Dessiner un prisme oblique à bases triangulaires

Plaçons les bases horizontalement, et rendons les arêtes qui les séparent, parallèles au plan vertical. Il faudra faire sur le plan horizontal, un triangle ABC égal ou semblable a chaque base (P. IV, F. 51); abaisser de A une perpendiculaire AA' sur la ligne de terre; porter la hauteur du prisme de A' en G; mener par G une parallèle à la ligne de terre, et décrire de A', avec un rayon égal h la longueur du prisme, un arc qui coupe GE' en D'. La droite A'D' sera Télévation de celle des arêtes parallèles qui part de A; pour en avoir le plan AD, vous tracerez par A une parallèle à la ligne de terre, et par D' une parallèle à AG. Le dessin s'achève ensuite au moyen de parallèles à AD et h AA' tirées par B, C, de parallèles à A'D' menées par B', C', et de parallèles à AG tracées par E', F'. Le plan du prisme oblique est donc la figure ABCFDE qui renferme deux triangles égaux et trois parallélogrammes; l'élévation est le parallélogramme A'B'E'D' qui se compose de deux autres. Les droites BG, C'F' sont pointillées, parce qu'elles représentent des lignes cachées, l'une pour le regard vertical, l'autre pour le regard horizontal.

Comparaison des prismes.

400. L'espace renfermé entre toutes les faces d'un corps est ce qu'on appelle le volume ou \a capacité de ce corps: le premier de ces mots s'emploie pour désigner tout l'espace plein compris entre des faces extérieures; le second, pour désigner tout l'espace vide compris entre des faces intérieures: on dit, par exemple, le volume d'une pierre de taille, d'une pièce de bois, d'une barre de fer; la capacité d'une hotte, d'un litre, d'un seau, d'un tonneau.

La capacité du tonneau est bien différente du volume : elle en dilfèi-c de tout l'espace occupé par le bois dont sont faites les parois. Par consé(]uent, la capacité d'un vase quelconque égale le volume du liquide ou des grains qu'il faudrait pour le remplir, et le volume du même vase égale la capacité plus le volume des parois. Toutefois, les relations qui existent entre les volumes, sont les mèuies pour les capacités, et cela doit être, pnis(]ue la capacité d'un vase est toujours le volume du corps ou de l'ensemble dos corps qui le rempliraient.

A0\ . Deux prismes quelconques sont équivalents en volume^ quand ils ont des bases équivalentes et même hauteur.

Si, par exemple, le carré A de la ligure '28 (P. IV), et le triangle ABC de la ligure 51 renfermaient la même superficie,

(juc (Je plus le côté de ce carré é}j;aliil A'G (T. 31) , le volume du cube serait le nu'iue (|ue celui du prisme triangulaire oblique.

Va\ eflt't, cha(]uc corps peut être considéré comme composé de tranches exirtiiifiucnt milices parallèles aux bases; ces tranches sont en même nombre dans l'un et dans raulrc; elles égalent les bases correspondantes (1 10 ou 3 18), et par conséquent, celles du prisme ont même superficie que celles du cube; d'où suit que les doux volumes se trouvent composés d'un même nombre d'éléments équivalents.

402. Deux prismes qui ont des bases équivalentes, se contiewmU comme leurs hauteurs.

Divisons chaque hauteur en parties égales, extrêmement petites, de manière que celles de l'une aient même longueur que celles de l'autre. 11 y aura un nombre N de ces parties dans la plus grande hauteur, et un nombre n dans la moindre; de sorte que ces hauteurs se contiendront comme N contiendra n.

Concevons, par les points de division, des plans parallèles aux bases; ils diviseront les prismes en des nombres N, n d'éléments égaux aux bases respectives (318). J-cs éléments du grand prisme seront donc équivalents à ceux du petit, et par conséquent, les deux corps se contiendront comme leurs nombres d'éléments N, n, c'est-à-dire comme leurs hauteurs.

403. D'une pièce de bois écarric dont l'épaisseur est 0™,4, on veut faire des feuilles de placage qui aient, dans le même sens, une épaisseur de O^jOOO 4, et la scie employée forme une voie de 0'°,0002. Combien obtiendra-t-on de feuilles?

Les larges faces des feuilles seront égales aux faces parallèles de la pièce de bois. Ainsi, cliaque feuille, le vide de la voie et la pièce sont des prismes de même base, dont les épaisseurs forment les hauteurs. Il y aura une feuille de plus que de traits de scie ou de voies. Uetranchons donc de l'épaisseur 0'",4 de la pièce, 0'°,0004 celle d'une feuille; il restera 0™,5996 pour l'épaisseur d'un prisme qui conlieiidia autant de voies que de feuilles. Mais chaque feuille et la voie qui la [)récèdc constituent un prisme dont l'épaisseur est ()"',0002-|-0™,0004 = 0™,UOOG, et l'on aura évidemment autant de feuilles que ce prisme est contenu de fois dans celui «pii a pour épaisseur 0,599 G. Comme ce nombre de fois est le rapport des épaisseurs (402), je divise 0'",39nG par 0",00OG; puis, ajoutant 1 au (juotient GGG, pour tenir compte de la première feuille (jui n'est pas précédi-e d'une voie, et dont l'épaisseur a d'ailleurs été retranchée de celle de la pièce, je trouve G67 pour le nombre des feuilles de placage.

i^>0 COMPARAISON DES PRISMES.

404. Deux prismes de même hauteur se contiennent comme leurs bases.

Quelles que soient ces bases, chacune renferme un certain nombre de mètres carrés qui peut être calculé, et il est facile de construire un rectangle de même superficie (278). Les deux rectangles peuvent devenir les bases de deux prismes droits, de même hauteur que les prismes donnés, auxquels Ils seront équivalents (401). Donc, ces derniers se contiendront comme les prismes rectangles. Partageons les bases de ceux-ci en petits rectangles égaux , et supposons qu'il y en ait N dans la plus grande, n dans la moindre. Ces deux bases se contiendront comme N, n, et il en sera de même des bases données. Mais, les petits rectangles peuvent devenir les bases de prismes droits construits avec la hauteur donnée, et ces prismes seront équivalents (401). En conséquence, les deux grands prismes rectangles se contiennent comme le nombre des petits prismes de l'un contient le nombre des petits prismes de l'autre , c'est-h-dire comme N et n, ou comme les deux grands rectangles, ou enfin comme les polygones qui forment les bases des prismes donnés: tel est donc aussi le rapport de ces derniers prismes.

405. Combien faut-il de briques, pour construire une cloison longue de 8™ et haute de 4" ?

Les briques sont ordinairement posées sur champ , c'est-h-dire sur une de leurs longue» faces étroites ; ainsi leur épaisseur égale celle de la cloison. Prenons ces épaisseurs pour hauteurs des deux prismes rectangles. Celui de la cloison doit contenir celui d'une brique autant de fois que la superficie ôS""™ de sa base contient une grande face de brique (404), Or, cette grande face a 0"',23 sur 0"',112; elle est donc de 0""",02o76. Divisant 32"""' par 0""",02o7G, on trouve 1242 plus une fraction, et Ton en conclut qu'il faut 1243 briques.

406. Deux prismes quelconques se contiennent comme le produit de la base et de la hauteur de l'un contient le produit de la base et de la hauteur de ïaulre.

Soient P, B, Il lo grand prisme, sa base et sa hauteur; p, b, h le petit prisuio , sa base et sa hauteur. Coiiqiarons les deux corps à un prisme Q qui ait B pour base et h pour hauteur. Nous aurons :

P:Q::Il:/j (402),

et si nous multiplions les termes corrospondanls de ces doux

MISIRAGE DE5 PRISMES. 157

proportions, il en résuliora P : p :: H X II : /j >' /j, rar Q pourra élrc supprimé, coiniuc l'acleur coniuiun aux deux ternies du pre niier rapport,

407. Deux prismes sont égaux , quand les arrlcs, ks faces et les coitis de l'un sunt de même grandeur que les parties correspondantes de l'autre (i)i2).

Alors, en effet, l'un des prismes peut se loger exactement dans l'autre supposé creux ; car les bases inférieures se couvriront j)ar tous leurs points; les faces latérales correspondantes ne fornjcionl (pi'un seul plan , à cause de r(''galité des coins; leurs côtés correspondants auront les mêmes points pour extrémités, et par conséquent, les bases supérieures seront aussi superposées dans toute leur étendue.

4()8. Deux prismes droits sont égaux, s'ils ont des bases égales et même hauteur.

Les faces latérales sont alors des rectangles qui se trouvent d'équerre sur les bases; elles se superposent, quand ces bases inférieures se couvrent exactement, et comme deux côtés de ces rectangles égalent la hauteur, les bases supérieures s'appliquent aussi l'une sur l'autre par tous leurs points.

■409. Deux cubes sont égaux,, lorsqu'une arête de l'un égale une arête de l'autre.

Toutes les arêtes de chacun étant de même longueur (390), il y a égalité alors entre les carrés des bases et entre les hauteurs. Or, des cubes soûl des prismes droits (408).

Mesurage des prismes.

410. Un prisme présente 6 choses distinctes à mesurer: une arête, la hanteur, une face, la surface latérale , la surface totale et le volume. Le mesurage d'une arête rentre dans celui des droites (128); le mesurage d'une face revient à celui des triangles, des (juadrilatères , ou des polygones d'un plus grand nombre de côtés. On obtient la surface latérale, en faisant la somme de tous les parallélogrammes qui vont d'une base h l'autre (39G) , et l'on a la surface totale, si à cette somme on ajoute les deux bases. (Juant à la hauteur, elle est donnée par la longueur d'une arête, si le prisme est droit; elle se prend au lil-à-plomb, lorsque le prisme est oblicpic et à bases horizontales; enfin, il faudrait un compas à curseur pour niesurer la hauteur du prisme oblique dont les bases seraient inclinées: les petites branches parallèles du compas devraient s'appliquer sur ces bases, il ne vous reste donc plus (pi'ù savoir mesurer le volume.

i58 MESURAGE DES PRISMES.

4H. L'uniié de mesure, pour les volumes, est ordinairement le volume d'un cube dont Tareie égale l'unité des longueurs: c'est pourquoi l'on dit souvent cuber au lieu de mesurer un volume. Si l'arête est de 1 mètre, I décimètre, 1 centimètre, 1 millimètre, l'uniié cubique prend le nom de mètre cube, décimètre cube, cmtimètre cube, millimètre cube, et se représente par 1"°% 1"^% 1", 1""'', Cependant, le cube dont l'arête est de 1"", s'appelle stère, dans le mcsurage du bois, et celui dont l'arête est de 0"",! porte le nom de litre, dans le mesurage des capacités.

Le prisme carré est aussi employé pour unité des volumes: le côté du carré de la base doit alors égaler une des unités linéaires, le mètre par exemple, et la hauteur, une autre unité plus petite, comme le décimètre, le centimètre, le millimètre.

Le mesurage du bois écarri est h peu près le seul où il soit l'ait usage d'une unité prismatique, et on l'y emploie pour éviter les petites fractions du stère. La base du prisme est un njètre carré, et sa hauteur, un décimètre , ce qui rend le volume égal à un décistère (402).

412. Tout prisme rectangle a pour volume le produit de sa base et de sa hauteur.

Cet énoncé signifie que le prisme contient l'unité de volume, cubique ou prismatique, autant de fois qu'il y a d'unités abstraites dans le produit de la base et de la hauteur, respecti\ement mesurées avec la base et la hauteur de l'unité employée.

Effectivement, deux prismes P, p, dont les bases sont B, b, et les hauteurs II, h, ont pour relation (406) la proportion

BXU P:p::BxIIl6X/t. En conséquence, P = p , expression

BxH ^'X^

dans laquelle est un nombre abstrait, un simple rapport,

bXà

puisque B, b sont, par exemple, des mètres carrés, et II, h, des mètres, ou des décimètres, des centimètres, etc. Or, si p représente l'unité de volume, b est une unité de superficie et h

Bxn

une unité de longueur. On a donc alors P=:» =7)(B X II),

° IXl

égalité conforme h la signification du principe.

Mais, puis(|ue ;)=! , nous pouvons écrire aussi P=Bx H, pourvu que nous donnions à ce produit l'indication m.c ou d.s qu'avait J9. L'énoncé du principe est donc juste aussi.

Vous voyez par là que, si l'on écrit P = 2""" X 3"" = (>'', c'est uniquemoni pour rappeler les unités avec lesquelles ont été mesurées B, II, puis l'unité de volume supprimée, et non pas parce que des mètres carrés multipliés par des mètres donnent des mètres cubes : un tel produit ne fournirait en effet que des

MEiLnAGE DES PIUSMES. 159

mètres carrés, puisque le niulliplicaleur iii(li(|ue seulement combien »Jc fois le mulli[ilican(lc doit ùlve répété en addition.