PROBLÈME DIXIÈME

Tracer les lignes horaires sur une surface cylindrique droite et verticale.

Nous ne considérons ici que le cylindre géométrique, c’est-à-dire celui dont la base est uue circonférence de cercle. Toute surface cylindrique n’est droite que dans un sens , dans le sens parallèle à l’axe : dans tout autre sens, elle est courbe. Ainsi toute ‘ligne tracée sur une pareille surface est une ligne courbe , à moins qu’elle ne soit menée parallèlement à l’axe du cylindre. Les droites tracées ainsi sur une surface cylindrique, s’appellent assez souvent les génératrices de cette surface, parce qu’on peut en effet concevoir cette surface comme engendrée par l’une quelconque de ces droites, tournant parallèlement à elle -même autour du cercle qui sert de base au cylindre.

1 . Supposons donc qu’on a un cylindre droit, c’est-à-dire dont l’axe est perpendiculaire à la base ; que ce cylindre est posé verticalement au milieu d’un jardin , et qu’on veut y tracer un cadran solaire méridional.

GNOItlONIQUE GRAPHIQUE.

SOLUTION

1 . On cherchera d’abord quelle est la génératrice de la surface donnée qui est dans le plan du méridien céleste, ce qui peut se faire de plusieurs manières dilférentes. Un point de la méridienne étant trouvé , on tracera cette ligne sur la surface du cylindre, au moyen d’un fil à-plomb.

2. La méridienne étant tracée, on plantera en un de ses points un faux style , perpendiculairement à la surface donnée , et on le fera servir d’appui au véritable style, qui fera avec celui-là un angle égal à la latitude du lieu , et ira s’enfoncer dans la surface en un autre point de la méridienne, placé au-dessus du premier.

La méridienne est la seule ligne horaire qui puisse être une ligue droite sur notre surface , par la raison que le méridien est le seul cercle horaire qui soit vertical, et dont le plan, par conséquent, passant par l’axe du cylindre, en rencontre la surface suivant deux droites opposées et parallèles. Tous les autres plans horaires coupent le cylindre plus ou moins obliquement, et leurs intersections avec sa surface sont des ellipses diversement allongées.

Il y a un point de la surface cylindrique qui appartient à toutes ces courbes, c’est celui où elle est pénétrée par le vrai style : car ce point

îi*

SV

: t h * jm v

54 GN0M0N1QBE GRAPHIQUE-

appartenant à l’axe du monde représenté par ce style, et cet axe étant une droite commune à tousles plans horaires, le point en question est dans tous ces plans, et par suite dans leurs intersections avec la surface donnée. Mais il faut à présent trouver d’autres points de ces intersections, pour pouvoir tracer chacune d’elles avec une suffisante précision. Voici quelle est la méthode qu’on suivra pour cela.

5. On concevra un plan vertical, passant par l’axe du cylindre , et perpendiculaire au méridien. Sur ce plan on tracera un cadran solaire, dont le style soit le prolongement de celui qui est fixé sur la surface cylindrique.

4 . Au-dessous du plan vertical on imaginera un plan horizontal , qui est celui de la base du cylindre; et sur celui-ci on tracera un autre cadran solaire, disposé de manière que son style . soit le prolongement du style de l’autre , et que la méridienne et les autres lignes horaires se rencontrent aux mêmes poiuts de la ligne qui sépare les deux plans, ou plutôt qui est leur section commune. On aura donc ainsi les traces des plans horaires sur deux plans perpendiculaires l’un à l’autre.

5. Du point où la méridienne du cadran vertical rencontre le plan horizontal, et avec un * rayon égal à celui du cylindre , je décris sur

ce dernier plan une demi -circonférence , qui

me représente la base de la moitié antérieure de ce cylindre. Sur chacun des points de cette demi-circontérence s’élèvent les diverses génératrices de la surface cylindrique , que l’on peut tracer facilement sur le plan vertical.

6. Je divise la demi-circonférence décrite en un nombre quelconque de parties, par des droites parallèles à la section commune des deux plans, et je considère toutes cesdroites comme les traces horizontales d’autant de plans verticaux, parallèles à celui que l’on a mené par l’axe du cylindre. Ces plans couperont la surface cylindrique, chacun suivant deux de ses génératrices , dont la position sera connue par les points où ils rencontrent la circonférence de la base, et qu’on pourra par conséquent tracer sur le plan vertical mené par l’axe.

7. Les intersections de tous ces plans verticaux avec la surface cylindrique étant tracées , on cherchera de la manière suivante les points où elles sont rencontrées par les plans horaires. Je prends pour exemple le plan horaire de trois heures.

8. Par tous les points où les plans parallèles coupent la base du demi-cylindre, et seulement du côté de la méridienne où la ligne horaire est placée , on mènera des parallèles à cette ligne de trois heures, prise sur le cadran horizontal. Des points où ces parallèles rencontrent la secr

GNOMOMQUE GRAPHIQUE.

tion commune, on élèvera des verticales terminées par la même ligne horaire prise sur le cadran vertical. Enfin , par ces points derencontre, on mènera des parallèles à la section commune, qui iront couper quelque part les génératrices correspondantes aux divers points de la base.

Ces points d’intersection donneront les hauteurs où le plan horaire de trois heures rencontre ces différentes génératrices.

g. On fera passer par tous les points ainsi trouvés, et par celui qui répond perpendiculairement à l’origine du style , une courbe continue, qui sera, non la ligne horaire de trois heures tracée sur la surface cylindrique, mais la projection de cette ligne sur le plan vertical mené par l’axe. Pour avoir cette dernière ligne telle qu’elle est, il faut développer le cylindre en un plan, et voici comment.

10. On prendra une ligne droite égale en longueur àla circonférence du cylindre:on élèvera sur cette droite les perpendiculaires, espacées entre elles comme l’étaient les génératrices de la surface cylindrique dans la construction précédente. Sur celle de ces perpendiculaires qui représente la méridienne du cylindre , on pren- ^ dra une hauteur égale à celle où est fixé le vrai style; et sur les perpendiculaires suivantes on marquera les points trouvés tout à l’heure, et dont les hauteurs au-dessus de la base sont

Ti

GNOMONIQUE GRAPHIQUE. 5y

maintenant connues. Parles points qui appartiennent à une même heure , et par l’origine du style, on fera passer une courbe, qui sera la véritable ligne horaire développée sur un plan. On fera les mêmes contructions pour toutes les lignes horaires du cadran demandé; et lorsqu’elles seront toutes ainsi développées sur un même plan , il ne restera plus qu’à appliquer ce plan , que je suppose flexible, sur la surface du cylindre, en ayant soin de faire concourir l’origine commune de toutes les courbes avec le point de la surface où le style doit être implanté. Les lignes horaires prendront alors la courbure et la position quelles doivent avoir. On pourra les graver ainsi sur ce cylindre, et le cadran demandé sera construit.

Par la nature de notre cadran, il est aisé de voir que les lignes horaires du matin sout semblables à celles du soir, et que la même construction doit donner les unes et les autres. Ainsi le travail est réduit de moitié par cette observation.

Au cadran méridional que nous venons de construire, on pourrait donner/pour supplément un cadran septentrional , construit sur la moitié opposée du cylindre. La chose, après ce que nous avons fait jusqu’ici, offre peu de difficultés, et nous la laisserons à faire au lecteur.

IL Nous ajouterons id une méthode pour

Jp

Ht v