SURFACES SPHÉRIQUES
La surface spbérique a tous ses points également éloignés d'uri autre qui en est le centre. Les droites qui vont de ce centre à la surface, sont des rayons de même longueur ; celles qui \ont d'un point de la surface à un autre, en passant par le centre, sont des diamètres, et il y a égalité entre tous ces diamètres, comme entre les rayons qui en sont les moitiés.
Il suit de la que tous les plans menés par le centre de la sphère, la coupent selon des cercles égaux: ceux-là sont appelés grands cercles; les autres plans sécants donnent des cercles moindres qu'on nomme petits cercles et qui ne sont pas tous égaux.
On prend le diamètre d'une sphère au moyen d'une règle et de deux équerres, ou au moyen d'un compas à curseur, analogue h celui dont se servent les cordonniers, pour mesurer la longueur d'un pied humain; mais il faut que les petites branches parallèles de ce compas soient sensiblement plus grandes que la moitié du diamètre à mesurer; il faut aussi que toute la sphère ait passé entre elles, pour que leur écarlement donne une mesure juste.
385, Dessiner une sphère dont le diamètre D est donné. (P. IV, F. 23).
Le plan et l'élévation sont des cercles A, A' d'un rayon égal à la moitié de D; les centres de ces cercles doivent être placés sur une droite AA' perpendiculaire à la ligne de terre YZ.
584. La surface d'une sphère égale le produit fait avec le quarrè numérique du diamètre et le rapport de la circonférence à ce diamètre.
Coupons la sphère par une suite de plans perpendiculaires h un diamètre AB (P. IV, F. 24), ci assez rapprochés les uns des autres, pour que chacun des arcs qui en résulteront sur une grande circonférence C, ne diffère de sa corde d'aucune quantité appréciable. Nous formerons ainsi une suite de troncs de cônes terminée paideux cônes complets, et la somme des surfaces courbes de tous ces corps vaudra celle de la sphère.
Considérons un quolconquc DEFG des troncs : sa surface courbe
{ Ci). BlI -h Cir.Gl)DG
est . Mais la ligne-milieu KL du trapèze
Dir-i-Gi DGIH vaut , et parce que les circonférences se contiennent
2 67;. DII-+-C»-. Gi
comme leurs rayons (15) , Cir. RL= . En conséquence, la surface courbe du tronc DFFG est aussi Cir. KL X DG- Joignons K h C et abaissons DM perpendiculairement sur GL Les triangles DMG , CLK sont semblables, parce que les côtés de l'un se trouvent d'é(|uerre à ceux de l'autre (255) etDG:(ïK :: DM : KL , ou DG : DM :: CK : KL. Mais CK : KL :: Cir. CK
SrRFAC.ES SPIIÉRIQLES. 147
: Cir. KL, el DM= III. Donc , 1)0 : lli :: Cir. CK : Cir. KL ; Cir. KL X DG= Cir. CK X Hl; ce dernier produit ex[)rimo aussi la surlace courbe du Ironc, et celle surface égale le produii d'une grande circonlVrence de la sphère mullipliée par la pai lie du dianièlrc AB comprise entre les plans des bases.
11 en sera de m<'*me nécessairement pour chacun dos autres troncs; mais de plus, il en sera de même aussi pour chacun des CÔDCS extrêmes. Ldeciivement, la surface courbe du cône ANO C.r. NPXAN
(373) vaut ; la droite Q\\ , parallèle h INP , menée par
2 Cir. ISP
le milieu de AN, est la moitié de NP (1 14) ; Cir. QR= ;
Gr.NPxAN 2 = Cir. QR X AN, et l'on ferait voir, comme ci-dessus,
que Cir. QR X AN = Cir. CQ X AP.
Ainsi , l'ensemble des cônes et des troncs vaut une grande circonférence mullipliée par la somme des parties de AB, et la surface sphérique égale le produit fait avec une circonférence de grand cercle et le diamètre. Mais 5,141GD exprime la longueur de cette circonférence (29). Donc enfin, on a pour formule S.Sph. = 5,1410 D X D = 3,1410 D*, comme le dit le principe.
