Trouver le centre d'un cercle tracé

Marquez deux points A, !> sur la circonférence (P. 1 , F. 51 ) , et tracez la perpendiculaire CD au milieu de la corde AB; prenez un troisième point E, et tracez la perpendiculaire FG au milieu de la corde BE. Le centre commun des deux arcs, ou celui du cercle, sera Tintersection II des deux droites, car (99) le centre de AB est sur CD, et celui de BE est sur FG.

Pour rendre la position du point U plus facile à marquer exactement, il convient de choisir les trois points A, B, E, de manière que CD, FG soient h peu près d'équerre. On y parvient en prenant E de façon que la corde BE paraisse d'équerre sur la corde AB, ou que ABE forme une demi-circonférence environ (48 et 75).

105. Faire panser une circonférence par trois points A, B, E, disposés en ligne brisée (P. I , F. 51 ).

Bien quelecercle ne soitpas tracé, évidemment son centre II doit être donné par les opérations du numéro précédent. L'ayant trouvé , vous prendrez, pour rayon, la distance Ail ou BlI, ou Eli. Ces trois distances sont égales, car II, étant un point de la perpendiculaire au milieu de la corde AB, est également éloigné de A et de B; appartenant à la perpendiculaire au milieu de la corde BE, il est également éloigné de B et de E.

104. La droite qui divise un angle en deux parties égales, se nomme bissectrice.

La bissectrice d'un angle ABC est la perpendiculaire au milieu de la corde de rare d'indication AG (P. I , F. 52).

En effet , cette perpendiculaire DE divise l'arc en deux parties égales et passe par le centre (99). Or ce centre est le sommet B (55) ; doncDF, ouDB, partage l'angle ABC en deux angles ABD, CBD, dont les arcs d'indication AE, CE ont même longueur et même rayon; ces angles sont, par conséquent, égaux (5G), et BD est bissectrice.

105. Diviser en deux parties égales un angle ABC (P. I, F. 52). Du sommet lî, vous décrirez, avec un rayon arbitraire, un arc

AC, ou vous en marquerez seulement les deux extrémités A, C; puis, vous décriiez de ces points deux arcs de même rayon, qui se coupent en un point D, situé en-deça de AC, s'il est possible, et vous joindrez D à B, pour avoir la bisseclrice de AlîC.

cx)Mi>AnAison des droitks. 45

106. La bissectrice est le lieu de tout point également éloigné des deux côtés (le lawjle.

Ainsi, les p<'r|K'iidicuIairos FG , 1 H, abaiss(''cs d'un poinl quelconque F (lo la bissectrice lll), sur les côtés de l'angle, sont de m^me Ioiit,'iiour. On le dc-monlre m rabattant l'angle AIU) sur son rga! (IIM). I.r |)uiiil V (If la cliamièic IU> ne bouge point, liA s'applique sur IIC, F(i deviiMit perpendiculaire à cette dernière droite et couvre exactement Fil.

MYt . Des droites AB, AC, AD (P. I, F. 53), qui se rencontront ou se coupent au un}me point \, sont nommées concourantes, pour abr(''g«r.

Si des parallèles FF, GH, BD, divisent une concourante AB en jKirties égales , elles divisent toutes les autres AC, AD, de la même manière.

Je dis, par exemple, que de BG = GF, résulte DI1=IIF. En effet, les angles correspondants B, G sont égaux (7t), et par conséquent, les perpendiculaires GI , KK sont égales (95). Mais GI= IIL, VM= FM, si IIL et FM sont aussi d'équcrre sur les parallèles (Go). Donc IIL= FM, et à cause de l'égalité des angles correspondants D, II, les obliques DU, HF sont de même longueur.

108. D)rsque des droites EF, GII, BD (P. T, F. 53) divisent des concourantes AB , AD chacune en parties égales , elles sont parallèles.

Supposons que EF, GH ne soient pas parallèles h BD. Nous pourrons mener, par E cl par G, des droites EP, GQ , qui le seront, et il en résultera AP = PQ = QD. Mais en réalité AF= FH = IID. La partie AP, plus petite que AF, égalerait donc la partie QD , plus grande que IID ou AF , ce qui serait absurde.

Si Q se trouvait en ()', au lieu d'être entre F et H, on aurait AP = PQ'=(/D, et AP, partie plus petite que AF, vaudrait PQ', partie plus grande que Fil ou AF , ce qui serait absurde aussi.

Il est donc impossible de mener par E et G des parallèles h BD qui soient autres que EF , GH.

109. Diviser en parties égales une droite AB donnée sur le papier ou sur le terrain (P. I, F. 5i).

a Supposons qu'on veuille trois parties.

Trace/,, par une des extrémit(''s, la droite quelconque AC, et porte/, dessus la longueur arbitiairc AG , une fois de plus (pie .\B ne doit avoir de parties, c'est-à-dire i fois, dans le cas actuel. Joigne/les extrémités C, B, et prenez sur le prolongement de CB, Bll = BC. La droite IH, tirée du 2" point (le(l=\ision de CA,

46 COMPARAfSON DES DROITES.

h partir de C, coupera AB de manière que BL en sera le tiers, et si vous portez BL de L en K, les parties BL, LR, KA de AB seront égales.

En effet, si Ton joint B au 1" point de division de CA, les droites BE, III seront parallèles, puisqu'elles diviseront en parties égales les concourantes IIC , IC, et si, par G, 5* point de division deCA, on lire GK , parallèle à III, les parallèles BE, Ll, KG qui diviseront la concourante EA en trois parties égales, diviseront la concourante BA de la même manière. Donc, BL est bien le tiers de BA.

Afin de pouvoir marquer le point L très-exactement, il faut faire en sorte que ill soit peu oblique sur AB. 11 en sera ainsi , quand on prendra la longueur arbitraire AG assez ga'ande pour que AE surpasse un peu AB.

110. Des parties de parallèles AB , CD (P. I , F. 55 ) , comprises entre des parallèles AG , BD, sont égales.

Cela esi vrai pour les perpendiculaires AE, CE, puisqu'elles sont parallèles (73) , et qu'elles mesurent les distances des points A , C à la droite BD (65). Mais les angles correspondants ABF, CDF sont égaux (71). Conséquemment, les obliques AB , CD ont même longueur (95).

ill. Des droites AB , CD qui comprennent entre elles des parties égales de parallèles AG, BD, soîit parallèles et égales (P. I , F. 55).

Si CD n'était pas parallèle h AB , la droite DG, par exemple, le serait, et (110) l'on aurait BD = AG. Or, en réalité, BD = AC. Il faudrait donc avoir aussi AG=:AC, ce qui sera impossible, tant que G ne tombera pas sur C, ou tant que DG ne se confondra point avec DC.

112. Des concourantes sont divisées de la même manière par des parallèles.

Cela signifie que le rapport de deux parties quelconques de l'une égale le rapport des deux parties correspondantes de l'autre. Si, par exemple, GB est contenue 2 fois dans AG (P. 1 , F. 55), la partie IID sera contenue 2 lois aussi dans AH ; si AG = */; AB, on aura AII= */:. -^'^•

Par le point E, milieu de AG , menons EF parallèlement h GII, BD. La concourante AD sera divisée on trois parties égales, comme AB (107). Donc A1I = 2I1D, comme AG=2GB, et AH = V, AD, comme AG = 7, AB.

115. Des droites qui divisent de la même manière des concourantes, sont parallèles.

^Sup|»osons qu'on ait AE:EB:: AF:FD (P. I, F. 53), et quo EF

fOMPARAISON DES DROITES. 47

ne soit pas parallèle ii BD. Une droite EP le sera , ce qui donnera (Hi>) AK : 1:H :: AP : PI). Ainsi , nous aurions AF : FI) :: AP : PD. Or AP est moindre que AF, et VI) surpasse Fh. Fo socond rapport est donc plus grand que le premier; la parallèle FP ne peut être dillérente de FF sans qu'il en résulte une proportion fausse, et par suKe EF est réellement parallèle à BD.

ni. I^s parallèles comprimes entre concourantes se contiennent comme les distances du concours à leurs extrémités correspondantes.

Ainsi (P. I, F. 53), BC : GN :: AB : AG ou :: AC : AN. En eiïel, menons GO parallèlement à AC, Nous aurons (112) BC:OC:: An:A(;. Or (HO), OC = GN.

1) ailleurs (llii), AB:AG :: AC:AN, et par conséquent, on a aussi BC:GN::AC:AN.

113. Si deux droites, comprises entre des concourantes, se contiennent comme les distances du concours à leurs extrémités correspondantes , ces droites sont parallèles.

Supposons qu'on ait (P. I, F. 53) BC:GN :: ABrAGet ::AC:AN. Il en résulte AB:AG :: AC: AN. Les droites BC , GN divisent donc les concourantes AB , AC de la même manière, et leur parallélisme s'ensuit (113).

116. Des parallèles sont divisées de la même manière par des concourantes.

C'est-à-dire que (P. I, F. 53) BC:CD :: GN:Nn.

En effet, BC:GN::AC:AN (114) et CD:NH :: AC:AN. Donc, Ix cause du rapport commun AC:AN, BCiGN :: CD:NII ou bien BC.CD:: GN :Nn.

117. Trouver la quatrième proportionnelle de trois droites données X, Y, Z(P. I, F. 55;.

Cela signifie que X doit être le premier terme d'une proportion dont Y, Z forment les moyens , et la droite demandée , le quatrième terme.

Tracez deux concourantes; portez sur l'une la droite X, de A en E, et la droite Y, de E en B; portez sur l'autre la droite Z, de A en F, et par le point B, menez une parallèle BD à EF. La partie de concourante FD sera la quatrième proportionnelle cherchée, car AE : EB :: AF : FD (112) , ou X : Y :: Z : FD.

118. Trouver la troisième proportionnelle de deux droites données X, Z (P. 1, F. 53).

Cela signifie que X doit être le premier terme d'une proportion dont Z forme les moyens, et la droite demandée, le quatrième terme.

Tracez deux concourantes; portez sur l'une la droite X, de A

en E, et la droite Z, de E en G; portez encore la droite Z sur l'autre concourante, de A en F, et par le point G, menez une parallèle GII à EF. La partie de concourante FH sera la troisième proportionnelle cherchée, car AE : EG :: AF : Fil (112), ou X : Z :; Z : FH.

119. C'est sur les relations des concourantes et des parallèles qu'est fondée la construction de Vangle de réduction et celle de V échelle des parties.

L'angle de réduction sert à copier en petit un tracé , un dessin exécuté en grand; il fait éviter des mesurages et des calculs fort longs.

Construire un angle de réduction linéaire au tiers ^ par exemple.

Cela veut dire qu'il s'agit de donner, pour longueur, aux lignes de la copie , le tiers seulement des lignes correspondantes du modèle.

Tirez une droite AB (P. I, F. 56); portez-y trois fois une longueur quelconque, de A en C; décrivez du même point A et avec AC pour rayon, un arc CD dont la corde soit sensiblement plus grande qu'une des trois parties de AG; de C, avec une de ces parties, décrivez un second arc qui coupe le premier, et joignez l'intersection E au point A.

Il est tout aussi facile de se servir de l'angle de réduction BAE , que de le construire. Pour réduire au tiers, la droite FG, par exemple , vous la porterez de A en G', et de la même ouverture de compas , vous marquerez un point G" sur AE ; la distance G' G" sera le tiers de FG.

En effet, la droite qui joindrait G' et G", serait parallèle h la corde CE, puisque AG contient AG' comme AE contient AG"(115), et par suite, cette droite G'G" est le tiers de AG', comme CE est le tiers de AG (114).

11 est visible que pour construire un angle de réduction linéaire au quart, au cinquième, il faudrait porter quatre , cinq parties égales sur AB.

120. Une échelle est une droite divisée qu'on place sur le papier, pour construire, en petit, un tracé dont les lignes ont été mesurées. Chacune des parties égales de réclicllc répond à l'unité de mesure ou à un certain nombre de ces unilés. Si , par exemple, les parties sont des centimètres réels, chacun de ces centimètres représenlera ïoil un mètre réel, soit 10 mèires, etc. Pour faire alors sur le dessin , une droite qui, sur le terrain , aurait. 'JO mètres, on prendrait, dans le premier cas, '>0 parties ou cenliinèlres de réclielle, et le tracé serait a*( ce;W/c'»ir, puis(iuun centimètre est le centième d'un nièire; dans le second cas, on prendrait seule-

COXPARAISOII I>LS OI-.OITES. 49

ment 5 parties lio l'échcilc, et le tracé soruii au inUUème, parce que un centimètre est le iiiiilièiiic de 10 mètres.

Mais, outre ses parties princi|)ales, une échelle (luit en présenter encore d'autres qui donnent les dixièmes, et quelquefois les centièmes de son unité, ou qui permettent de réduire exactement et aisément les dixièmes, les centièmes de l'unité de mesure. Si cette unité est le nièlre , il faut que l'éclielle donne réduits les décimètres, les centimètres; et souvent la longueur qui représente le mètre , n'est pas assez grande pour qu'on y marque distinctement et avec exactitude, même les parties représentatives des décimètres. C'est ce (pii arrive iiolammeiit lorsqu'on adopte le millimètre pour mètre, ou que le dessin doit être au millième. Dans un tel cas, il faut construire sur le millimètre, ce qu'on appelle l'échelle des parties, au moyen de laquelle peuvent se prendre exactement et facilement les décimètres réduits, et approximativement les centiujètres.

Construire l'échelle des dixièmes.

Soit ABIa partie de récliolle qui rej^résente le mètre (P. II, F. 1). Par les points A, 15, vous tracerez deux parallèles : on les fait ordinairement perpendiculaires à AB. Sur chacune, vous porterez 10 fois une longueur arbitraire, aussi grande que le permettra la place destinée à l'échelle; vous numéroterez les points de division , en partant de AB; vous joindrez, par des droites, les points de même numéro, et enfin vous tirerez une droite de A au point iO' de B.IO'.

Les droites AB, I.l', 2.2', 5.5', etc., sont parallèles et égales, puisqu'elles renferment entre elles des parties égales de parallèles (111). Par conséquent (114), IC est le dixième de 10.10' ou de AB, comme Al est le dixième de A. 10; 21) vaut deux dixièmes de 10.10* ou de AB, comme A2 vaut deux dixièmes do A. 10; 9E vaut neuf dixièmes de AB, comme A9 vaut neuf dixièmes de A. 10. De même, à partir des numéros de B.IO', l'C = ^, 2'D = ^, 9'E = ~. Vous concevez que, pour pouvoir prendre ces dixièmes avec exactitude, il faut rendre A. 10' le moins oblique qu'il est possible sur les parallèles 1.1', 2.2', etc., ou faire A. 10, B.IO' aussi longues qu'on le peut; car le \ériiable point d'intersection de deux droites se distingue d'autant plus aisément , que ces droites sont plus près d'être d'équerrc.

121. Ordinairement, l'échelle d'un dessin, d un plan, a deux parties: les divisions de l'une donnent les unités réduites, par groupes de o, de 10, etc. ; les divisions de l'autre donnent chacune une .seule unité. Les premières sont numérolf-osO, 5, 10, etc.» OH 0» 10, 20, etc., de gauche h droite; les dernières sont nuiné-

50 COMPARAISÛIV DES DROITES.

rotées 0, 1,2, 5, etc., de droite à gauche, et à chacune de cellesci est adaptée une échelle des dixièmes, comme le représente la ligure 2 (P. II). De plus, les dix parallèles communes à ces échelles des parties, sont continuées jusqu'au bout de l'échelle principale et arrêtées h une droite 10.10, par exemple, menée par l'extrémité 10, parallèlement aux obliques 5.5, 4.4, etc. Une parallèle aux mêmes obliques est aussi tirée par tous les autres points de divisions 0, 5, etc., de l'échelle principale, et chaque oblique reçoit à son extrémité inférieure, le même numéro qu'à son extrémité supérieure. Les parallèles h l'échelle principale sont aussi numérotées de la même manière aux deux bouts.

C'est des obliques et des parallèles à l'échelle principale qu'on se sert le plus souvent. Voulez-vous, par exemple, prendre une longueur réduite de 11", 45/ Comme elle renferme 4 dixièmes de mètre, vous posez l'une des pointes du compas à l'extrémité de droite de la parallèle 4.4, et l'autre à l'intersection de ceKe parallèle et de la perpendiculaire 1.2; vous avez alors exactement 11 '",4; car il y a 10° du point 4 de droite au point A, comme de 10 à 0 sur l'échelle principale; il y a 1" de A h B et 4 décimètres de B à C. Pour avoir les 5 centimètres, vous augmenterez un peu l'ouverture de compas , de manière à prendre à gauche deC, la moitié de ID, attendu que 5 centimètres forment la moitié de 1 décimètre. Cette moitié de ID s'estime h vue.

Supposons encore que vous ayez à faire , sur le dessin , une droite qui ait en réalité 7°, 80. Vous chercherez, sur la dernière oblique, marquée ici 10.10, le n" 8 qui est égal au nombre des décimètres; vous poserez l'une des pointes du compas à l'intersection de la parallèle 8.8 et de l'oblique qui est numérotée 5 sur l'échelle principale, parce qu'il n'y a qu'une fois 5 dans 7; vous placerez l'autre pointe à l'intersection de la même parallèle et de la perpendiculaire qui est numérotée 2 sur l'échelle principale , attendu que 5 et 2 font 7, et vous aurez une ouverture de 7"°, 80. Ainsi , les décimètres de la longueur h prendre indiquent la parallèle; les mèiros, comptés sur l'échelle principale, indiquent l'oblique d'où il faut partir et la perpendiculaire à laquelle on doit s'arrêter.

122. Les cordes concourantes d'un cercle se coupent en parties réciproquement proportionnelles.

Le mot réciproquement indique que les deux parties d'une corde forment les extrêmes de la proportion, et les deux parties de l'autre . les movens. Les cordes AB, CD, par exemple (P. II, F. 3), donnent AE : DE :: CE : BE.

Rabattons la figure AEC sur DEB, de manière que EA prenne la position E.V. C^onirae l'angle A = D (-i7), .\C prendra la direc

COMPARAISON DBS DRUITBS. S\

lion k'C, parallèle h DB. Comme les deux angles E sont égaux (40), EC se dirigera selon EB, et C tombera en C. Alors nous aurons (H 2) A'K: DE :: C'ElBK. Or, Ai': = AE, C'E=CE; par conséquent, AE : DE :: CE : BE.

123. Toute demi-corde est moyenne proiwrtionneUe entre les deux parties du diamètre qu'elle rencontre d'èquerre.

Le mot moyenne signifie que la demi-corde CF (P. Il, F. 3) forme les moyens d'une proportion dont les extrêmes sont les parties AF, FC du diamètre AG, perpendiculaire sur CF.

Puis(|u'un dianu'ire est une corde, AF : CF :: FD : FG (122). Mais CF = FD (09). Donc, AF : CF :: CF : FG.

124. Trouver la moyenne proportionnelle de deux droites données a, 6 (P. II, F. 3).

Tirez une droite indélinie ; portez-y a de G en F, et 6 de F en A; cherchez le milieu H de AG; décrivez de H, avec le rayon AH, une demi-circonférence ABG ; élevez en F une perpendiculaire FE sur le diamètre AG , et prolongez-la jusqu'à la courbe. La demi-corde FC sera la moyenne demandée, car (123), AF : CF :: CF : FG, et par suite, 6 : CF :: CF : a.

125. On appelle sécante une droite qui, partie d'un point situé hors du cercle , coupe deux fois la circonférence. La sécante n'est donc qu'une corde prolongée.

Deux sécantes concourantes sont divisées par la circonférence en parties réciproquement proportionnelles.

C'est-à-dire que les deux parties AB, AC de l'une (P. II , F. 4), prises depuis le concours A , forment les extrêmes d'une proportion dont les deux parties AD, AE de l'autre forment les moyens ; de sorte que AB : AD :: AE : AC.

Tirons les cordes BE , CD, et renversons la figure ACD, pour la placer sur ABE, de manière que AC ait la position AC CD prendra la direction CD', parallèle à BE, parce que les angles inscrits C, E sont égaux (47). AD s'appliquera sur AB, puisque l'angle A est comnum aux deux figures, et D' sera la nouvelle position de I). Or alors (112), AB : AD' :: AE : AC, et puisque AD' = AD, que AC = AC , on a elTeciivement AB : AD :: AE : AC,

126. Im tamjcnte est moyenne proportionnelle entre les deux parties d'une sécante tirée du même point.

Ce qu'on entend ici par la tangente est la dislance FA du contact F (P. 11^ F. 4) au point A où elle concourt avec la sécante AC. Ainsi, AB : AF :: AF : AC.

En efl'et , les sécantes AC , AE donnent (123) AB: AD :: AE: AC. Ecartons la seconde de la première, en la laisaiit pivoter sur le.

52 MESURACC DES DDOITES.

concours A. Les inierscctious D, E se rapprocheront, AD augnienlera el AE diminuera; mais la proportion aura toujours lieu. Elle existera donc encore, quand les points D, E seront infiniment près l'un de l'autre. Or alors, l'arc DFE ne sera plus qu'un simple élément F de la circonlerence; la sécante AE se confondra avec la tangente AF, cl AD, AE vaudront chacun AF, Par conséquent, la proportion deviendra celle-ci : AB : AF :: AF : AC.

127. Une droite AG (P. l, F. Ai) est (\\ie partagée en moyenne et extrême raison au point H, quand la plus grande partie AH se trouve moyenne proportionnelle entre la droite entière AG el la plus petite partie GH , c'est-à-dire quand AG : AH :: AH : GH.

Diviser une droite AG en moyenne el extrême raison.

Elevez une perpendiculaire GB h l'une des extrémités; faitesla égale à la moitié de AG ; décrivez de B, avec BG, une circonférence ; lirez la sécante AB ; rapportez sa partie extérieure AR sur AG, de A en H; le point H sera le point de division cherché.

En effet, AB, prolongée jusqu'en T, donne: AI^AG :: AG: AK, pu Al — AG : AG :: AG— AK : AR. Mais RI , double de BR, vaut AG, et par suite Al — AG = Al — RI=. AR= AH; AG— AR = AG — AH = GH. Donc, AH : AG :: GH : AH. Mettant les extrêmes h la place des moyens, on a enfin AG : AH :: AH : GH.

128. Chacun sait mesurer grossièrement une ligne droite, quand la mesure peut y être appliquée d'un bout h l'autre; mais peu de personnes se font une juste idée de la difficulté qu'on éprouve pour mesurer une droite très-exactement. Cette difficulté est telle que rarement on obtient la même longueur, en recommençant l'opération. Aussi , dans tous les cas où une grande exactitude est nécessaire, faut-il ne s'en tenir ni au premier, ni au second niesurage: on doit mesurer trois, quatre cl nu'me cinq fois , avec toute la précision possible, additionner toutes les longueurs trouvées et diviser leur somme par leur nombre. Le quotient donne une longueur moyenne souvent moins inexacte (iii'aucune des autres, h cause d'une espèce de compensation qu'a opérée le calcul, entre les erreurs eu plus et les erreurs en moins.

Supposez que la vraie longueur d'une droite soit 4™,3.')8 elquc vous l'ayez trouvée de 4'",oo9 par un premier mcsurage, de 4™, 557 par un deuxième, de 4'",Ô585 par un troisième. La somme de ces 5 longueurs est 4 5°' ,07-15. Divisant par 3, vous obtenez 4™, 3581 pour longueur moyenne, et vous n'avez plus qu'un seul jdixième de niillinièire d'erreur ; tandis que l'erreur serait d'un

MtSLKACE UKS 1>KU1TES. 53

oiillimèlre ou d'un deiui-niiliimèd'e eu plus, si tous vous en teniez ;iu premier ou au Iroisiùine nicsurage, et d'un niilliraètre eu luoiiis , si vous adoptiez le second.

A lu vtTilé, t(jules les erreurs ]>ourraieut être en plus: vous auriez pu trouver, par exemple» ^"'.ôol) la 1" fois, 4"',5o86 la 2* fois, 4°, 5585 la 3* fois, et dans ce cas, la longueur moyenne 4",3.')87 serait plus inexacte que les deux dernières; mais elle le serait moins que la proniicre; et dans l'ignorance où vous êtes de la vraie longueur diino dioile cpie vous mosurez, il est possible que vous regardiez comme le meilleur, le mesurage le plus mauvais. Mieux vaut certainement s'exposer h faire une erreur de quelque peu sup^'-ricure aux jjIus faibles, que de risquer d'eu commettre une égale à la plus forte. Ainsi, lors même que toutes les erreurs sont en plus, c'est encore un parti sage que de prendre la moyenne des longueurs trouvées, et cette conclusion est évidemment applicable au cas où toutes les erreurs sont en moins.

Pour éviter de faire des marques, toujours causes d'inexactitude, il convient d'enq^loyer deux mesures rigoureusement égales, quand il s'agit de déterminer, avec une giande précision , la longueur d'une ligne droite. On les pose bout à bout, en évitant de les heurter l'une contre l'autre et de laisser le moindre intervalle cntr'e elles. Si l'unité, le mètre par exemple, n'est pas contenu un nombr-e exact de fois dans la longueur, on luesure la partie restante avec le décimètre, le centimètre et ruème le millimètre.

129. Il y a plusieurs cas ^ considérer, dans le mesurage des droites sur lesquelles la mesure ne peut êtr-e appliquée : ces droites sont horizontales ou verticales ou inclinées, et dans chacune de ces positions, une au moins de leurs extrémités a des abords qui permettent d'y opérer, ou bien ni l'une ni l'auti-e n'en laisse la facilité.

Mesurer la longueur horizontale d'une rampe AB (P. Il, F. o).

Trois per-sonnes sont nécessaires pour cette opération : deux placent et mainiiennenl la mesure, le quailruplc mètre par exemple; la 3' manie le niveau de maçon (94).

Plantez un jalon en A et un autre en B; posez une des extréniilf's de la n'.esure en A , et dirigez cette mesure dans l'alignement A15; puis haussez ou baissez l'autre extrémité, jusqu'à ce que le rriveau montre que le quadru|)le mètre est horizontal. Appliquez alors h celle extrémité un lil-à-plomb, el marquez sur le terrain le point C qu'il indique. Knsuite, placez en C le bout de la mesur-e (|ui était en A, dirigez cette nresure dans l'alignement (Ai, haussez ou baissez l'autre bout, jusqu'à ce que h.

54 MKSURAOK DBS DROITES.

niveau montre que le quadruple mètre est horiïontal ; appliquer, le fil-h-plomb à ce même bout, et continuez toujours ainsi jusqu'en B.

Lorsque le terrain est accidenté, il est possible qu'un des points donnés par le fil-ii-plomb , se trouve dans un creux, comme en D. 11 faut alors planter un jalon au point D, le rendre vertical au moyen du fil-h-plomb, et appliquer un des bouts de la mesure contre ce jalon , afin de pouvoir la placer horizontalement audessus de la saillie E.

Il est visible que le nombre de fois qu'on pourra porter ainsi la mesure sur la rampe, donnera la vraie longueur de la droits horizontale AB' ou BA'.

Si l'on n'a pas besoin d'une grande exactitude, on peut se contenter du coup d'œil, pour placer la mesure horizonlalement, et remplacer le fil-à-plomb par un petit cailloux, qu'on laisse tomber de rextrémité d'où doit partir une verticale. Ceux qui mesurent avec la chaîne d'arpenteur, agissent ainsi ; seulement , au lieu de laisser tomber une pierre, ils laissent tomber une fiche qu'ils plantent ensuite. Auparavant, la chaîne doit être fortement tendue, afin que l'erreur qui résulte de la courbure causée par le poids, soit très-petite.

Ce sont ces moyens qu'il faut employer, pour mesurer toutes les distances horizontales qu'on peut parcourir, quand le terrain est raboteux ou en pente.

150. Mesurer la dislance horizontale de deux points k,B, séparés par une rivière (P. Il, F. 6).

Faites planter verticalement un jalon C et un jalon D sur deux alignements parallèles (78), tirés de A et d'un point E pris sur le prolongement de AB; mettez-en un troisième F, h l'intersection des alignements BG, DE; mesurez AC, AE, EF; puis

ACXAE faites les calculs qu'indique la formule AB := .