GNOMON1QUE GRAPHIQUE

piaae. On aura soin aussi de lier leurs extrémités supérieures et inférieures par deux courbes.

i a . Enfin, en appliquant le plan du développement sur la surface de la colonne , toutes ces lignes prendront la courbure qu’elles doivent avoir; et si elles ont été placées au-dessous du chapiteau à la distance qui convient, et qu’on ait fait coïncider les lignes de XII heures avec les deux verticales qui terminent la partie éclairée de la colonne à l’heure de midi , on pourra les graver alors sur la surface donnée, et le cadran solaire demandé sera construit; c’est-à-dire que tous les jours de l’année , à mesure que le soleil arrivera à quelqu’un des cercles horaires . célestes, l’ombre du chapiteau atteindra quelqu'une de nos lignes horaires, Jia ligne corres • .pondante, de façon qu’à chaque insfàntle cadran indiquera l’heure qç’il est.au soleil. Le problème proposé est donc résolu.

Comme la vucfeüibçiàsç toujours Jt peu près la moitié du cylindre, et que l’heure est indiquée à la fois parles deux ex tnlriiités dé l’ombre, toujoursdistantes entre elles d'une demi-circonférence, il est. facile de sentir que dans cette espèce de cadran on pourra toujours voir l’heure qu’il est , quelque part qu’on soit placé autour de la colonfogi : * , ‘ ’ *'■ ... * ,

ou

Solution par la seule analyse, de ce problème général : Trouver Us intersections des cercUs horaires avec une surface donnée.

La gnomonique a pour objet de tracer les intersections des cercles horaires avec une surface donnée. Divers auteurs ont traité ce sujet plus ou moins complètement : les uns n’ont presque indiqué que les moyens mécaniques; d’autres se sont appuyés de considérations géométriques, et ont enseigné des procédés graphiques; quelques-uns ont emprunté le secours delà Trigonométrie, et ont employé le calcul. Je n’en connais aucun qui n’ait fait usage pour cela que de la seule analyse (*). Cependant il m’a paru que ce moyen devait conduire à dès

r) On trouve ce même sujet traité analytiquement , mais d’une manière différente, dans la nouvelle édition de Y Astronomie physique de M. Biot , laquelle est postérieure à la lecture de ce Mémoire.

résultats plus généraux , dispenser de la considération des triangles, et fournir des formules simples, et dont l’application n’a besoin que delà connaissance et de l’usage d’une table de sinus. J’ai donc cherché par les méthodes connues de l’analyse, la solution de ce problème général : Trouver les intersections des cercles horaires avec une surface connue , plane ou courbe ; mais j’ai cru devoir suivre une marche progressive et graduée, et commencer par les cas les plus simples, pour passer ensuite à ceux qui sont plus compliqués. Outre que cette méthode fatigue moins l’esprit , elle a encore cet avantage, que les solutions particulières obtenues d’abord servent ensuite à vérifier la solution générale du problème, dans laquelle elles doivent se trouver renfermées. Mais avant de présenter ici le tableau des formules qui conviennent aux divers cas que j’ai examinés, je pense qu’il est à propos de faire connaître la marche que j’ai suivie poulies obtenir.

J’ai pris pour les plans rectangulaires coordonnés auxquels doivent se rapporter tous les points de l’espace, les plans de Y horizon, du méridien et du premier vertical. J’ai cherché , dans ce système, l’équation générale des cercles horaires, ou plutôt de leurs plans; et en combinant cette équation, i°. avec celleduplan de l’horizon, j’ai eu la formule qui donne la direc-

GNOMONIQUE ANALYTIQUE. y5

tion des lignes horaires sur le plan horizontal ; 2 °. avec celle du premier vertical, j’ai eu de même la direction des lignes horaires sur ce dernier; 5°. avec celle du méridien, je n’ai trouvé qu’une équation où l’angle horaire n’entre plus , et qui appartient à l’axe du monde , lequel est, comme on sait, la commune intersection de tous les cercles horaires. Il n’y a donc pas d’autre ligne horaire sur le plan du méridien. Mais ces lignes peuvent être tracées sur un plan parallèle au plan du méridien ; et l’on obtient la formule pour ce cas, en traitant l’équation des cercles horaires avec celle de ce plan parallèle.

L’application des formules trouvées suppose qu’on sait tracer une ligne méridienne sur le plan donné. Les méthodes pour tracer une pareille ligne sur un plan horizontal sont assez généralement connues (*). Maintenant si, sur cette méridienne horizontale, on prend un point, que l’on considérera comme le centre de la sphère, et qu’à ce point on fixe un style exactement dirigé vers le pôle, ce style représentera l’a.re du monde , autour duquel se fait le mouvement diurne dn soleil ; et si de ce même centre

(*) Pour la manière de tracer une méridienne horizontale , voyez Y Élude du Ciel, pag. 65 et i83.

on mène des droites qui fassent avec la méri dienne les angles indiqués par la formule , ces droites seront les lignes horaires demandées. Comme ces angles sont doonés par leurs tengentes , on tracera ces lignes avec plus de facilité en élevant une perpendiculaire au bout de la méridienne, et prenant sur cette perpendiculaire les valeurs des tangentes pour un rayon égal à la partie de la méridienne comprise entre le centre et la perpendiculaire. Ce procédé est extrêmement simple, et facile à exécuter. v *,

Pour le plan du premier vertical, toute ligne droite menée bien d a-plomb est u ne méridienne. Le point de cette ligne où l’on plante le style, toujours exactement dirigé «vers le pôle , est le centre-de la sphère, et l’origine commune.de toutes les lignes horaires, que l’on pourra encore tracer par le moyen qu’on vient de dire. •Enfin, pour le plan parallèle au plan du méridien , il ne pourrait y avoir de méridienne ni de centre ; mais le style regardant toujours le pôle , et étant porté par une verge de métal perpendiculaire au plan, les lignes horaires seront toutes parallèles entre elles et à la droite menée par le pied de la verge parallèlement au style, c’est-à-dire qu’elles seront toutes dirigées vers le pôle. Cette dernière droite sera |a' ligne de six heures, et les autres lignes horaires.