POLYGONES RÉGULIERS
le milieu E du rayon CD (59); rapportez EC sur EB, de E en F, et BF de B en G. La corde BG pouri-a être portée 10 fois exactement sur la circonférence; elle la divisera donc en 10 arcs de 56°. Par conséquent, si vous tirez les coi des BH, etc., des arcs doubles, vous aurez 5 droites égales (23) qui formeront un pentagone régulier BIIIKL.
Les angles sont effectivement égaux, comme les côtés, car ils sont tous inscrits et chacun renferme entre ses côtés | de circonféience.
Il reste donc seulement h faire voir que BF est réellement la corde de 56°. Or, CE est la moitié de BC ; l'arc CF fait partie de la circonférence qui aurait E pour centre, EC pour rayon. Par conséquent (i-7), BF viuit la plus grande partie du rayon BC, divisé en moyenne et extrême raison, et le principe suivant achève la démonstration.
298. La corde AB de 56° (P. III, F. 29) égale la plus grande partie du rayon CB, divisé en moyenne et extrême raison.
L'angle C du triangle symétiique ACB est de 56°; chacun des deux autres est de 72' (201), et la bissectrice AD de l'angle A forme deux triangles symétriques ADC, BAD, car le second est semblable a ACB, renfermant aussi l'angle B (229). Ainsi, AB--^AD=CD. Mais la similitude de ACB, BAD donne: AC :AD :: AB:BD on bien CB:CD :: CD:BD, proportion qui montre que Cl) ou son égale AB est, en etfet, la plus grande partie de CB , divisé en moyenne et extrême raison (127).
299. Tracer un panlagone régulier dont le côté M est donné (P. m, F. 28).
Faites un pentagone régulier quelconque BHIKL, en suivant le procédé précédent; portez la longueur M sur un côté BL, de B en N; par le poiut M , menez INO parallèlement au rayon CB, jusqu'au prolongement du rayon CL, et par le point 0, menez OP parallèlement à BL, jusqu'au prolongement de CB. La droite OP est égale à BN (110) et par suite à M; de plus, elle est placée comme BL , par rapport aux rayons CB, CL, car CP = CO (112). Si donc, avec CO ou CP , vous décrivez une circonférence concentrique à celle dont BC est le rayon, vous pourrez y porter exactement 5 fois la corde OP , et vous formerez par là le pentagone demandé.
Ce procédé est général : il s'applique h tous les polygones réguliers.
Ainsi , pour tracer un polygone régulier dont le côté est donne\ il faut commencer par construire un polygone régulier de même nom, dont les côtés aient une longueur arbitraire.
POLYGONES RÉGULIEKS. |<)5
