SURFACES CONIQUES
572. Toute surface courbe (pii est réglée selon des droites concourantes, s'appelle surface conique, et le corps qu'elle enveloppe, porte le nom de cùney si d'ailleurs il n'a pas d'autres limites courbes.
Le cône est complet , quand il renferme le point où concourent les droites de la surface courbe : alors il n'a (ju'une seule face plane qui est la base; il est tronqué dans le cas contraire, et alors il a deux faces planes: si ces deux faces sont parallèles, elles prennent ensemble le nom de bases; si elles ne le sont pas, l'une
SL'RFACES CO?(IQL'KS. i-iS
est la base cl raiitrc la troncature. Le cône est circulaire ou oblong, selon qu'il a un cercle ou une ovale pour base.
I.(; jioiiii où concourent les droites d'une surl'acc conique, s'appelle sommd. La droite qui joint le sommet au centre de la base, se nomme axe. Le cône et le tronc de cône sont droits, quand l'axe est perpendiculaire à la base; ils sont obli(|ues, si l'axe l'est lui-même. Dans le premier cas, toutes les droites de la surface courbe circulaire font le même angle sur la base et sont égales (%). Knlin , il y a des manchons coniques, comme des mandions cylindriques; mais les premiers résultent toujours de cônes tronqués.
Ainsi, les pains de sucre non émoussés, les pointes des paratonnerres et des poiii(,ons à percer, l'intérieur d'un éleignoir sont des cônes droits, circulaires et complets; une colonne et les pierres rondes qui la composent, sont des cônes tronqués ou des troncs de cône droit et circulaire; il en est de même d'un seau évasé, d'un chapeau d'Iiomme, d'un dé de tailleur, si l'on considère leur vide; mais ces mêmes corps so'.it des manchons coniques, quand ou considère leur matière.
I^es arts n'exécutent presque jamais ni cône oblique, ni tronc de cône h faces planes non paiallèles; ainsi, nous n'aurons pas à nous occuper de ces corps.
373. Dessiner un cône droit, circulaire et complet dont l'axe est vertical.
Tracez, sur le plan horizontal, un cercle égal à la base, vous aurez le plan. Abaissez, du centre A (P. IV, F. 20), une perpendiculaire AA' sur la ligne de terre YZ; menez des tangentes parallèles à AA'; d'un des points B, C où elles rencontrent YZ, avec un rayon égal h la longueur du cône, mesurée sur la surface courbe, décrivez un arc qui coupe le prolongement de AA' en un point A"; puis joignez ce point à B et h C. Le triangle symétrique BA"C formera l'élévation du cône , AA" donnera la vraie longueur de l'axe, BA" sera celle des droites de la surface, et A" représentera le sommet.
374. La surface courbe d'un cône droit , circulaire et complet égale la nwitié du produit fait avec une droite de cette surface et le contour de la base.
La surface est la somme d'une multitude de triangles dont les très-petites bases formeraient le contour de la base du cône, et qui auraient pour hauteur commune, la longueur d'une droite de la surface conicjue. Or, la somme de ces triangles égale évidemment la moitié du produit de la somme des bases multipliée par la hauteur commune (287).
i44 SURFACES CONIQUES.
Appelons D le diam'èiro de la base et L la longueur de la surface ] la formule qui donnera la surlace courbe de lout cône droit et
3,lil6DxL circulaire, sera S.Co = .
375. Memrer la surface courbe d'un cône droit, circulaire et complet.
Mesurez le diamètre de la base et une droite de la surface, puis appliquez la formule précédente.
Si , par exemple, D = 0",04 et que L = 0"',3, le nombre des mètres carrés contenus dans la surface conique sera exprimé par 5,1416x0"S0ix0'",3
=0""",OI88oou 1 décimètre carré, 88 centi-
mètres carrés et 50 millimètres carrés.
57C. Mesurer la surface totale d'un cône droit, circulaire et complet.
Mesurez séparément la surface conique et le cercle de la base; puis faites-en l'addition.
377, Dessiner un tronc de cône droit et circulaire, à bases parallèles.
Le plan se compose de deux circonférences concentriques, lorsque Taxe est vertical : l'une est égale h la grande base et l'autre à la petite. Pour construire l'élévation, il faut abaisser du centre A, une perpendiculaire AA" sur laligne de terre (P. IV, F. 21); mener une parallèle à YZ, qui en soit éloignée d'une longueur A'A" égale à la distance des deux bases; puis tracer des tangentes aux deux circonférences du plan, parallèlement à AA"; celles de la grande circonférence déterminent le diamètre BC de la base inférieure; celles de la petite donnent le diamètre DE de la base supérieure ; le trapèze symétrique BCDE est l'élévation du tronc de cône, A'A" représente l'axe, et BE ou CD est la vraie longueur des droites de la surface conique.
378. La surface courbe d'un tronc de cône droit et circulaire, à bases parallèles, égale la moitié du produit fait avec une droite de cette surface et la somme des contours des bases.
La surface tronc-conique peut être considérée conmie composée de trapèzes, dont les très- petites bases forment les contours de celles du tronc. Ces trapèzes ont une hauteur commune BE (P. iV, F. 21); car les tangentes en B, E, ou les éléments qu'elles prolongent, étant des horizontales perpendiculaires aux rayons A'B, A"E, sont d'équerre sur le plan vertical A'BE.V" ((>3 et 150) et par conséquent sur BE. Chaque trapèze égale donc la demisomme de ses bases multi|)liée par BE (291), et l'ensemble des
SCAPACES SPIIÉRIOL'ES. 445
irapèzcs vaut la demi-somme de toutes les bases, c'esl-îi-dire la demi-somme des circonférences extrêmes du tronc, multipliée par lîE, droite do la surface conique.
Soient D le diamètre de la grande base, d celui de la petite base et L la longueur do \\K. La surface du tronc de cône circulaire et droit, à bases parallèles, sera représentée par celle for- 3,1416 D-^ùAil6d D-i-d
mule S.T.Co = ■ X L=3,14iG XL.
379. Mesurer la surface courbe d'un tronc de cône droit et circulaire , à bases parallèles.
Mesurez le diamètre de chaque base et une droite de la surface ; puis appliquez la formule précédente.
Si, par exemple, vous voulez évahior le crépis extérieur d'une
tour ronde, dont le mur en talus forme une surface tronc-conique,
et que celte lour ail extérieurement 10" de diamètre par le bas,
9" de diamètre en haut, SO"" de longueur, vous écrirez S.T.Co
lO^-hO-"
= 3,1416 X 50° = 5,1416 X 9-,5 X iiO"» = 5,1416
380. Dessiner un manchon conique , droit et circulaire , à bases parallèles.
Un pareil corps présente deux surfaces tronc-coniques, l'une extérieure, l'autre intérieure. Vous pourrez donc exécuter le dessin en appliquant successivement à ces deux surfaces, ce qui a été prescrit dans le n" 377, pour une seule. Mais vous observerez de pointiller la grande circonférence et les droites BE , CD de la surlace intérieure (P. IV, F. 22), car ces trois lignes sont évidemment cachées (569).
581. Mesurer la surface totale d'un mancJion conique , circulaire et droit , à bases parallèles.
Procédez comme il est enseigné dans les n"*' 571 et 579.
SURFACES SPUÉRIQUES.
582. De toutes les surfaces courbes non réglées, ou sur lesquelles une règle ne saurait s'aj)pliquer de toute sa longueur, dans aucun sens, nous n'avons à considérer que celles qui peuvent être coupées selon des circonférences, par des plans parallèles. Les autres se présentent trop rarement pour que nous devions nous en occuper.
Une (Us plus remarquables i)aiini les premières, c'est la surface des boules; les géomètres l'apjjellent surface sphérique, parce qu'ils ont donné le nom de sphère au corps qu'elle enveloppe.
