PROBLÈME ONZIÈME ET DERNIER

Construire un cadran solaire sur une colonne cylindrique , surmontée d'un chapiteau cir culaire d’un diamètre plus grand que celui de la colonne, de manière que l'heure soit indiquée par T ombre de ce chapiteau .

En général , dans les cadrans solaires, l’heure est indiquée par l’ombre d’un style, qui par- * court la surface du cadran, et coïncide successivement avec chacune des lignes horaires. Dans le casprésenl, c’est autre chose. D’abord , le cadran demandé ne doit point avoir de style, puisqu’on veut que l’ombre du chapiteau y marque les heures; de plus, les lignes horaires, par le même défaut de style, ne peuvent plusy être les intersections des plans horaires avec la surface du cadran : ce sont des lignes qui doivent être tracées par d’autres considérations.

D’un autre côté, l’ombre du chapiteau, à, une même heure, tombant sur la colonne, ou plus haut ou plus bas, selon que le soleil à cette heure est plus ou moins élevé au-dessus de l’horizon, il suit que si l’on voulait que l’heure fut marquée par tout le bord de l’ombre, il faudrait tracer sur la colonne une infinité de courbes qui se croiseraient de toutes les manières, d’où nai-

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CNOMONIQUE GRAPHIQUE.

trait une confusion extrême, qui rendrait la chose impraticable et inutile. Ce n’est donc pas par le bord continu de l’ombre, mais par quelques points remarquables de cette ombre, que l’heure doit être donnée. Ces points sont ceux où l’ombre du chapiteau se termine sur la colonne.

Bien que l’ombre du chapiteau et sa courbure varient journellement sur la colonne pour une même heure, néanmoins cette ombre peut toujours y être renfermée entre deux lignes parallèles, distantes entre elles horizon talement, dans tous leurs points, d’une quantité égale à la demicirconférence du cylindre; car il est facile de voir que le soleil , à chaque instant , éclaire toujours une moitié de la colonne. Les deux * parallèles étant tracées pour une certaine heure , on sera donc assuré qu’il est cette heure-là , toutes les fois que l’ombre du chapiteau se trouvera comprise entre elles. Nous avons vu quelque chose de semblable pour un certain cadran sphérique. Le problème actuel a donc pour objet de tracer ces sortes de lignes, pour toutes les heures de la journée, sur une colonne d’un diamètre connu, et pour un chapiteau pareillement donné.

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GNOMOJUQUE GRAPHIQUE.

SOLUTION

La colonne étant dans une position verticale, si l’on conçoit des plans passant par son axe et par le soleil, ces plans rencontreront la surface du cylindre suivant des droites verticales, qui seront celles qui répondent directement au soleil , et passent par le milieu de l’ombre du chapiteau. A l’heure de midi, le soleil étant toujours dans le méridien, et le plan de ce cercle horaire, qui est vertical, passant en cette qualité par l’axe de la colonne, il sait que pendant toute l’année le soleil , à cette heure , répond constamment à la même génératrice de la surface cylindrique , et que l’ombre du chapiteau est aussi toujours terminée des deux côtés aux • mêmes verticales. Ainsi en traçant de haut en bas , sur la colonne , deux lignes droites, éloignées d’un quart de cercle de celle qui répond au soleil quand il est au méridien, on aura les lignes horaires de midi , et il sera midi en effet toutes les fois que l’ombre du chapiteau sera comprise entre ces deux droites.

Pour toute autre heure , le soleil à cette heure sera bien toujours dans le même cercle horaire , mais non pas dans le même vertical : car les cercles horaires, autres que le méridien, ne passant pas par le zénith . ne peuvent se confondre

GWOMONIQUK GRAPHIQUE.

avec aucun des cercles verticaux, et coupent ceux-ci à des hauteurs différentes, selon qu’ils s’écartent plus ou moins du méridien. Il suit de là que, selon que le soleil sera plus haut ou plus bas dans un cercle horaire, il se trouvera en même temps dans un vertical plus éloigné ou plus rapproché du méridien, et par suite il répondra, à la meme heure, à des verticales différentes sur le cylindre. La ligne qui à cette heure divisé en deuxj^rt^és égales l’otnbre du chapiteau dans les divers temps de l’année, n’est donc plus une ligne droite , mais bien une ligne courbe, ainsi que celles qui doivent terminer cette ombre des deux côtés , et qui lui sont parallèles. Toute la diflicultédu présent problème consiste donc à tracer ces courbes pour chaque heure du jour , ce qui se réduit à trouver les points où elles coupent les diverses génératrices de la surface cylindrique. Or, pour cela, il y a deux constructions à faire : la première pour avoir le vertical du soleil, autrement dit son azimuth , et sa hauteur au-dessus de l’horizon , à une heure et à une époque données ; et la seconde pour marquer, d’après cela, les limites de l’ombre du chapiteau sur le cylindre dans les mêmes circonstances. Exposons d’abord la première construction.

r . *, ■ . * i . Avec un rayon un peu grand , pour que i*

figure soit plus distincte et la construction plus