QUADRILATÈRES

Si, au lieu de la longueur des côtés concourants , on connaissait la pclilc base, il faudrait on chercher la moitié (98), puis porter celte moitié sur AJ3, à (h'oixe et à gauche de F.

Si, au lieu de la grande base, c'était la petite qui fût donnée, avec la longueur L et la hauteur H, vous devriez joindre aux points C, D, les intcrscclions G, Il les plus éloignées de F. Le résultat serait alors le trapèze CDilG.

Ces divers cas vous montrent qu'il faut trois choses pour délenniner un trapèze symétrique, c'est-à-dire, pour construire une face de celte forme, dans laquelle il n'entre rien d'arbitraire.

245. La droite KI^, qui joint les milieux des côtés concourants d'un trapèze quelconque ABCD (P. III, F. 9), vaut la demi-somme des deux bases.

Puisque AB, KL, Cl) divisent de la même manière les concourantes AD, IjC, elles sont parallèles (113). Donc, KM est la moitié de AB, comme DK est la moitié de DA , et ML est la moitié de CI), comme BL est la moitié de BC (114). Par consé-

AB CD AB-t-CD quent , KBl + ML = KL == \ = .

Parallélogramme .

24G. Un quadrilatère ABCD (P. III, F. iO) dont les côtés opposés sont parallèles, est nommé parallélogramme. La hauteur de cette figure est la distance de deux côtés opposés; la base est alors l'un de ces côtés.

Les côtés parallèles d'un parallélogramme ont même longueur : AB = CD, AD==BC (ilO).

247. Dans le parallélogramme proprement dit ABCD, qui a deux angles aigus et deux angles obtus (P. UIj F. 10), les diagonales AC, 1)1) sont inégales.

L'angle aigu ADC égale son correspondant BCL , ce qui rend obtus l'aiigUî BCD. Le pied de la |)ei'p(MuiiruIaire VA., abaissée sur Cl), se trouve donc sur le prolongement de 1)(', tandis que le pied do^ la perpendiculaire AK, qui égale BL (05), loml)e entre C et D, Par consé(pient, l'écartement DL de l'oblique BD surpasse l'écartement CK de l'oblique AC, et cette dernière est plus petite que la preniière (92).

248. Les diagonales de tout parallélogramme se coupent par le milieu.

Efleclivement, Al) ^ BC (P. III, F. 10); les angles DAE et BC1''>, ADL et CBL sont égaux, comme alternes-internes, et jtar conséquent, lo triangle AKD = le triangle BCF; d'où il suit (pu-

QCAbRILATÙnet. S9

VE opposé i» l'angle D, cl Œ , côté correspondani , sont de oiém» longueur; qu'il eu est de même de DE, BE, el que rinlorseclioQ E des deux diagouales se trouve au milieu de chacune.

249. Tracer un parallélogramme dont la hauteur H et les cAtés B, B' sont donnés d». lli , F. 10).

Tirez une droite et portcz-y le côte B, de D en G; élevez une porpendiculaiie en un point quelconque de CD (o4); portez H de r en (i; nionez, par le point G, une parallèle h CD; puis dé crivez des points C, D, avec B' pour rayon, deux arcs qui coupent la paralN'Ie en deux points chacun, et joignez h C, D, les intersections A , B situées ii droite des centres ou les intersections H, I situées il gauche. Vous aurez le [uirallélogramme ABCD ou le parjllélogranime CDIH qui remplira les conditions.

En effet, le côté opposé h AD, devant l'égaler, ne peut être que CB ou CH (92). Or, les perpendiculaires abaissées de C, D sur Bl, auraient leurs pieds au milieu de BH el au milieu de AI (91). Par conséquent, les angles CBH , DAI, qui ont les positions d'angles correspondants, sont aigus, tandis que CIII est obtus. Donc, c'est CB qui se trouve égale el parallèle h DA.

2o0. Tracer un parallélogramme dont on connaît un angle A et les deux côtés B, C qui forment cet angle (P. III, F. il).

Faites un angle E égal à l'angle donné A (59); portez la longueur B sur l'un des côtés de cet angle, de E en F, et la longueur C sur l'autre côté, de E en G; décrivez un arc, de F, avec C pour rayon, et de G, avec B, un second arc qui coupe le premier en H; joignez enfin ce point II h F et h C. La figure EFHG sera un parallélogramme, et de plus elle sera le seul qu'on puisse faire avec les données du problème.

Vous voyez, par ces deux exemples, que la détermination d'un parallélogramme exige trois choses.

Le quadrilatère EFIIG est, en effet, un parallélogramme, ou bien FII , GlI sont parallèles îi EG, EF. Tirons la diagonale FG. Puisque FH = EG et que.GH = EF, les triangles EFG, HGF sont égaux (216). Donc, l'angle EFG, opposé au côté EG, vaut l'angle FGII, opposé au côté égal FH , el GH est parallèle à EF (72); l'angle EGF, opposé h EF, vaut l'angle GFH, opposé au côté égal GII , et FII est parallèle à EG.

Losange.

2,S1. Un parallélogramme ABCD (P. UI, F. 12) dont les quatre côtés sont égaux et obliques les uns sur les autres, s'appelle iosange.

90 ' yUADIULATÈRF.S.

Les diagonales inégales d'un losange se coupent par le milieu et d'équerre.

Elles se coupent par le milieu, comme diagonales d'un parallélogramme (218), et conséquenmient AE = EC. Les deux, triangles AÈiî, CED sont donc cg;uix (216). Par suite, l'angle AEB = BEC, et ces deux angles sont droits (45).

252. Tracer un losange dont on connaît le côté L et une diagonale M (P. m, F. 12).

Tirez une droite et portez-y la diagonale 31, de A en C; puis, des. points A, G, avec L pour rayon, décrivez deux arcs qui se coupent en deux points B, D, et tii'cz les quatre l'ayons déterminés par ces intersections. Vous aurez le losange ABCD qui satisfera aux conditions.

Ainsi, deux choses suffisent pour particulariser un losange: ces deux choses pourraient être encore les diagonales ou un angle et un côté.

On démontrerait que les côtés opposés de ABCD sont parallèles , en raisonnant comme dans le n'' 250.

Rectangle.

255. Un parallélogramme ACDE (P. III, F. 13) dont les angles sont droits et les côtés voisins inégaux, se nomme rectangle; de deux côtés d'équerre CD, CA , l'un est la base et l'autre la hauteur du rectangle.

Les diagonales AD, CE d'un rectangle sont égales et se coupent obliquement par le milieu.

Les triangles ACD, CDE sont rectangles, le premier en C, le second en D. Ainsi, l'angle ACD ^ CDE; mais de plus AC = DE, et CD est côté commun; il y a donc égalité entre les deux triangles (217), et AD, hypothénusc de l'un, vaut CE, hypolhénuse de l'autre.

Les diagonales se coupent par le milieu, parce <|ne le rectangle n'cH qu'un cas particulier du parallélogramme (248). Ueste donc à l'aire voir (ju'clles se coupent obliquement, ou bien que l'angle CFD, par exemple, n'est pas droit.

AC

La pente de AD relativement h CD (140), est — -. La pente de