Lever un angle, sans fausse cquerre
Supposons qu'il s'agisse de l'angle formé par hes traces AB, AC de doux niuis sur un plancher (P. III, F, 2). Mesurez une
longueur AB sur l'une de ces traces , une longueur AG sur l'autre, et la distance des points B, C; puis, avec ces trois longueurs, construisez un triangle (203), par exemple sur l'une des faces d'ui e pierre; il sera égal au triangle ABC (216), et par conséquent, son angle A' aura la même indication que l'angle A des deux traces.
Il est bon de faire symétrique le triangle ABC, en prenant AB = AC, quand cela est possible. Alors, on n'a que deux longueurs à mesurer, à noter 5 et deux ouvertures de compas, au lieu de trois, sufllsent pour construire l'autre triangle.
223. Deux triangles sont de même superficie y lorsqu'ils ont la même grandeur, la même étendue : lorsque, par exemple, les grains de sable qui couvriraient totalement l'un pourraient aussi couvrir totalement l'autre.
Deux triangles sont dits équivaients , dans le cas où , n'étant pas égaux, ils ont pourtant même superficie.
Deux triangles , dont les angles diffèrent , sont équivalents , si la base et la hauteur de l'un (207) égalent la base et la hauteur de l'autre.
Puisque les bases sont égales, nous pouvons placer l'une sur l'autre AG (P. III, F. 5). Les sommets B, D opposés à ces bases seront alors distincts, et les perpendiculaires BE, DF, abaissées sur AG et sur son prolongement CF, formeront les hauteurs.
Chaque triangle peut être considéré comme composé de bandes infiniment étroites et disposées parallèlement à la base commune. Il y a le même nombre de bandes dans les deux figures, puisque les hauteurs sont égales. Si donc une bande quelconque ac de l'une vaut la bande correspondante ac' de l'autre , les deux triangles se trouveront composés d'un même nombre d'éléments respectivement égaux, et par conséquent, ils auront la même superficie.
Or (114), ac :AG::Ba:BA::Bc:BE (112), aV:AG:Da':DA :: Df'.DV, et Be = D/", BE = DF, car les bandes correspondantes sont situées à la même distance des sommets. Donc, oclAC :: ac': AC, ce qui exige que ac = a'c'.
224. Coniitruire un triangle qui soit équivalent à un triangle donne ABC (P. 111, F. 5).
Menez, par le sommet B, une parallèle BD au côté opposé AC, et joignez un point quelconque D de cette parallèle aux extrémités de AG.
Le triangle ADC est en ofl'ot équivaloiil à ABC , car AG est leur base commune, et les pci'pcndiculaires BE , DF, qui forment 1rs hauteurs, sont égales, puisqu'elles donnent deux écarteraenîs des parallèles BD, AF (C2 et 65).
COMPAnAISO>< DKS TniA^GLES. 81
225. Partager un champ triangulaire \hC en un certain nombre (le triantjks équivalents^ ô par cxcmjile (P. Ili , F. ^.
Divisez AC, un «iiicItoîHiiU' des côtés, en autant do iciriies ('•galos (ju ou (Icinaudc «le porlioiis il()î)j; puis, joigne/ Its poiuls do division I), 11, au somnicl (tpf)()sc I>. Los ltiaiij;l«'s A!î!), I)I>K, IlBd seront éijuivalents , puiscpi'ils auront des bases égales AD, DK, FC, Cl intime hauteur UF.
220. /x-.s- mper/icies de deux triangles AliK, CliF. de même hauteur, se contiennent comme les bases AF, CF (V. 111, F. 4).
Deux bandes ae, ce, intininicnt étroites, parallèles aux bases et t orrespundanles, donnent (IIG): oc : ce :: AF : CF; pour une seconde couple analogue, on a a'e' '. c'c' :: AF : CF; pour une troisième couple, aV : c"e" :: AE : CF, etc. Par conséquent, ne : ce :: a'e' : c'e :: a"e" : c"e" :: etc., et ae -{-a'e' -r-a"e" -\- etc. : ce -f- c'e' -j" ^"^" ~r ^''c- :: ae : ce :: AF : CF. Or, le premier leriue, étant la somme des éléments du triangle ABE , en repiéscnlc la superlicic, et de même le second terme vaut la superficie de Cr.F. Donc, ABE : CBE :: AE : CE.
227. Deux triangles ABC, DFF, dont les bases BC, FF sont égalas {V. III, F. o), se contiennent connue leurs /tauleurs AG, DH.
Élevons, sur Ad^ DH , les perpendiculaires AI, DK; prenons-les (•gales à BC , nu à FF, et tirons les droites Gï, ILIv. Les triangles A(;i, DHK, do mémo Ii.iuietir, donnent: AGI : DllK :: AG .DU (226). Mais, AGI équivaut à ABC (225); DllK équi\aut à DEF. Donc ABC : DFF :: AG : DU.
228. Deux triangles qui renferment un mâme angle, se contitnnent comme les produits des côtés de cet angle.
Soient les i\cuk triangles ABC, abc (P. III, F. G), tels que l'angle \l = b. Le premier contient le second comme AB X BC eontieni ab X bc.
Pla(;ons abc sur ABC, de façon que l'angle b couvre son égal B; !C petit triangle prendra la position a'Bc'; lia égalera ba; Bc' ('•galera 6c; et si nous menons a'C , les doux triangles de mémo hauteur BCA , BCa' donneront la proportion (22G)
BCA : BCa' :: BA : Ba'.
Mais les deux triangles BCa', Bc'a' ont aussi mémo hauteur, puisque a' est un souuuet commun et (|ue les côK'S opposés BC, Bc' sont sur la môme droite; conséquemment
15Ca' : Bc'rt :: B<: : Br'.
Multipliant ces deux proportions l'une par l'autre, nous obtiendrons
BCA X BCa' : BCa' X Bc'a' :: BA X BG : Ba' X Bc'. Divisant les deux termes du premier rapport par BCa', on a enfin BCAiBc'rt :: BA X BCrBa' X Bc' ou ABGiaôc :: AB X BC:a6 X bc.
229. On peut, dans bien des cas, prononcer que deux triangles sont semblables (200) , sans avoir besoin de comparer tous leurs angles et tous leurs côtés.
Deux triangles ABC, abc sont semblables (P. Ili, F. 6), quand deux angles quelconques A, B du grand égalent deux angles a, b du petit.
Nous avons à faire voir que de ces deux conditions de similitude remplies, résulte que toutes les autres le sont aussi (200).
D'abord, l'angle C ^^ c, car A-j-B = a-}- 6; G est l'excès de 180° sur la première somme, et c est l'excès de 180° sur la seconde (201).
Plaçons maintenant le petit triangle sur le grand , de manière que l'angle b couvre son égal B. Le point a tombera en a', par exemple ; c en c', et le triangle a'Bc' vaudra abc (217). L'angle a' égalera donc A, comme a, et a'c' sera parallèle à AG (72). Donc, IW : BA :: Bc' : BG :: a'c : AG, ou bien ba : BA :: 6c : BC :: ac :AG.
Ainsi, les trois angles de ABC égalent les trois angles de abCj et les côtés correspondants sont proportionnels.
230. Deux triangles ABC, abc sont semblables (P. III, F G), quand les côtés de l'un sont proportionnels aux côtés de Vautre.
Alors, AB '. ah ::\SC '. bc :: AG : ac. Prenons a'B = ab et Bc' = bc. 11 s'ensuit AB : a B :: BG : Bc'; par conséquent a'c' est parallèle à AG (115), et BC.'Bc' :: AG: a'c' (114). Comparons celle proportion à celle-ci : BG ! 6c :: AG : ac , qui est supposée vraie. Puisque leurs trois premiers termes sont respectivement égaux, a'c' = ac. Ainsi, le triangle a'Bc' = a6c. (210). Mais, h cause du parallélisme de a'c' et de AG, les angles de a'Bc' valent ceux de ABC (71). Donc, les anglps de abc valent aussi ceux de ABC, et toutes les conditions de similitude sont reuqilies.
251. Deux triangles ABC, abc sont semblables (P. 111, F. C), quand un angle B de l'un égale un angle b de Vautre, et que les côtés du premier angle sont projtortiimtmls à ceux du second.
Alors, AB : ab :: BG : bc. Plaçons le petit triangle sur le grand, de manière que l'angle b couvre son égal B. Le point a tombera
COMPARilSON DES TRIANGLES. 83
on un certain point a' lic AB; c , en un coriain point c* de BC ; et l'on aura àc' = ac , AB : a'\i :: BC : Bc'. La droite ac' est donc parallèle à la droite AC. Il s'ensuit a = Bac' »= A , f = Ik'a' = C , BC : Bc' ou bc :: AC '.ac' ou ac, et toutes les conditions de similitude se trouvent remplies.
252. Deux Iriaugles ABC, abc aoiU semblables (P. III, F. 6), quand les cùtès de l'un sont parallèles aux côtés de l'autre.
Puisque AB, AC sont parallèles à ab, ac , l'angle A = a (74), Cl puisque de plus BC est parallèle à bc , l'angle B =: &. Donc (22î)), les deux triangles sont semblables.
233. Deux triangles ABC, abc sont semblables (P. III, F. 7), quand les côtés de l'un sont perpendiculaires aux côtés de lautre.
Si ac est d"é(|uerre sur AC , et ab sur AB, l'angle a = k (75). Si de plus bc est d'équerre sur BC , 6 = B. Par conséquent (229), les deux triangles sont semblables.
25 i. Deux triangles semblables ABC , abc se contiennent comme les quarrés numériques de deux côtés correspondants quelconques (P. III, F. 6).
ABC ÀB-
Amsi , = ^-r, par exemple.
«*c ab- ^jjC ABXBC AB BC En effet, l'égalité des angles B, 6 donne = = — X —
abc aby<.bc ab bc
