Reconnaître si un plan est horizontal
Placez-y un niveau à bulle d'air, ou un niveau de maçon, sur deux directions différentes, mais h peu près d'équcrre , pour plus d'exariiiiidc. Si ces deux droites du plan sont horizontales, la verticale qui passe parleur inlerseclion leur est perpendiculaire (65); par conséquent, celle verticale est déquerre sur le plan (150) et ce dernier est horizontal (157).
On peut s'assuier ainsi qu'un plancher bien fait, un tapis de billard et la surface d'une eau tranquille sont des plans horizontaux.
161. La perpendiculaire AB d'un p/an MN (P. II, F. 18) est plus courte que toute oblique AC tirée du ménie point jusqu'à ce plan.
Concevons le plan ABC qui coupe le plan MN selon BC. La droite AB sera perpendiculaire sur BC (1 50), et AG sera oblique sur la même droite (60). Donc (61), AB est plus couric que AC.
162. La distance d'un point à un plan est la longueur de la jwrpendiculaire abaissée de ce point sur le plan.
Cette longueur est en effet la plus courte de toutes les distances du point donné aux différents points du plan (160el (>2).
PLAMS. C5
163. Il y a égalité entre toutes les obliques également écartées de fa peri)endiculaire d'un plan et menées du même point.
Ed effet, la porpoiidiculaire AB (P. II, F. 18) est commune h toutes les éniirrrcs AIK^, ABD , etc., qu'elle forme avec les obliiiuos \C , AD, ne. Donc, si BC:=BD, on doit avoir ^93) AC = AD.
IGi. Planter d'équerre, sur un plan, une tige qui contienne un point donné hors de ce plan.
On |)cul employer le proci'dé du n" loi, si les instruments sont assez grands pour que leur aréie commune passe par le point donné A (F. II, F. 18).
Dans le cas contraire, appliquez le bout d'une ficelle en A (F. 19); lendez-Ia, pour marquer sur le plan MX, avec l'autre bout, trois points C, D, K; cherchez le centre B de la circonférence qui passerait par ces trois points (105), et plantez la tige en B, de manière qu'elle prenne le point A.
La tige AB sera effectivement d'équerre sur MN, si la ficelle a loujoui-s été tendue de la même manière; car les obliques AC , AD, AE se trouveront égales et également écartées du pied de AB (163).
165. Lorsqu'on parle de l'angle compris entre une oblique et un plan , il s'agit toujours du plus jietit des angles que forme celle oblique avec les diverses lignes du plan qui aboutissent à son pied.
L'angle d'une oblique AB et d'un plan MN (P. II, F. 20) est celui qu'elle furnie avec la droite BC tirée de son pied au pied de la perpendiculaire AC, abaissée d'un de ses points sur le plan.
Cela est vrai, si l'angle ABC est moindre que tout angle ABD compris entre l'oblique et une autre droite BD du plan. Prenons BD = BC; lirons l'oblique AD; décrivons de B, avec BC et sur le plan ABC, une circonférence; puis rabattons la figure ABD sur la figure ABC , en la faisant tourner sur l'oblique AB. Le point D devra tomber sur la circonférence; mais il ne pourra se placer sur C , puisque AD surpasse AC (lGl),ni en aucun point E situé entre AB et le rayon BC , puisque la tangente AC est plus longue que toute partie extérieure AE de sécante (126). Ce point D prendra donc une position D', située à l'opposiie de A, par rapport à BC; BD aura la position BD', ei le rabattement de l'angle ABD sera ABD', angle plus grand que ABC.
166. Lever l'angle d'une oblique Xiiet d'un plan RIiN (P. Il, F. 20). Abaissez, d'un point quelconque A de l'oblique, une perpendiculaire AC sur le plan ; tirez une droite BC (|ui joigne le pied
de l'oblique à celui de la perpendiculaire; placez une arête extérieure de la fausse équerre (34) sur BC , et ouvrez l'instrument jusqu'h ce que l'autre arête extérieure s'applique sur AB.
167. Toute droite oblique sur un plan horizontal, est inclinée (63), et ordinairement c'est la pente d'une telle oblique (140) que l'on considère, au lieu de l'angle qu'elle forme avec le plan.
Placer une pièce de charpente selon une pente donnée.
Tracez, sur le terrain du chantier, deux droites d'équerre ac, hc (P. il, F. 14). Si la pente est de 68 centimètres par mètre, corimc doit être celle des chevrons d'un toit en tuiles plates, dans ce pays-ci, vous porterez un mètre de c en i et 68 centimètres de c en a, puis vous tirerez la droite ab qui sera la direction de la pièce de charpente. Mais , pour que cette direction fût très-exacte , il faudrait au lieu d'un mètre, porter 3 ou 4 mètres de c en 6 et 3 ou 4 fois 68 centimètres de c en a: la pente serait la même, les points a, 6 se trouveraient plus éloignés l'un de l'autre, et la petite erreur que vous pourriez commettre en plaçant une arête de la pièce sur ces deux points, altérerait beaucoup moins la vraie position.
Lorsque la pièce est établie selon ab, on taille ses bouts et leurs tenons convenablement, pour qu'elle puisse s'assembler avec une pièce horizontale et avec une pièce verticale que représentent cb, ca'., puis, quand ces deux dernières sont dans leurs véritables places, la première s'y adapte en prenant d'elle-même la pente assignée.
168. Une droite parallèle à un plan en est partout également écartée, et par conséquent, ne peut point le rencontier, quelque loin qu'oD les prolonge.
// suffit qu'une droite AB (P. Il, F. 21) soit parallèle à une droite Cl) d'un plan 3IN, pour qu'elle le soit aussi à ce plan.
Si AB n'était pas parallèle au plan MN , elle le percerait en un certain point E. Concevons un plan quelconque qui contienne la droite BAF et faisons-le tourner autour de cette ligne ; il prendra diverses positions, dans lesquelles il coupera MN, selon des droites FF, EC , EÎI, etc. (141)), car le point E, appartenant à ftIN et a chaque position de l'autre plan, doit faire partie de toutes les intersections. l\Iais une des positions prendrait nécessairement CI) (148). Cette droite serait donc une des intersections; elle devrait passer par E et rencontrer AB. Comme leur parallélisme s'y oppose, le point F ne peut exister, et AB est parallèle à MN.
169. Toute horizontale AB située hors d\in plan horizontal MN ftsi parallèle à ce plan (P. II, F. iil).
A^baissons, d'un point quelconque A de A B, une verticale qui
l'LANS. 67
j.oroe le plan MN on C. Le plan BAC coupera MN selon une liuii/onlale CD d.M)). Ainsi, les dioiies AB, CI), siiuécs dans le même plan BAC, seront d'équerre sur la veriicale AC (63). Par conséquent , l'iiorizonlale AB se trouvera parallèle à CD; elle l'est donc aussi au plan horizontal MN (lf)8i.
470. Toute verticale AB située hors d'un plan vertical MN est paruUèle à ce plan {V. II, F. 2:2).
Tra«.ons une verticale CD sur le plan MN (I5i) et tirons l'Iiorizontalo l'.D. Les droites AB, CD, perpendiculaires h BD (63), sont parallèles (75). Donc, la verticMlc AB est parallèle au plan vertical MN (168).
171. Tout plan MN parallèle à une verticale AB est vertical I». Il, F. t2i>).
Menons une horizontale BD, de manière que le plan ABD coupe MN. La verticale AB sera parallèle h l'intersection CD, car elle ne pourrait la rencontrer sans rencontrer le plan MN. Par conséquent, CD est verticale, comme AB (158); et le plan MN lest aussi (loi).
Voilà pourquoi il suffit d'avoir reconnu qu'un plan est également écarté des deux bouts du fil-à-plomb (io4), pour être sûr que ce plan est vertical.
172. Des droites parallèles \C , BD (P. II, F. 21), comprises entre un plan ^IN et sa parallèle AB sont égales.
Les deux parallèles AC, BD constituent un plan (148) qui contient AB. Ce plan coupe MN selon CD parallèle à AB, et AC, lil) sont des parallèles comprises entre parallèles (110).
Placer une barre parallèlement à un plan.
Tracez d'abord, sur le,plan , la direction que doit avoir la barre ; puis, si ce plan est vertical, planlez-y deux tiges perpendiculairement et sui- la dioite tracée; s'il est horizontal ou incliné , plantoz-y deux tiges verticales AC , BD (P. II, F. 21). Dans tous les cas, portez sur ces tiges, à partir du plan, deux longueurs égales. Parla vous déterminerez deux points A, B, et il vous restera à placer la bairc de façon qu'une de ses longues arêtes, ou une de ses lignes droites parallèles aux longues arêtes , passe par ces deux points.
La distance de la Larre au plan ou un point de sa position est quelqiK luis donné. Il faut alors planter les deux tiges perpendiculairement au plan, quel qu'il soit, et marquer sur ces tiges deux points qui se trouvent éloignés du plan autant que doit l'être la Itarre ou le point donné.
ffOMBINAISO.IS DES PLÀHS.
175. Deux plans verticaux qui se coupent^ ont une verticale pour intersection.
En efl'ct, le fil-à-plomb , appliqué à un des points communs, devant être à la fois dans chacun des plans (154), se dirigerait nécessairement selon la droite d'intersection (149).
Un jalon est donc rigoureusement vertical , lorsqu'il se trouve dans deux plans verticaux qui se coupent.
174. Placer un jalon ou une tige A verticalement (P. II, F. 23). Mettez-vous en un point quelconque B; suspendez d'une main
le fil-à-plomb devant votre œil droit; fermez l'œil gauche; et avec l'autre main , faites les signes nécessaires pour que l'aide amène la partie supérieure du jalon , dans le plan vertical qui contient Je pied de ce jalon et le fil. Prenez ensuite une autre position C, et faites la môme opération. Si l'aide a celte fois le soin de pousser h droite ou à gauche, dans la direction AB, le jalon sera vertical, dès qu'il se trouvera dans le plan qui contient son pied et le fil. Cependant, on doit vérifier s'il est resté dans le premier plan vertical.
Il est plus court et plus sûr d'opérer h la fois en B et en C; par conséquent, trois personnes sont nécessaires pour placer un jalon exactement et promptement dans la verticale de son pied. Néanmoins, un seul homme en vient h bout, s'il y met le temps et la patience nécessaires.
Observez que l'opération a plus d'exactitude, lorsque les directions AB , AC se coupent à pou près d'équerre.
175. L'espace illimité que laissent entre eux deux plans RfN, PQ qui se rencontre (P. II, F. 24), est appelé coin, parce que les deux plans ont alors, l'un par l'apport à l'autre, la position des deux grandes faces du coin dont se sert le fendenr de bois. Le coin es^t donc pour les plans, ce que l'angle est pour les droites (53). Aussi est-ce au moyen de l'angle formé par des droites, qu'on apprécie un coin.
L'indication dun coin 3IP est la même que celle de Vangle ABC de deux droites situées dans ces plans et perpcmlicidaires au même point B de l'intersection.
Faisons tourner, autour de la droite MP, le plan PQ, suppose appliqué d'abord sur MN. La droite AB restera constamment déquerrc à la cliaiiiière; par conséquent, elle se mouvra dans un plan perpendiculaire h RIP (150), et le point A décrira, sur ce plan, une circonférence qui commencera cl finira en C, si
COMBI.XAISOMS DES PLANS. 69
BC=BA. Or il est évident que la parlie df révolution exécutée par AB sera la même que la parlie de irvolutiun exécutée par le plan VQ , qu'elle ne peut quitter. Donc, quand le plan aura tourné de Ao' , 90*, 180°, 270', 3G0\ AB aura tourné dautaiit, et l'indication de l'angle ABC sera pn-cisément le même nombre de de^'rés (Tùi). Ainsi, cette indication est propre à préciser lu position du plan VQ , par rapport au plan MN , et à faire connaître la grandeur du coin : si elle se double, une moitié de l'arc total répondra h un coin qui pourra s'emboîter exactement dans celui auquel répondra l'autre moitié , et l'arc total répondra a un coin double d'un de ceux-là.
17G. Deux plans sont dits d'équerre, ou perpendiculaires l'un h l'autre, quand ils forment un coin droit, un coin de 90°.
// suffit pour que drux plans MN , PQ .«e rencontrent d'équerre (P. II, F. "21)), que l'un contienne une perpendiculaire AD à l'autre.
La droite AB, perpendicidaire à VQ, l'est aussi à l'interseelion BN des deux plans (loO), et a la droite BC tirée dans le plan PQ. perpendiculairenïent h BN. L'indication de l'angle ABC est donc celle du coin NO, et comme cette indication doit renfermer 90\ le coin est droit.
177. Tout plan vertical MN est perpendiculaire au plan horizontal VQ qu'il rencontre (P. II, F. 25).
Le plan MN contient nécessairement une verticale AB (loi), et cette verticale est per[)cndicnlaire au plan horizontal PQ (157 et 158). Donc, MN et PQ sont d'équerre (17G).
Ainsi, la face intérieure d'un mur de maison (154) et le plancher (160) sont perpendiculaires l'un sur l'autre.
178. Tout plan perpendiculaire à un plan vertical contient nécessairement une horizontale perpendiculaire à ce plan vertical.
Il contient une perpendiculaire au plan vertical , d'après le nM7G, et cette perpendiculaire est hori/onlale, d'après le n° 156.
479. Vérifier si deux faces planes d'une pierre sont d'équerre.
On se sert pour cela d'une é(juerre évidée ou formée de deux règles. Lorsque cette équerre embrasse le coin de la pierre , chaque règle , placée perpendiculairement a l'arête de ce coin , <loit s'appliquer exactement, dans toute sa longueur, sur l'une des deux faces.
Mais, pour opérer avec une grande exactitude, en suivant ce procédé, il faudrait vérifier la position des règles, par rapport à l'intersection des faces. Il est donc plus sûr, ou au moins plus simple , de placer l'une des règles contre l'une des faces et de faire [livoter l'équerrc sur cette règle, pour voir si, dans toutes les positions, l'autre règle peut s'appliquer exactement sur l'autre
face. Lorsqu'il en esl ainsi, la première face coniient une droite perpendiculaire h la seconde (150), et par conséquent, elles sont d'équerre (17G).
i80. Le plan qui fait un coin aigu ou obtus avec un plan horizontal , est dit incliné.
Vérifier si les deux faces inclinées dun faîte de charpente font bien le coin voulu.
Ces faces sont souvent obliques l'une par rapport à l'autre. Leur coin peut donc n'être pas droit. Lorsqu'il en est ainsi, il faut se servir d'une fausse cquerre à charnière; lever, avec cet instrument, sur Vèpure , ou tracé en grand, l'angle qui a même indication que le coin , et suivre le premier des deux procédés donnés pour la vérification d'un coin droit (179).
181. Toutes les liorizontales d'un plan incliné sont parallèles.
En effet, si deux de ces horizontales se rencontraient, elles seraient d'éciuerre sur la verticale du point de concours. Leur plan serait donc perpendiculaire à cette verticale (150) , et par conséquent, il se trouverait horizontal (157), au lieu d'être incliné.
482. Parmi toutes les droites qu'on peut tirer sur un plan incliné , il en est qui ont une pente conmiune plus grande que celle des autres (140) : elles sont appelées lignes de plus grande pente.
Les lignes de plus grande pente font^ avec le plan horizontal, un angle plus grand que celui de toute autre droite du plan incliné (IGo).
Supposons la pente AB de AC (P. II, F. 26) plus grande que la pente DE de DF. Les horizontales BC, EF, valant chacune 1°, peuvent se couvrir. Alors la verticale ED s'applique sur HA, le point D tombe eu D', au-dessous de A ; FD prend la position CD', et l'angle EFD, devenu BCD', esl seulement une partie de l'angle BCA. i
185. Les lignes de plus grande pente d'un plan iiu:liné font chacune, avec le plan horizontal , un angle égal à celui du coin (175).
Soient AM la trace (rinlersection) du plan incliné MN sur le plan horizontal PQ (P. H, F. 27), BC une droite tirée dans le premier^ perpendiculairement h AM , et CD une droite du second, d'équerre aussi sur AM. L'angle BCD sera celui du coin AM, et son plan, perpendiculaire à l'horizontale AM (151)), se trouvera vertical (155). Par consé(juent, la verticale abaissée de B est dans le plan BCD; elle rencontre CD, et l'angle BCD est bien celui que forme BC avec le plan horizontal (1G5). Si donc cet angle surpasse celui «pie fait sur PQ toute autre droite tirée de C dans MN, BC sera une ligne de plus grande pente (182), et le principe se trouvera démontré.
coUBiNAisONS nrs plams. 71
Faisons tourner lo plan BCD autour de la veriicalo C et de gauche à droite, (^uaiid lliorizontale CD s'appliquera sur CM, celle dernière droite sera à la fois rinicrsection du plan tournant avec MN, avec P^, et l'anglt; WCU se trouvera réduit à zéro. Faisons ensuite tourner le plan HCI) de droite à gauche. Lors(|ue CD s'applitpiera sur CA , l'angle UCD sera nul de nouveau. Mai», évidemment, cet angle diminue en même temps que les angles BCM, BCA, el ceux-ci commencent à se fermer aussiK^l (pi'ils cessent d'èlre droits, aussiltît que le phin BCD <piiiie sa position perpendiculaire h AM. Donc enfin, c'est dans celte position que l'angle liCD est le plus ouvert.
184. Les lignes de plus grande pente d'un plan incliné sont d'équerre sur une horizontale quelconque de ce plan.
D'abord, la ligne de plus grande pente BC (P. H, F. 27) esl d'('(pierre sur la trace horizontale AM du plan incliné MN , puisqu'elle forme l'un des cotés de l'angle BCD relatif au coin AM (185). Ensuite, elle est d'équerre sur toute autre horizontale BF de MN, parce que toutes les horizontales d'un plan incliné sont parallèles (181).
18o. Tracer une ligne de plus grande pente.
Déterminez (Oi) une horizontale quelconque BE du plan incliné donné MN (P. Il, F. 27); puis lirez, sur ce plan, une droite BC, perpendiculaire à BF, en un point quelconque B.
Les lignes de plus grande pente ont de l'impoi tance : les eaux et tous les corps qui glissent ou roulent sur un plan incliné, suivent toujours ces chemins parallèles (184), attendu qu'ils sont les plus ra[>ides (182) et les plus courts de tous ceux qui conduisent de l'horizontale la plus élevée à la plus basse.
18G. Le plan vertical BC (P. II, F. 28) qui contient une ligne de plus grandi' pente BC , est perpendiculaire au plan incliné MN , et le seul qui puisse l'être, parmi tous les plans verticaux renfermant la même verticale.
La verticale élevée en B est dans le plan RC; l'horizontale BE du plan MN est d'équerre sur cette verticale et sur BC (184) ; elle est donc perpendiculaire sur BC (ioO) , et par conséquent, MN coupe dfquorre le même plan (17G). D'ailleurs, tout plan vertical qui, passant par la verticale B, couperait MN selon une droite autre ([ue BC, n'y ferait pas un coin droit; car l'horizontale BE, n'étant pas d'écpicrre à une des droites de ce plan vertical, ne sérail pas non plus per()e[i(liculairc au plan, el par conséquent, MN ue pourrait le couper d'ét-jUcrre (178).
187. lîendre un plan BC à la fois vertical et perpendiculaire à un plan incliné .MN (P. Il, F. 28).
Tracez une ligne de plus grande pente BC ; placez le plan RC
de manière qu'il la coniienne , et au moyen du fil-h- plomb , rendez RG vertical.
Il est beaucoup plus simple de procéder ainsi , que d'élever une perpendiculaire sur le plan incliné.
188. Placer une demi- ferme de la charpente d'un appentis. Une ferme de charpente est un ensemble de grosses pièces de
bois, dont les grandes faces forment deux plans verticaux perpendiculaires h celles du toit. 11 en est de même de la demiferme d'un appentis, par rapport à l'unique face de cette espèce de toit.
Tendez un cordeau a& (P. II, F. 14) selon une ligne de plus grande pente du pian incliné que doit former l'appentis; placez la demi-ferme acb de manière qu'une arête de sa pièce inclinée louche le cordeau a6 partout; puis, à Taide d'un fil-à-plomb, rendez verticale une des grandes faces acb de la demi-ferme.
