îesurir la hauteur AR d'une montagne (P. II, F. IG

La hauteur d'une montaj^ne est celle de la verticale AB qui part du sommet A et vient rencontrer le terrain de la plaine au point B d(>nt on ne peut approcher. Pour la déterminer, il faut, comme dans le cas précédent, aligner deux jalons CD, EF sur le sommet A, et diviseï- par la distance horizontale CE, l'excès de la hauteur verticale EII sur le petit jalon, alin d'avoir la pente de DII et de I)A. Après cela, on mesure l'horizontale CB ou l'hori/ontale AK. Vous emploierez à cet effet le procédé du n° 159 , en vous alignant sur le sommet A; il est plus court que celui du ji° 12!) , et d'ailleurs, si la montagne est fort escarpée , ce dernier est impraticable. Enfin , le produit de la pente multipliée par la distance CB, fait connaître l'élévation de A au-dessus de l'horizontale DI, et pour avoir AB , il ne s'agit plus que d'ajouter à AI, la longueur CD du petit jalon.

C'est ainsi qu'on peut mesurer la hauteur verticale de tout objet dont on ne saurait approcher, ou dans l'intérieur duquel il est impossible de pénétrer.

143. Mesurer la longueur d'une rampe AB, qu'on ne peut parcourir (P. H, F. 14).

Mesurez la distance horizontale BC (139) et la hauteur AG (142) ; tracez, sur un terrain uni, deux droites d'équerre, comme AC et BC; portez sur l'une de c en a, autant de centimètres ou de millimètres que CA contient de mètres, et sur l'autre, de c en 0, autant de centimètres ou de millimètres que CB contient de mètres. Tracez ensuite la droite ab, et mesurez- la en centimètres ou en milliiiit'lres; autant elle en contiendra, autant la droite inclinée AB contiendra de mètres.

Si, par exemple, AC = 40°, 30 et (jue BC = 182"°,o, vous prendrez ac de 0'",403(J ou à très-peu près de 403 millimètres et demi, centième partie de AC, et 6c de l^.SSu, centième partie de BC. .Mors aJj sera aussi la centième partie de AB, et comme vous trouverez (jue ab = l^jSGO, vous en conclurez que AB =: 180", 9 I fort peu près.

Mais, il est plus simple, et surtout plus exact, de calculer la longueur de Alî au moyen d'une extraction de racine quarréc. (Voyez la comparaison des triangles, article du triangle rectangle).

i44. De mêûie que les arêtes des corps sont droites ou courbes, leurs faces sont planes ou courbes.

Une face est plane ^ quand la règle peut y être appliquée, de toute sa longueur, dans tous les sens: le tableau noir, un plancher bien fait, le côté poli du dessus de marbre d'un meuble, sont des faces planes.

Une face est courbe , lorsque la règle ne peut s'y appliquer, de toute sa longueur, dans tous les sens : la \oiile d'une cave, celle d un pont, celle d'un four, sont des exemples de faces courbes: la règle ne peut toucher les deux premières sur toute sa longueur, que dans un seul sens; elle ne saurait, dans aucun sens, reposer par tous ses points sur la dernière.

L'ensemble des faces d'un corps constitue la surface de ce corps: la surface intérieure d'un four, par exemple, se compose de la face courbe qui forme la voûte et de la face plane sur laquelle on dépose les pains. La surface d'un tonneau comprend les faces planes des deux fonds et la face courbe qui les sépare.

Un corps qui n'a point d'arêtes, comme une boule, un œuf, un anneau rond , n'a qu'une seule face qui fait h elle seule la surface.

145. Nous avons étudié les arêtes ou lignes indépendamment des corps auxquels elles peuvent appartenir; nous agirons encore ainsi pour les faces planes.

Une face plane est toujours limitée, et elle l'est soit par des droites, soit par des arcs do cercle, soit par un cercle entier; mais de même qu'une ligne droite peut être prolongée par la pensée, autant qu'on veut, au-delà de ses extrémités, une face plane peut être conçue prolongée au-delh de ses limites. Considérée de la sorte, elle est illimitée et prend le nom de pfan. C'est ainsi qu'on la considère et qu'on la nomme toujours, en l'étudiant sous le rapport des dilférenlcs positions qu'elle peut avoir, afin de faire entendre que les propriétés qui lui sont reconnues et les procédés qui en dérivent, ne di'pendent nullement de la forme dos limites et sont applicables a toute face plane d'un corps quelconque.

Les moyens de la géométrie élémentaire ne permettent pas de représenter exactement, sur le tableau, ni sur le papier, les positions des plans: le maître doit donc se servir de planchettes

PLANS. Gl

OU de cartons. Pour nous, qui ne pouvons eu fuirc usage, nous on>[>Ioierons , aliii tle fixer les idées et de nous faire comprendre, des ligures puronn-nl conveniionnellos, dans les(iueilos chaque plan sera représenta par l'ensemble de quatre droites, ofTianideux parallèles coupées par deux autres, sous des angles aigus et obtus.

146. Utie droite qui a deux de ses points sur un plan^ y est tout entière.

On peut placer une règle de manière qu'une des arêtes passe par les deux points. Alors, cette arête s'applique dans toute sa longueur sur le plan (14i); mais elle se confond partout avec la droite (1); donc , cette droite est bien aussi tout entière sur le plan.

147. Trois points^ qui ne sont pas en ligne droite, sont nécessaires et suffisent pour dèîcrminer un plan.

Un plan peut pivoter sur un de ses points, ou sur une de ses droites, et prendre ainsi une infinité de positions différentes. Un point, ou une droite ne suflit donc nas pour fixer la position d'un plan. Mais, si l'on marque un point hors de la droite, la position dans laquelle le plan prendra ce point, sera évidemment distincte de toutes les autres.

148. l'n plan qui prend une droite et un point de la parallèle de cette droite , prend aussi tous les autres ; de sorte que deux parallèles déterminent un plan.

On peut mener sur le plan , par le point donné , une droite qui soit partout également écartée de celLe que prend déjà ce plan (6G). Si donc elle ne se confondait pas avec la paiallèle de cette dernière, deux droites qui passeraient par le même point, se trouveraient chacune partout également écartée d'une troisième (G5), et cela est évidemment im[>ossibIe.

149. L'intersection de deux plans MN, PQ est une droite AB (P. II, F. 17).

I/interseciion se composent de tous les points communs aux deux plans. Joignons en deux par une droite AB. Aucun autre n«! pourra se trouver hors de celte droite; car s'il y en avait un C, il formerait, avec les points A, P», un plan qui prendrait trois points, non en ligne droite, du plan M.N et du plan PQ ; ce plan devrait (147) se confondre avec chacun des deux plans donnés, et cette double confusion est évidemment inqiossible.

Voilà pounpioi les ouvriers ne s'occupent point de rendre droites, les arêtes qui doivent l'être dans un corps; il leur suflit de faire exactement planes, les faces (|ui se coupent .selon ces arêtes. C'est aussi pour la mémo raison que le pli d'une léuille

(le papier est une ligne droite , car les deux parties de cette ('(mille sont deux faces planes ou deux plans qui se rencontrent.

130. Quelle que soit la position d'un plan, une droite peut y être perpendiculaire ou oblique ou parallèle.

Une droite est perpendiculaire sur un plan , quand elle l'est h tontes les droites de ce plan qui aboutissent à son pied. Alors, elle ne penche ni dans un sens ni dans aucun autre; sur toutes les directions , elle forme l'cquerre avec le plan.

Il suffi l , pour qu'une droite AB (P. II, F. 18) se trouve perpendiculaire à un plan MN , qu'elle le soit à deux droites BC , BI) de ce pian qui aboutissent à son pied.

Si AB n'(3tail pas d'équerre sur MN, on pourrait faire passer par BD un autre plan auquel AB serait perpendiculaire. Ce second plan serait coupé par le plan ABC (li7), selon une droite telle que BE (1 iî)), sur laquelle AB serait d'équerre. Ainsi , dans le même plan ABC, deux droites CB, EB, aboutissant au niêrae point B, formeraient chacime un angle droit suf AB, et les angles ABC, ABE, seraient égaux, ce qui est impossible.

151. Planter une lige perpendicidairenient sur un plan MN, en u?i point donné B (P. Il, F. 18).

Disposez deux équerres ABC, ABD, de manière qu'une des petites arêtes de l'une se confonde avec une des petites arêtes de l'autre, sans que les deux instruments aient d'autres points communs; posez-les ensuite sur le plan, par les deux petites arêtes BC , BD, non accolées, de faf^on que l'intersection de ces deux droites soit en B, et placez la tige BA le long des arêtes qui se confondent (loO).

Il convient, pour plus d'exactitude, que l'angle CBD soit à peu près droit.

152. Deux droites AB, FG, perpenâiculaires à un mcme plan MN, sont parallèles (P. II, F. 18).

Ces deux droites se trouvent d'équerre sur la droite CBG qui joint leurs pieds (loO). Si donc le plan ACBG renferme aussi FG", celte ligne est eireciivement parallèle à Alî (75). Or, nous pouvons faire glisser, le long de BG, le système des deux équerres .\BC, ABD, de manière que ABÇ reste toujours dans le plan ACBG. La droite BD ne quittera point le plan MN, puisqu'en chaque point de BG il y a une perpendiculaire à ce plan, laquelle doit être d'é(pierre sur la nouvelle intersection de MN et de ABD. Ainsi, lorsqiK^ les deux équerres auront les positions A'GC, A'GD', leur arête commune , devenue A'G , sera perpendiculaire sur GC, G D', et se confondra n(!'cessairenient avec FG. Doue, celte dernière (boite est daiis le plan AGC ou .\CBG.

1.*»,). Toute droite FG parallèle à la perpcfuliculaire AB d'un plan MN (F*. Il, F. 1S( est aussi perpendicHlaire à ce plan.

Fn cffel, si FG n'élail pas (réqucno sur MN, on pourrait élever, par le pied G, une perjicndiculairc à ce plan, (jui serait parallèle à AH (l.>2). Au même point G passeraient donc doux droites qui partout se trouveraient chacune aussi dcartées de AP. qu'en G, et cela est (évidemment impossible.

l.'ii. Paiini toutes les positions (juo peut prendre un plan, il en est deux irès-remarquables : la position verticale et la position horizontale.

Vu plan est dit irr/iVa/, quand il contient une droite verticale (G3).

IlecannaUre si un plan est vertical.

PLicez-vous dans le prolongement du plan, et voyez si le fd-àplond), tenu dune main, peut cacher à l'u'il toute l'étendue de ce plan. Lorsqu'elle est cachée, le plan prolongé passe par la verticale du fd , et par conséquent, il est vertical.

Dans le cas où l'on ne saurait se placer dans le prolongement, il faut examiner si le fd-à-plomb, librement suspendu, peut s'appliquer, dans toute son étendue, sur le plan, ou plutôt s'il peut en être écarté, par les deux bouts, d'une quantité égale à la demi-épaisseur du plomb.

Vous reconnaîtrez aisément ainsi que la face intérieure d'un mur de maison forme un plan vertical. Il n'en est pas de même «le la face extérieure, à cause du léger talus ou fruit qu'y exige la solidité.

il'ù'i. Tout plan CGF perpendiculaire à une horizontale BD est vertical {V. II, F. 18).

L'horizontale BD, étant d'équcrre sur CGF, l'est aussi sur toutes les droites de ce pian qui aboutissent à sou pied B (150). Mais chacune de ces droites forme un plan avec la verticale BA élevée en B; celte verticale, perpendiculaire à BD (Gô) , doit donc se confondre avec une des droites de CGF; car, autrement, on aurait, dans un même plan ABD, deux perpendiculaires au même point B de BD, Ainsi, le plan CGF contient une verticale.

15G. Toute droite BD perpendiculaire à un plan vertical CGF est horizontale (P. Il, F. 18):

File est effeclivenicnt d'équerrc sur la verticale <ie son pied B, pui.sque cette verticale BA est dans le plan CGF (ioO et Gô).

Mais la réciproque n'est pas vraie: toute horizontale' ne se trouve pas perpendiculaire au plan Ncrtical qu'elle rencontre; car du point B peuvent partir une foule d'hori^.onlales, cl BD, d'équcrre sur BG , sera la seule qui se trouvera perpendiculaire au plan CGF.

157. Un plan est dit horizontal ^ ou de niveau, quand il se trouve perpendiculaire à une verticale.

On ne peut faire passer par un point donné quun seul plan horizontal.

En effet, une seule verticale passe par le point donné, et un seul plan, contenant ce point, peut être perpendiculaire h cette verticale.

458. Les verticales peu écartées sont perpendiculaires au même plan horizontal.

Une d'elles l'est nécessairement (157) , et il en est de même des autres, si elles sont parallèles à la première (153). Or, bien que toutes les directions de fils-à-plomb Suspendus en différents points, aillent concourir au centre de la Terre, on peut, à cause des 1500 lieues qui nous séparent de ce centre, considérer comme parallèles des verticales écartées seulement de quelques mètres el peu longues; car il n'y a pas de différence appréciable entre la distance de deux de ces droites, mesurée vers leurs extrémités supérieures, et leur dislance mesurée vers les extrémités inférieures, situées près de la surface de la Terre.

159. Toute droite BG tracée sur un plan horizontal MN est horizontale (P. Il, F. 18).

Elevons au point G une perpendiculaire sur le plan MN \ elle sera verticale (158) et perpendiculaire à BG (150). Donc, BG est une droite de niveau (65).