Copier un triangle m grand

Veut- on, par exenq)le, (pie la superficie de la copie soit quadruple de celle du modèle? vous extrairez la racine quarrée de 4, et cette racine 2 vous appiTudra (]ue b-s côti's doivent èti'c doublés. Il ne s'agira plus que de recoui'ir au n" 203, pour construire le triangle demandé, avec des droites doubles de celle du triangle

CO«PARAIS0!t DES TnfA:^OLES. 85

donné. I-O pirnilor ronliotidra pireotivcmonl i lois \o second, piiis- <|iic si son cùlo l'st n|)rés('nlé [)ar ii, rrlui de raiilrc \mïI 1 (234).

2Ô8. 7'oM< triangle rectangle AHC e'.^f partagé en deux triangles qui lui sont snnhidiilfi , par la perpeuilirulaire 151) abaiau'c du i^owmet de l'angle droit sur l'hypothniuae {l\ Il , F. -iô).

Kn off«i, l'aii^^I*' A apparllcnl au grand triangle ABC et au petit ADH; l'angle ('. appailiont au grand et au moyen BDC. D'ailleurs, ADH et UIm; oui cliacuii un angle droit, coninie ABC (229).

Los deux petits triangles, étant soniLlahles au grand, sont évidemment semblables l'un à l'autre.

2ÔÎK Le quarré numérique de Vhgpolhénuse égale la sorame des quarrés numériques des deux autres côtés d'un triangle rectangle.

Abaissons, du sommet B de l'angle droit (P. H, F. Au), une perpendiculaire l'.I) sur riivpoihénuse AC. I>a similitude des deux petits triangles (238) donne ADBiBDC :: ÂB' : BC' (23-i). Il eu résulte ADB -f BDC : BDC :: Xlî' -f BC' : BC'. Mais, ABC:BDC ::ÂC* : BC*, propo'/tion dont les deux premiers ternies et le dernier égalent les leinies correspondants de la pn'ct'dente. Donc, les troisièmes termes ont aussi la même valeur, et ÂC" =AB'-j-BC*, comme le dit l'énoncé du principe.

Voilà pouiqiioi il est prescrit de donner aux cordons du cordeauéqitcrre (32), des longueurs <pii soier.t entre elles e« mm»"; 5, 4 et .'>. Le (juarré 23 du dernier nombre valant la somi>;e des (puînés 9 et 10 des deux premiers, il s'ensuit que le cordeau tendu forme un triangle rectangle dont l'hypothénusc est le plus grand des trois cordons.

240. Mesurer la longueur de la rampe droite d'un escalier qui doit commencer en A et finir en C (P. ïï, F. 43).

Celte i'anif)e n'i-iant pas consliinle, il n'y a pas lieu d'y appliquer la mesure. On ne peut pr.s non plus enq)loyer une corde tendue de A en C, car le poids d'une corde, si faible qu'il soit, l'empêche de former une ligne droite , toutes les fois qu'elle n'a pas une position vei'ticale. Knfin , le procédi* i\{\ n° 143 ne donnerait peut-être i>as une exactitude sunisanle. Vous pourriez , à la vi-riié, vous servir d'une règle qui serait assez épaisse pour ne pas Ib'chir sous- son propre poids; nK\is on n'en a pas toujours une sous la main , qui soit telle et assez longue. B est donc bon de savoir calculer la longueur d'une ligne inclinée AC, au moyen de la longueur liori/ontaie ]\C et do la hauteur verticale Alî, qu'il est toujours facile de mesurer.

La verticale du point A et l'horizontale BC qu'elle rencontre, sont d'rquerre et forment coiisé(piemmrnl, avec AC , un triangle

reclangle. Faites donc le qiiarré de la longueur AB et le quarré de la longueur BC; additionnez ces deux quarrés, pour avoir celui de riiypothénusc AC ; puis extrayez la racine quarréc de la somme ; cette racine sera la longueur de AG. La formule de ce mode de mesurage est H = Vc-' -+- C* , dans laquelle G et G' représentent les côtés de l'angle droit.

Si, par exemple, AB=12", et queBG = 9'",5, la formule donne H= V'(12">)2-)-(9'",5)'= V/d44™"'-i-90'"-,2o= V'254"-,25=io'",30o22, pour la longueur de riiypothénusc ou de la rampe AG. Aucun autre mesurage ne la ferait connaître avec un pareil degré d'exactitude.

241. On veut faire, avec des planches de 6 mètres, un auvent qui abrite une largeur de 5" ; quelle est la pente à donner ?

Si vous supposez que l'horizontale BG ait 5™ (P. Il, F. 43), et que la ligne inclinée AG ait 6", la verticale AB sera la pente totale du toit h construire , et il s'agira de calculer la longueur de cette verticale. Or, le triangle ABG est rectangle , et par conséquent, le quarré de l'hypothénuse AG égale le quarré de BG, plus le quarré de AB. Donc , ce dernier quarré est la difl'érence des deux autres. Ainsi, retranchez de ÔG"", quarré de AG , le quarré 2o°"° de BG, vous aurez pour reste 1 1"" qui sera le quarré de AB. Extrayant la racine quarrée de 11"°' jusqu'aux millièmes, vous trouverez 5'",ol G pour la pente totale AB. La pente pour l", serait le cinquième de ù'°,ù\G, puisque BG = 5". Si donc les poteaux, qui soutiendront le bout G des planches, doivent avoir 2™, le bout A devra être placé à 5", 516 du sol.

Voilà qui vous montre comment il faut calculer la longueur de l'un des petits côtés de tout triangle rectangle, quand on connaît celle de l'autre et celle de l'hypothcnuse. La formule de ce mesurage est G = V^(IP — G").

242. On se propose de bâtir une maison dans l'angle B de deux chemins d'équerre (P. Il, F. 45); la fanvlc qui regardera le sommet B, aura 15 mètres de longueur et devra faire le nunne angle avec les deux directions BA, BG. .1 quelles distances de V> fcmtil marquer les extrémités de cette façade, pour quelles soient sur les bords des deux chemins ?

La farade AG formera avec Tes directions BA, BG, un triangle aymélri(|iio, p!iis(]ue les deux angles .\ , G doivent cire égaux (20G). Les longueurs BA, BG seront donc égales, et comme le triangle AlîG est rectangle, le quarré de AC vaudra le double de celui de B.V , par exemple, ou bien le quarré de BA sera la moitié du quarré de 15'". Or, le quarré do 15"' est 225""". Prenant la moitié, vous aurez I 12™"', 5; exliayantla racine quarrée jusqu'aux millièmes, vous trouverez 10'",GOO pour la distance BA et pour la

QUADRILATi^RES. ft7

distance BC. La droite qui joindra les points A, C ainsi dëtenninés , aura io" à 1 inilliin«''tro près.

Ce calcul est uu exemple de celui qu'il faut faire, toutes les fois qu'il s'agit de trouver les petits côtes d'un triangle symétrique et rectangle dont on connaît l'hypothénuse. I.a formule de

ce mesurage est C =: V/

Q UJDRILATÈRES.

Toute face qui est limitée par quatre lignes droites, se nomme quadriliUcre (couadriiaière)- H n'y a rien de particulier h dire sur les (]iia{|rilalèies dont les côtés op[)Osés se coupent (luand on les prolonge; mais souvent ces côtés opposés sont parallèles, et les formes (|ui en rés(dtenl méritent l'attention, à cause de leur emploi dans les arts.

Trapèze.

24^3. Un quadrilatère ABCD (P. III, F. 9) qui a deux côtés parallèles AB, CD, est appelé trapèze ; le plus grand CD de ces côtés en est la (jrande base, et le plus petit AB, la petite base. Lorsque les côtés concourants AD, BG , sont égaux, le trapèze est dit symétrique. Cette dernière forme se rencontre dans les toits appelés mansardes, dans la clef d'une plate-bande de pierres taillées, dans les assemblages en queue d'aronde, etc.

La pei'pendiculaire LF, élevée au, milieu de l'une CD des bases d'un trapèze symétrique AiîCD, passe par le milieu de Vautre AB.

Pioiongeons les côtés concourranls jus(}u'à leur intersection l. Les parallèles AB, CD donnent: Al:AD::Bl:BC (112), et parce <pie les conséquents AD, BC sont égaux, les antécédents Al, BI doivent l'être. Il s'ensuit Dl^^Cl. Eu conséquence, FF passe par l (52). Mais FF est aussi d'équerre sur AB ^G8). Donc, AF =: DF (03).

241". Tracer un trapèze symétrique dont on connaît la grande base B, la hauteur H et la longueur L des côtés cancourants

(P. in,F. 9).

Tirez une droite et portez-y la base B, de C en D; élevez une j)er|)en(liculairc au milieu de CD, ou en tout autre point (oi); prenez FF = il; menez par F une parallèle h CD; puis décrivez des points C, D, avec I> pour rayon , deux arcs qui coupent cette parallèle chacun en deux points, et joignez aux extrémités de la base Cl), les intersections A, B, les plus voisines de F; vous aurez le trapèze symétri(jue ABCD.