Dessiner un cylindre droit , circulaire et tronqué

Pour avoir le dessin le plus simple, il faut supposer le cylindre placé verticalement sur le plan horizontal , et la troncature perpendiculaire au plan vertical. Alors, le plan est un cercle A de même rayon que le cylindre (P. IV, F. 16), et l'élévation est un trapèze BCDE dont la grande base BC égale la plus longue droite de la surface , et dont la petite base DE égale la plus courte droite. Ces côtés du trapèze sont d'ailleurs tangents au cercle A, par leurs prolongements; BE égale le diamètre du cylindre, CD donne la plus grande corde de la troncature, et A'A" a la longueur de l'axe.

368. Mesurer la surface courbe d'un cylindre droit et tronqué. Si le cylindre est circulaire, mesurez la plus longue droite BC

et la plus courte droite DE de la surface (P. IV, F. 16) ; prenez leur moyenne, c'est-à-dire la moitié dcleur somme, et multipliez la circonférence de la base par cette moyenne.

Fai elTet, une perpendiculaire FG, élevée en A", sur A'A", forme le rectangle lîEFG, (ju'on peut regarder comme l'élévation d'un cylindre complet qui aurait même base et même axe que le cylindre tronqué (363) ; et la surface courbe de ce cylindre complet est le produit de la circonférence A par A'A" (361). Elle surpasse celle du cylindre tronqué, de l'onglet cylindrique qui se projette sur le triangle A"Fl); elle en est surpassée de l'onglet qui se projette sur le triangle A"GC. Or, ces deux triangles sont égaux (218), puis<pie le rayon A"F égale le rayon A'G , que les angles F, G se trouvent droits, et qu'il y a égalité entre les deux angles qui ont A" pour sommet commun (40). Donc, à cause de la courbure uniforme d'une surface cylindrique circulaire, les onglets doivent être égaux, comme leurs projections verticales, el la sur

SURFACES CYLINDRIQUES. lif

face courbe du r^lindrc tronqué (^ijuivaut à celle du cylindre complet. Ainsi, la première est aussi le produit de la circonférence A par A'A'. .Mais A' A", étant parallèle a BC, I)K et passant au milieu de BK, est la ligne-milieu du trapèze BCDE. Par con-

BC-i-DE séquent (!2io), elle vaut , et le mesurage prescrit est juste.

La même démonstration convient au cylindre droit, tronqué et oblong (l*. IV, F. 17), quand la base peut être partagée en qua'.re paities égales, par deux droites d'équerre III, KL; car alors les deux onglets projetés sur A"GC, A"FI), ayant la même courbure dans to*us leurs points opposés, sont égaux.

Donc, dans ce cas du cylindre droit, tronqué et oblong, vous aurez sa surface courbe, en faisant le produit du contour de la base , mesuré avec une Dcelle, par la moyenne de la plus grande et de la plus petite droite de cette suiface.

Mais, daiis tout autre cas, vous devrez partager le contour de la base en parties égales et peu grandes; mesurer toutes les droites de la surface qui partiront des points de division, et multiplier, par leur moyenne, le contour de la base, pris au moyen d'une ficelle. Le produit donnera la surface cylindrique d'autant plus exactement que vous aurez mesuré un plus grand nombre de droites.

En effet, la surface courbe, fendue selon sa plus grande droite BC , par exemple , puis étendue sur un plan , forme la suite de trapèze* que présente la figure 18, et dont l'ensemble (546) vaut

(-Vd'+d"+d"'+d''+d^+-) h = (d-f d'+d"+d"'-j-d''-f d") h

H-^-cP-i-d" + if" -}-(?•' -i- (h

= X C)h. Or, ()h approche d'autant plus

du contour de la base que les parties h sont plus petites ou plus

(/-f- f/' -+- ff -f- r/'" -+- r/'-^ -f- f/''

nombreuses, et est bien la moyenne des

six droites que nous avons supposées mesurées.

309. Dessiller un manchon cylindrique droit, circulaire, complet et vertical.

Le plan se compose de deux circonférences concentriques; le rayon de la plus petite égale le rayon du cylindre creux ou intérieur; le rayon de la plus grande est celui de la surface cylindrique extérieure. L'élévation doit présenter un grand rectangle BCDE, pour la surface extérieure {V. IV, V. lî)); un petit rectangle FGIII, pour la surface intéricur(!, et la ligne A'A", pour la projection verticale de l'axe. Les prolongements des côtés BC, DE du grand rectangle sont tangents à la grande circonférence , et ceux des côtés FC , III de l'autre sont tangents à la petite.