POLYGONES RÉGULIERS
Des polygones dont le nombre de côtés surpasse 4, les réguliers seuls donnent lieu h des tracés intéressants (200). Aussi, ce chapitre sera-t-il exclusivement consacré aux diverses constructions de ceux-là et aux principes qu'elles exigent ou qu'elles fournissent. Cependant, les deux propriétés qui vont être établies les premières, concernent à la fois les polygones réguliers et les irréguliers.
293, La somme des angles intérieurs d'un polygone quelconque vaut autant de fois deux angles droits que Cindique leur nombre diminué de 2 (200).
Tirons, d'un sommet A (P. III, î*'. 27), toutes les diagonales possibles AG, AD. Des triangles formés, les extrêmes prennent chacun deux côtés du polygone ABCDE; chacun des autres en prend un seul. Il y a donc autant de triangles que l'indique le nombre des côtés diminué de deux , ou le nombre des angles intérieurs di'uinué de 2, car tout polygone présente autant d'angles intérieurs que de côtés. Or, ces angles se composent de ceux, des triangles, et la somme des angles d'un triangle égale celle de deux angles droits (201). Donc, pour avoir la somme des angles intérieurs du polygone, il faut répéter 2 angles droits autant de fois qu'il y a d'angles moins 2, et pour avoir la somme de leurs indicatiojîs, il faut nniliiplicr, par le même nombre, 180°, somme des indications de 2 angles droits.
294. Trouver Vindication de Vangk intérieur d'un polygone régulier.
Comptez les angles du polygone ; ôlez deux unités de leur nombre; multipliez 180 par le reste; vous aurez la sonmie des indications de tous ces angles. Or, ils sont égaux, puisque le polygone est régulier (200) ; si donc vous divisez le produit par leur nombre, le quotient sera l'indication d'un seul. Ces calculs
sont indiqués plus brièvement par la formule a = ,
dans laquelle a représente l'angle intérieur et n le nombre des angles du polygone.
Voulez-vous connaître, par exemple, l'angle intérieur d'un
carré? La formule donne a = = = = 90 ,
rOLYCONES REGULIERS. 103
ce que vous savoz dëjî». Faisant les mémos opdraiions pour le triangle équilaltîra! , vous verrez que son angle inlérieur est de CU , principe (jui a été élal)li dans le n" 211.
2î).-J. 0"^"'! on parle des angles extérieurs d'un polygone ABCDE (P. III, F. 27), on entend toujours les angles cxtérioiirs (2<)()) tpii s'ouvrent dans le nu^ine sens circulaiie, comme CBF , I)('.(i, clc, quoi (|iie «oit d'ailleurs ce sens: il n'est jamais question d'angles IMJG , etc., ouverts dans un sens, et d'angles CDU , etc. , ouverts dans le sens opposé.
La somme des angles exléricurs d'un polygone quelconque vaut celle de i angles droits.
L'angle Intérieur ABC et l'angle extérieur contigu CBF font ensemble 2 angles droits (4')). Par consc-quent, la somme des angles, tant intérieurs ({u'exlérieurs, vaut autant de fois 2 angles tl/oils que l'indique le nombre des angles iiit(;rieurs. Mais (293) la somme de ceux-ci vaut autant de fois 2 angles droits (|ue l'indicpie leur nombre diminué de 2. Il reste donc seulement 2 fois 2 angles droits pour la somme des angles extérieurs.
Le piincipe s'applique également aux angles extérieurs qui s'ouvrent dans le même sens circulaire que CDIL
290. Trouver l'indicalion de langle extérieur d'un polygone régulier.
Divisez oG0°, somme des indications de 4 angles droits, par le nombre des angles extérieurs ou intérieurs.
En efl'et, chaque angle extérieur, ajouté à l'angle intérieur contign, donne une somme constante, celle de 2 angles droits. Or, tous les angles intérieurs sont égaux. Il en est donc de même des angles extérieurs, et chacun vaut la somme de tous divisée par leur nombre, qui égale celui des angles intérieurs.
La règle, appliipiée au carré, donne, pour l'angle extérieur, 360° : A = {'n)\ ce qui doit èlre, en eQ'el, puisque cet angle est droit, comme l'angle intérieur contigu.
297. Les polygones qui ont plus de 4 angles ou de 4 côtés, se nomment pentagones s'ils en ont .*>, hexagones s'ils en ont G, heptagones s'ils en ont 7, octogones s'ils en ont 8, décagones s'ils on ont 10, dodécagones s ih en ont 12, pente décagones s'ils en ont \o. Les autres polygones étant rarement employés dans les arts, ne portent pas de noms particuliers, ou bien ceux qu'ils ont reçus sont peu usités.
Tracer un pentagone régulier.
Décrivez un cercle quelconcjue; tracez AB, un des diamètres (P. ni, F. 28 1; élevez au milieu une perpendiculaire; cherchez
