls AD', BK' qui fasscni un angle de 4;i* chacun avec AB; car les dislances AI)', BK' n'auront pas besoin dt'lre aussi longues que AD, BE , pour donner le nirine alignement DD'CK'K.

On tiouve proinptcnicnl la position du jalon C, quand on a deux aides: l'un tient ce jalon verticalement, en regardant les deux autres personnes, placées l'une en B, l'autre en E: la personne B, regardant A, fait, au moyen de signes de la main, aller la personne C à droite ou à gauche, jusi]u'h ce qu'elle soit sur l'alignement AB. La personne K, regardant D, fait, de la mf^mc manière, arriver le jalon C sur l'alignement DE, el la personne C le plante, quand il est h la fois sur les deux alignements AB, DE, ce que font connaître les personnes B, E, en levant un bras, pour l'abaisser aussitôt.

Si l'on n'a qu'un seul aide, il faut faire planter deux jalons auxiliaires F, G, sur les prolongements de AB, ED. Rien de plus facile ensuite que de placer le jalon C à l'intersection des alignements FA, GD, qui est la même que celle des alignements AB, DE.

99. La perpendiculaire au milieu d'une corde AB (P. I , F. oO) passe aussi par le milieu de Varc de cercle AEB el par le centre C.

La perpendiculaire DF au milieu de AB doit prendre tous les points également éloignés de A et B (o2) ; elle doit donc passer par le centre C, puisque les rayons CA, CB sont égaux.

De plus, l'intersection E de DF el de AEB est le milieu de cet arc, car de l'égalité des cordes AE, BE, résulte celle de leurs arcs (22).

Ainsi, passer par le centre , être perpendiculaire au milieu d'une corde et couper l'arc au milieu, sont, pour une droite, trois choses qui peuvent avoir lieu à la fois; de sorte que si l'existence de deux quelconques de ces choses est reconnue , la troisième est vraie anssi.

100. Partager un arc AB en deux parties égales (P. 1, F. 50). Il suffît d'exécuter l'opération du n° o9, c'esl-h-dire que, sans

tracer la corde, vous décrirez, des extrémités A, B, deux petits arcs qui se coupent au-delà de AB, en un point F, et deux autres petits arcs qui se coupent en-deçà de AB, en un point D. Joignant C à D, vous aurez le milieu de l'arc AB, au point E où le coupera la droite CD perpendiculaire au milieu de la corde i99).

101. Partager un arc AB en un nombre de parties égales marijué par une puissarue de 2 (P. 1, F. 50).

Divise/. AB en deux pallies égales (10(")) ; el opérez de la même manière sur chaque moitié, puis sur chaque quart, puis sur chaipic huitième, etc., jusqu'à ce que vous ayez des fractions dont le

nombre donné forme le dénominateur. Si, par exemple, ce nombre est 32, l'opéraiion ne sera terminée qu'an moment où vous aurez partagé chaque seizième en deux parties égales, et alors chaque partie formera '/sa de l'arc.