DIS QUADRILATÈRES ET DES TRIANGLES. 'JU

S82. Mesurer un rectangle en hectares.

Mesurez la base ci la hauteur en mètres, au moyen de la chaîne d'arpenteur ; faites le produit des deux nombres obtenus, et avancez la virgule de 4 langs vers la pauche (275 et 280}.

La cliaino daipouleur est un tlécauit'lie linéaire: elle a 10", depuis l'extrénnic intérieure de l'une iies poignées qu\ la terminent, jusqu'à rexlréinité intérieure de l'autre. Comme les chaînons dont elle est composée ont chacun 5 ilécimètres, et que les mètres y sont niarqu(''s par des anneaux de laiton , elle permet de conipter les mètres et uiéme les d»!'cimèlres qui se tiouvent dans une longueur, en sus d'un certain nombre de décamètres. Cela sullit, pour le mesurage des dianips, puis(]ue, né'gligeant les fractions de c<'niiare, on doit se boincr à obtenir les mètres carrés avec toute l'exactitude possible.

283. La construction d'un édifice exige un espace carré qui renferme 275 529°""; quel est le côté à employer dans le tracé (256) ?

Le nond>re 275 529 est le quarré du nombre abstrait des mètres contenus dans le côté (279 et 275). Il faut donc en extraire la racine quarréie , pour connaître la longueur demandée. Cette racine est 525, et par conséquent, le côté du carré doit avoir 523'".

2H4. La superficie d'un parallélogramme égale le produit de la base et de la hauteur (2i0).

Le paraHélogramme .\BCI) (P. III, F. 10) est équivalent au rectangle .VfU.K qui a m<*me base AB et même hauteur AK (267). Or, la sufierlicie de AHLK vaut ABxAK (275). Donc, ce produit donne aussi la superficie de ABCD.

285. Le mesurage d'un parallélogramme donne le vuvre résultat, quel que soit le cô'.é pris pour base, pourvu que la perpendiculaire à ce côté devienne la hauteur.

Soient 111, FK perpendiculaires sur EF, EU (P. III, F. 21). L'application du principe précédent conrinit, pour la superficie du parallélogramiue EFGII, au produit EF )< III on au produit EH X FK. Or, les triangles rectangles Elll, EKF sont semblables, puisque l'angle E leur est commun (229). Leurs côtés correspondants donnent donc (200): EF:EII :: FKrIIl, d'où il suit que EFxni = EIIxFK.

286. On veut connaître combien contera en totalité le crépi d'un mur de cimetière, et l'on sait que le mètre carré se paie 0^i5, que la forme du terrain est celle d'un rectangle, que ce rectangle a deux côtés horizontaux de 125'" chacun et deux côtés inclinés de 85", que la pente totale de ces derniers est de 8",50 et que la hauteur verticale des murs sera de 2°.

100 MEStJftAGB

Les murs qui seront élevés selon la rampe, auront, pour faces» crépir, des parallélogrammes tels que ARCD (P. III, F. 2o), dont la base BC = 2" et dont la hauteur est l'horizontale AE. Calculez celte hauteur, au njoyen du triangle rectangle AEB, dans lequel BE = 8,oO et l'hypoihénuse ABr^So"; vous trouverez (241) que AE=: 8i°',575. La superficie de chaque parallélogi-auime sera donc 109"", 146. Il faut la quadrupler pour avoir la surface totale des ihuK murs en penle, car ils ont chacun une face intérieure et une face extérieure. Or, 169'°°',146x4 := C7G"",o84.

Les faces à crépir des deux aiilies pans de mur, sont des rectangles égaux dont la base a 123"' et la hauteur 2". La superficie d'un de ces rectangles sera donc 125'"X2'° = 246""; quadruplant, vous aurez 984°"" pour la surface totale des deux pans rectangulaires; ajoutant à ces 984°"°, les 676'°°', 584 déjà trouvés, vous saurez que la superficie du crépi sera de 1660"°', 584; mul-lipliant enfin 0^45 par ce nombre de mètres carrés, vous obtiendrez 747^26 pour le prix demandé.

287. La superficie d'un triangle égale la moitié du produit de la base et de la hauteur.

Menons, par les sommets F, G du triangle EFG (P. III, F. H), des parallèles aux côtés EG, EF. Il en résultera le parallélogramme EFîIG, composé des triangles EFG, FGIL Or, ces triangles ont un côié commun FG ; les angles EFG, FGH sont égaux, comuïe alternes-internes; les angles EGF, GFII le sont aussi, pour la même raison; par conséquent (218), le triangle EFG égale le triangle FGII, et chacun est la nu>itié du parallélogramme EFUG. Mais la superficie EFIIG vaut EF.xGK, GK élaut perpendiculaire sar EF (284). Donc la superficie du triangle EFxGK

EFG égale .

2 " BXII Le principe, converti en formule, donne T = .

On démontrerait d'ailleurs, comme dans le n" 285, que ïg rcsuUal est le même, quel que soit \o. côté du tiiangle pris pour la base B, pourvu que la perpendiculaire à ce côté devienne la hauteui' IL

288. On vont couvrir la croupe triangulaire d'un toit, avec des tuiles plates de ()'",24 sur 0"',16 gui , à eauae des parties superposées, entrent au nnmhre de 70 dans A' mètre carre. La hase du triangle a 12"', 50 et la hauteur Ô^Jo. Combien faudra- t-il de tuiles?

Vous aurez, d'après la formule, T = •=19""»,6875.

Multipliant 70 par ce nombre de mètres carrés, vous obtiendrer fn nond)re entier 1370, pour la quantité de tuiles demandée.

DES QUADRILATÈREb ET DES TR1A?(0LES. fOi

289. }tesurer un triangle ABC (P. 111 , V. 3) dont on ne peut déterminer ou v^esurer la hauteur BE.

Prolongez lu base AC; menez, par le sommet opposé D, une parallèle au [uoloiigemenl CF; abaissez, iriin point qiielron(|ue D de celle p:ir;ill»'i(' , une per|>ei»cliculaire 1)F sur Cl", et mesurez la longueur I>F. Klle sera la nu^me que celle de DE (02 et C5).

290. Mesurer un triangle ABC (P. Ill, F. 20) dont on ne peut trouver la hauteur par aucun nwyen.

Mesurez les trois côlés en nièlres; prenez leur demi-sonuiie; muliipliiz-la par son excès sur le côié BC; multipliez le produit par l'excès de la même demi-somme sur le côu'i AC ; multiplipz ce second produit pai- l'excès de la mèniedemi-sonmïe sur le côlé AB j puis extrayez la racine quarrée de ce troisième produit. Le résultat sera, en nièires carrés, la superficie du triangle ABC.

Si nous représentons par T le triangle, pars la sonm»c des trois côlés, et par c , c', <f les longueurs de BC, AC , AB, la formule est

Cette formule ne peut être d(''monlréc qu'au moyen d'un calcul algébrique; mais on la véritie f;icilcmcul, en C(»Hq)aranlle uondjre de mètres cari«!s qu'elle donne, pour un iriaiigle tracé, à celui qu'on obiif'iit en prenant la n.oilié du produit de la base et de la hauteur (287).

291. I.a superficie de tout trapèze égale la moitié du produit de la somme des bases et de la hauteur.

La diagonale BD divise le trapèze ABCD (P. IIF, F. 9) en deux triangles, qui ont pour hauteur EF = H, et pour bases CD=B,.

Bxn ixii AB = K Or (287), BCD = , ADD = . Donc,

Bxn-4-Axn (B-4-A)ir

Trap. = = .

292. La superficie de tout quadrilatère égale la moitié du produit d'une diagonale et de la somme des deux perpendiculaires abaissées sur cette diagonale, des sommets opposés.

La diagonale AC partage le quadrilatère ABCD (P. 111, F. IG) en deux triangles, qui ont pour base commune AC = 1), et pour

DX» DXH'

hauteursBE = H,PF = H'.Or(287),ABC = , AC1) = .

Donc , Q =zz

»xir-hDxH' P(n-+-n')

103 POLYGONBS RÉCULIERS.

En prenant ainsi la diagonale pour base de chaque triangle, on n'a que trois longueurs à mesurer, au lieu de quatre, ce qui abrège , et din)inue les chances d'erreur.