GNOMOTUQÜB AIULYtlQüE. u

est le complément de l’abaissemènt du plan relativement au méridien, pour tous ceux qui passent par la ligne nord-sud.

Pour les plans inclinés passant par l’axe du méridien , la ligne méridienne peut se tracer de la même manière que sur un plan horizontal; et le style doit être planté sur un point de cette méridienne, de manière que son ombre tombe sur cette ligne à l’heure de midi, et qu’il fasse avec elle un angle égal à la latitude plus ou moins l’inclinaison du plan. Sur les plans abaissés passant par l’axe du premier vertical, une ligne horizontale quelconque peut servir de méridienne : un point de cette ligne servira de centre, et le style sera fixé à ce point. On aura soin de le placer dans le pla'n du méridien, et de lui faire faire avec la ligne méridienne un angle égal à la latitude.

Parmi les plans inclinés qu’on vient de considérer, il y en a un qui coïncide avec l’équateur, et par conséquent sur lequel les lignes horaires font toutes entre elles des angles égaux ; comme les cercles horaires entre eux. 11 en est encore un autre qui passe parles pôles , et pour lequel les intersections horaires se réduisent à une seule ligne, qui est l’axe du monde. Mais dans ce cas , il faut placer le style hors du plan, et considérer celui-ci comme étant simplement parallèle à celui qui renferme l’axe de la sphère.

GNOMONIQOE ANALYTIQUE.

On trouve ainsi que toutes les lignes horaires sur ce plan sont des lignes parallèles entre elles, et parallèles à l’axe : leur distance mutuelle dépend de l’éloignement du style, qui doit être regardé comme l’intersection commune de tous les cercles horaires.

Nous avons j usqu’ici parcouru les cas les plus simples : il faut enfin envisager le problème sous le point de vue le plus général. 11 s’agit donc à présent de tracer les lignes horaires sur un plan situé d’une manière quelconque, ayant telle déclinaison et telle inclinaison qu’on voudra. On peut supposer que le plan était d’abord vertical, ayant une certaine déclinaison, et qu’on l’a ensuite incliné à l’horizon d'une quantité connue. Dans ce cas, l’angle qu’il fait avec le premier vertical change, et la détermination de ce nouvel angle offre quelque difficulté. L’angle avec l’horizon se trouve comme on a dit : pour avoir celui avec le premier vertical, il faut à l’extrémité de la tringle perpendiculaire au plan donné, ajuster un fil horizontal, et situé dans le plan du méridien. L’angle que ce fil fera alors avec la tringle métallique sera l’angle demandé ou son complément. On peut, au lieu de cet angle, employer celui que la trace du plau donné sur le plan de l'horizon fait avec la méridienne horizontale, ou trace du méridien sur le même plan horizontal. Au reste, oii peut

gjj G NO MONIQUE ANALYTIQUE.

passer facilement de l’un de ces angles à l'autre, et calculer indifféremment la formule pour l’un

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ou pour 1 autre cas.

En prenant le plan donne pour un des plans coordonnes, et sou intersection avec le plan horizontal pour un des axes, les deux autres plans étant pris perpendiculaires entre eux, et à celui-ci, si l’on fait usage des transformations connues, et qu’on les introduise dans l'équation des cercles horaires, tous les points de leurs plans sc trouveront rapportés au nouveau système, et l’on parviendra ainsi à une formule qui donnera toutes les lignes horaires par les angles quelles font avec la trace horizontale du plan donné. On trouve même par ce moyen la méridienneduplan, snrlaquelleon prendra un point " pour fixer le style dans la position convenable.

La formule que l’on obtient pour ce cas général est, connue de raison, plus compliquée que les précédentes, puisque outre l’angle horaire, il y entre deux autres angles variables pour chaque plan. Mais on peut encore la réduire à deux termes, dont l’un est constant pour le plan donné, et l’autre est variable, comme dépendant de l'angle horaire. Ainsi le calcul en est encore assez facile, et les lignes horaires se tracent toujours de la même manière. On peut - aisément vérifier cette formule générale, et y retrouver tontes celles obtenues précédemment

pour les cas plus simples qu’on a examinés d’abord. •

Le problème des lignes horaires sur une surface plane ayant été résolu complètement, je passe à celui qui a pour objet de tracer ces lignes sur une surface courbe; et comme ici il faut nécessairement se borner, j’ai choisi les surfaces courbes les plus connues, et dont la génération est plus facile à concevoir : elles sont toutes prises parmi les surfaces du sçcond ordre. Je commence donc par la surface sphérique , dont l’équation est fort simple lorsque le centre est à l’origine des coordonnées. Toutes les sections de cette surface par les plans horaires sont évidemment de grands cercles disposés autour de l’équateur de cette sphère, comme les cercles horaires autour de l’équateur céleste. Pour que le style, que nous supposons passer par le centre de la spliere , puisse indiquer l’heure par son ombre, il est nécessaire que la sphère soit transparente, ou quelle soit réduite à une demisphère, la moitié superflue étant détachée par un plan perpendiculaire au méridien et passant par l’axe : les lignes" horaires doivent alors être tracées sur la concavité de l’hémisphère restant.

Après la surface sphérique, je considère la surface cylindrique, dont la base est unecircouference de cercle. Je suppose que 1 axe du cylindre passe par l’origine , et je le place d’abord

GNOMONIQÜE ANALYTIQUE.

dans une situation verticale; et combinant l’équation de cette surface avec celle des cercles horaires, je trouve que leurs intersections sont en général des ellipses. Pour pouvoir tracer ces courbes sur la surface donnée, je traverse le cylindre d’un style qui coupe son axe, et qui, sortant des deux côtés, se dirige vers les pôles. Je conçois un plan horizontal qui coupe le cylindre à la hauteur du point où son axe est rencontré parle style; et imaginant le cylindre coupé par unesuite de plans verticaux passant tous par son axe, j’observe que ces plans coupent la surface cylindrique suivant des droites verticales, dont la position sur cette surface dépend de la déclinaison des plans coupans. Maintenant si l’on cherche les points de rencontre de ces droites avec la section faite par un cercle horaire donné, on aura sur la surface cylindrique une suite de points, par lesquels faisant passer une ligne courbe, ce sera la ligne horaire correspondante. La section horizontale faite dans la surface cylindrique est la limite de laquelle 011 doit compter, soit au-dessus, soit au-dessous, les distances verticales qui doivent donner les points de rencontre cherchés.

Outre celte position verticale de l’axe du cylindre, j’en ai examiné encore deux autres. J’ai supposé cet axe coïncidant d’abord avec l’axe du monde , et ensuite avec l’intersection de le-

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quateuretduméridien. Dans celte dernière position, les sections faites dans la surface cylindrique sont encore en général des ellipses; et l’on trouve les diflérens points de leurs cours par la même méthode que tout à l’heure. Dans l’autre cas, les intersections horaires sont toutes des lignes droites, parallèles à l’axe ; le cylindre doit être transparent, ou bien réduit à un demicylindre par un plan mené par son axe perpendiculairement au méridien, et alors les lignes horaires sont tracées sur sa concavité, et l’axe du cylindre sert de style. La surface cylindrique pourrait se trouver dans d’autres positions, et l’on aurait de même les lignes horaires.

Je n’ai pas cru devoir résoudre le problème dans toute sa généralité : mais l’on voit aisément quelle est la marche qu’il faut suivre pour cela.

La surface du cône géométrique ou cii'culaire a donné lieu à des considérations semblables ; mais pour celle-ci, le style devant passer par le sommet du cône, qui est le centre de la surface conique, et tous les plans horaires passant par conséquent par le même point, il suit que leurs intersections avec cette surface sont des lignes droites menées du sommet à quelque point de la base. Eu plaçant le cône dans une position > verticale, ou trouve les points où doivent aboutir les lignes horaires, en cherchant la trace de k la surface conique sur un plan parallèle au plan

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de l’horizon, lequel est censé passer par le sommet t}u cône; et eusuite la trewe des cercles^ horaires sur le même plan : les points communs .à ces deux traces sont -Jes points cherchés.

SlTaxe dn cône est couché dans, le plan de l’équateur et du méridien , et que le plan de sa base soit toujours perpendiculaire à cet axe, eti prenant le plan de l’équateur et celui du cercle horaire de six heures pour deux des plans coordonnés, et ne conservant que le méridien , on transfot'mera.convenahlement l’équation des cercles horaires , et l’on Obtiendra , comme cidessus, la détermination des points par lesquels doivent passerl.es lignes'horaires demandées.

Dans le cas où le cône étant fotij ours "dans la position qu’on vient de dire, sa & rTaêe se prolongerait ju r qu’à larencontre d’un plan horizontal : alors en partant de l’équqlion primitive de .cette surface, on chércherait.cncore sa trace sur un plan parallèle pu plan horizontal passant par le sommet , et la trace des cercles horaires sur le même plan : les rencontres de ces traces seront, les points où doivent arriver les lignes horaires menées du sommet. * > ,

Enfin, l’axe du. cône peut coïncider avec l’axe du monde, et les lignes horaires se trouvent dans cette positiônicomme dans la précédente ; mais il faut encore ici , ou que le cône soit .

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transparent ou qu’il soit réduit à la moitié par un plan perpendiculaire au méridien, et passant par l’axe : les lignes horaires sont alors tracées sur la concavité de la partie restante. On trouverait ces lignes de la même manière pour toute autre position de la surface conique.

Enfin , i’aieherché les intersections des cercles horaires avec l ’ ellipsoïde } \' hjrperboloïde et le paraboloïde de révolution. Les deux premières surfaces ayant un centre , c’est là que je place l’origine des coordonnées, et c’est aussi là que doit être fixé le style. Si l’axe de la révolution est vertical, l’équation de la Surface sera plus simple, et eu cherchant sa trace sur un plan horizontal parallèle à celui qui passe par le centre, et celle des cercles horaires sur le même plan, on trouvera de? points par lesquels doivent passer les lignes horaires demandées. S’il s’agit de l’ellipsoïde, ces lignes devant aussi passer par les points où le style rencontre la surface de l’ellipsoïde, ôn aura tout ce qu’il faut pour les tracer. Mais le moyen de description le plus simple consiste à attacher un fil à l’intersection du style dans la surface , et à le tendre sur cette surface en Je faisant passer successivement par les points trouvés sur le plan horizontal ; les lignes tracées le long du fil seront les lignes horaires. Dans le cas où l’axe de l’ellipsoïde serait dans toute autre position , il

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serait facile de les avoir encore en faisant usage de ce qui a été dit ci-dessus.

Pour l’hyperboloïde dont l’axe est vertical , on trouvera de même sur un plan donné horizontal formant la base de cette surface, les points par lesquels doivent passer les différentes lignes horaires, et pour les tracer plus facilement, comme elles doivent avoir la forme d’une hyperbole, on cherchera le sommet de cette hyperbole, en déterminant la position du plan horizontal où les deux points donnés par chaque cercle horaire se réduisent à un seul; alors faisant passer un fil par ces trois points, ce fil tracera sur la surface courbe l’hyperbole qui est la ligne horaire cherchée. On ferait de même pour toute autre position de l’axe de l’hyperboloide.

Dans le paraboloïde, il n’y a pas de centre.

C’est donc par le sommet que doit passer le style; et si l’axe du paraboloïde est vertical , le style pénétrera dans l’intérieur, et viendra sortir quelque part à la surface. Toutes les lignes horaires partiront donc de ce point; et, après avoir trouvé comme ci-devant les points où ces lignes rencontrent le plan horizontal de la base du paraboloïde, on tendra un fil entre ces deux points, qui marquera la direction de la ligne horaire. Telle est la méthode que l’on peut suivre pour tracer ces sortes de lignes sur la sqrface du paraboloïde de révolution.

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Cest ici que mon travail s’est terminé : ce sont là les divers cas du problème général énoncé au commencement, dont j’ai cherché la solution. J’y ai seulement ajouté , par forme à' Appendice } le moyen de marquer sur la méridienne le jour de l’entrée du soleil dans chaque signe de l’écliptique, et les formules pour tracer, sur les plans de l’horizon et du premier vertical , la roule journalière du rayon solaire qui passe par l’extrémité du, style, ou par l’ouverture du gnomon. • *' *