I. SUR UNE SURFACE PLANE

J Sur les plans de l’horizon, du premier vertical , du méridien, et ceux qui leur sont parallèles.

Je prends' pour plans rectangulaires coordonnés, les plans du méridien , de l’horizon et du premier vertical le méridien est le plan desarz, le premier vertical celui des jz, et l’horizon est le plan des xj-. Pour éviter toute confusion dans les signes, je considérerai les coordonnées comme positives dans l’angle trièdre supérieur , occidental et méridional. D’après cela, l’équation d’un, cercle horaire , ou plutôt de son plan , est

:t>sin L -f- jr cot AH -f- z cos. L= o.

L est la latitude ,• et AH est l'angle horaire, ou l’angle que le cercle horaire fait avec le méridien. On fera tang et cot Ail positifs du côté des,/ négatifs, et négatifs du côté des jr positifs; ce qui revient à considérer l’angle horaire comme positif dans la partie orientale, et comme négatif dans la partie occidentale.

i°. I/équation du plan de l’horizon étant z — q, l’intersection du cercle horaire avec l’horizon aura pour équation ,

y — — x sia L tang AH ;

GNOMONIQUE ANALYTIQUE. gj

c’est la formule pour un cadran solaire horizontal. Cette formule est, comme on voit, l’équation d’une ligne droite passant par l’origine, et faisant avec la méridienne un angle v, dont la tangente estsin L Lang AH. Ainsi tang v = sin L tang AH.

2 °. L’équation du premier vertical étant x=o, l’interseçtion du cercle horaire avec ce plan aura pour équation ' . l; ,{ . '5,

y = — z cos L tang AII,

tang v = cos L tang AH.

C’est la formule pour un cadran solaire vertical sans déclinaison.

3°. L’équation du plan du méridien étant y — n l’intersection des cercles horaires avec ce plan a pour équation

x sin L -f- s cos L = o-;

c’est l’équation de l’axe du monde; c’est-à-dire que toutes les lignes horaires se réduisent sur ce plan au seul axe qui est la section commune de tous les cercles horaires. . - ...

4°. L'équation d’un plan parallèle au méridien étant

l’intersection des cercles horaires avec ce plan aura pour équation

y , * cot AH

X = — Z cot L ±Z ;

sin L

c’estla formule pour les cadrans verticaux parallèles au méridien : « est la distance horizontale du style au plan. Si par le pied de la tringle perpendiculaire nu plan qui porte le style; on trace sur ce plan une droite parallèle

au style, l’équation de cette droite sera x — — z cot L; et si par le même point , on mène sur le plan une verticale , ce sera sur cette verticale qu’il faudra prendre la quantité ? A COt j et par les points ainsi trouvés, on sin L

mènera les lignes horaires parallèlement à la première droite.

Si dans la première formule on fait L = o, il vient o, équation de l’axe des x. Toutes les lignes horaires se réduisent donc à cet axe , qui est alors 1 axe du monde.

5". L’équation d’un plan parallèle à l’horizon étant

l’intersection des cercles horaires avec ce plan aura pour équation

x sin L -f -y cot Ali ±l.P cos L = o ; et à cause de sin L = o , et de cos L = i , cette équation se réduit à

y = ±/3 tang AH :

c’est la formule pour les cadrans horizontaux à l’équateur.

Si dans la deuxième formule ci-dessus on fait... L=go°, il vientj - = o, qui est ici l’équation de l’axe des z : c’est que cet axe coïncide alors avec l’axe du inonde , et qu’il ne peut y avoir d’autre ligne horaire sur le plan du premier vertical, pour lequel on peut prendre tout plan vertical quelconque passant par cet axe.

6°. L’équation d’un plan parallèle au premier vertical étant

GNOMONIQÜE ANALYTIQUE.

l’iptcrsection des cercles horaires avec ce plan aura pour équation

dzysin L'-f-.y côt AH -f- z cos L=so; ,

et à cause de sin L = t , et cos L = o , cette e'quation se réduit a . * • •' « -

y — zpy tang AH:

c’est la formule pour les cadrans verticaux aux pôles de la terre. ' . ’’ ;

§. Sur un plan vertical avec déclinaison.

■j 0 . En appelant D la déclinaison d’un plan vertical , c’est-à-dire l’angle qu'il fait avec le premier vertical , en allant d’occident en orient et passant par le sud , l’équation de ce plan sera :

a: cos D — ■j' sin D = o. *

En combinant cette équation avec celle des cercles horaires, on arriverait à des équations appartenant aux projections des intersections de ces plans ; mais il faut avoir les intersections elles-mêmes sur le plan donné. Je prends donc ce plan pour celui des ÿx’ ; un vertical perpendiculaire à celui-là sera le plan dés xV, et le plan de l’horizon sera celui des ÿz' . Les formules pour la transformation des coordonnées seront ici

x==/sinD — x'cosD, et y=x' sin D -j-ÿ cos D.

L’éqùation des cercles horaires devient, au moyen de

cette transformation,

x' (sin D cot AH — cos D sin L )

-\-y (sin D sin L -f- cos D cot AH ) -f- / cos L = o.

GNOMON1QUK ANALYTIQUE.

L’équation du plan vertical donné étant alors ar'=<», l'intersection cherchée a pour son équation

cos L

sin D siu L -fctos D cot AH*

C’est la formulé pour les -plaus verticaux déclinans , c’est l’équation d’une droite qui fait avec l’axe des z, ou la méridienne verticale, un angle v dont la tangente est exprimée par ‘ \ v

cos L ’ - »

sin 0 siu L -f- cos D cot AH ’ •»

par conséquent ’ » \ ■

■ , n , T . cosDcqtAII cot i>=stn D tanc L -I -i— —

» »\ ’ . ' - \ ° cos L

Pour avoir la déclinaison D du plan, 911 plantera * une verge de 1er Lien perpendiculairement au plan ,‘on marquera sut ce plan l’extrcuaité de son ombre ,‘au moment où le soleil 'est arrivé au méridien : on fera passer une verticale par ce point, qui rencontrera quelque part l’horizontale menée par le ptèd de la veij^e. Mesurant ensuite exactement cette portion l de la ligne horizontale, et la longueur l de la verge métallique,

on dira

, t /;r :: 1 ’.tangD^-

PoUr trouver sur la méridienne le poiht où fe style doit être planté, en appelant d la distance ile'cé point à l’intersection de la méridienne par l’horizontale , et <F la distance de la même intersection a ■l’eatwémité antérieure de la verge t on aura \y

d' ld îi t î tang L, d’où d==<f tang-L.

GNOMONIQUE ANALYTIQUE. QJ

Le point central trouvé, on y fixera le style, en l’appuyant, comme on a dit, sur le bout.de la tringle perpendiculaire au plan ; et ce même point sera aussi l'origine de toutes les lignes horaires.

§ Sur un plan incliné du nord au sud, ou réciproquement.

8°. Considérons maintenant des plans passant par l’axe do méridien, et inclinés à l’horizon d’une certaine quantité, comptée eu allant du sud au nord et passant par le zénith; l’équation de ces plans sera

% x sin I — z cos I = o.

Cette équation combinée avec les cercles horaires , ne nous donnerait que les projections des intersections. On aura ces intersections elles-mêmes par une transformation semblable à la précédente. Le plan donné étant pris pour celui des xj ' , et les x de même que les z étant toujours situés sur le plan du méridien , on a ici pour les formules de transformation ,

;r=.r'cosI — z'sinl, et z=a:'sinI-f-z'cosI.

L’équation des cercles horaires devient par le moyen de cçs valeurs

aé (cos 1 sin L sin I cps L) -\-ÿ cot AH -f- z' (cos I cos L — sin I sin L) = 0 .

L’équation du plan incliné étant z' = o, celle de son intersection avec le cercle horaire devient

7' = — x sin (L-f- 1) tangAH.

g8 GHOMONIQUK ÀNÀ1.VTIQUE.

C’est la formule pour les plans inclinés que nous considérons ici.

Lorsque I est le complément de L , sin ( L -f I ) = « ,

et notre équation est alors

y — — x' tang AH ,

formule pour le cadran équatorial, le plan incliné coïncidant alors avec le plan de l’équateur.

Lorsque I change de signe, et devient égal à L, il vient y — o; le plan esc alors dirigé vers le pôle et passe par l’axe du inonde. Dans cette position , il n y a pas sur ce plan d’autre ligne horaire que cet axe ; mais si l’on conçoit un plan parallèle à celui-là, et dont l’équation soit *' = ± l’équation de l’intersection sera

^ == ± ^ tang AH j

c’est la formule pour les cadrans polaires.

ç Sur un plan incliné de Test à V ouest, ou réciproquement.

o®. Voyons de même ce qui a lieu pour les plans passant par l’axe du premier vertical , et appelons A l’angle qu’ils font avec le plan du méridien, positif dans la partie occidentale, négatif dans la partie orientale. Pour un angle qui va du positif au négatif en passant par zéro, le cosinus demeure positif, et le sinus passe du positif au négatif. L’équation générale de ces plans est

y cos A — z sin A = o.

11 faut encore ici tranformer l’équation des cercles horaires. En prenant le plan donné pour celui des xz, et, comptant les / et les z' sut le plan du premier verti-

• GNOMONIQUE ANALYTIQUE. Cjg

cal > les formules de transformation seront

y — y cos A + z sin A et z = z’cosA — j^sinA. <.

L’c'quation des cercles horaires devient au moyen de ces valeurs

x' sin L -4 -y' (cos A cot AH — sin A cos L)

+ z ( sin A cot AH + cos A cos L ) = o .

et l’équation du plan étant alors y' sa o, celle de l’intersection des cercles horaires avec ce plan sera

cos A cos L •+- sin A cot AH’

C’est la formule pour les plans abaissés que l’on a considérés ici. Cette équation est celle d’une ligne droite menée par l’origine ou le centre , et faisant avec l’axe des x' , ou la méridienne horizontale , un angle v dont la tangente est

sin L -

cos A cos L -f- sin A cot AH •

par conséquent

, sin A cot AH

cot v= cos A cot L -1 > — : — f .

. sin L

Pour trouver l’inclinaison I- d’un plan sUr l’horizon , il faut encore fixer une verge droite perpendiculairement au plan, et de son extrémité laisser tomber un fil à plomb jusqu’à la rencontre du plan. De ce point de rencontre on mènera au pied de la verge une droite a , que l’on mesurera avec soin ; on mesurera de même la longueur l de la verge , et l’on fera

* : a :: i : ta»g i = j. .

jOO GNOiMOKIQUE ANALYTIQUE.*

On aura île -même l'angle A , que font avec le plan du méridien les plans passant par l’axe du premier vertical ; mais, dans ce cas, le dernier terme de la proportion est la cotangente de l’angle d’abaissement

cot A = j.

§ Sur un plan déclinant et incliné d’une manière quelconque.

io°. Soit enfin un plan quelconque passant toujours par l’origine des coordonnées , et faisant avec le premier vertical un. angle D', et avec l’horizon un angle I. L’dquation de ce plan sera

x cosD' -f j-v/sin“JL>' — cos 1 1 -fzcos I = o.

En traitant cette équation avec celle des cercles lio- ‘ raires , nous n’aurions que les projections des intersections cherchées. Il faut donc encore ici faire une transformation. Je prends le plan donné pour celui des x'z, par exemple, les axes de ces variables pouvaut être situés comme on voudra sur ce plan. Pour plus de simplicité, je choisis pour axe des a/, la trace de ce plan sur le plan des xr, et j’appelle <p l’angle que cette trace fait avec l’axe des x. I étant toujours l’inclinaison du plan donné sur le plan de l’horizon , on a pour la transformation des coordonnées les formules connues

z= z' sin I -f- y cos I . ..

j- — x' sin p -\~y si* 1 1 cos p — z cos I cos p

et i

x=x r cos q> — y sin T sin p -f- a cos I sin p.

Eu substituant ces valeurs dans l’équation des cercles

GNOMONiQtJE AHALYT1QUE.

ior

horaires, ils seront rapportés aux nouveaux axes; et eu faisant ^'= 0 , qui est l’équation de notre plan, on aura leurs intersections avec le plan donné. Ces intersections ont donc pour équation

, , cosasin L-f-sinpcotAIf

sin 1 cos L -J- sin $ cos I sin L — cos 1 cos $ cot Ail*

C’est la formule pour un plan quelconque; mais ici l’axe des x' n’est pas la méridienne du plan , ni même en ge'néral l’une des lignes horaires qu’on est dans l’usage de tracer sur les cadrans solaires. Mais l’on obtiendra facilement la direction de cette méridienne , en faisant dans l’équation précédente l’angle horaire égal à zéro; en effet, l'équation se réduit alors à

, sin <p

cos 1 cos <p ’

équation qui appartient à la méridienne demandée*

La formule générale qu’on vient de trouver peut se vérifier facilement : «n donnant aux angles I et tp des valeurs convenables , on y retrouve toutes les formules obtenues précédemment.

On peut, dans cette formule, à l’angle substituer celui qu'on a désigné par D'. On trouve facilement le rapport de ces angles, en cherchant la trace du plan donné sur le plan de l’horizon, et l’on conclut de là que ■

cos D' sin <p = r , sjn 1

et COSf):

t/sin'*D’ — cos* T

sm 1

En substituant ces valeurs dans la formule , elle devient

GJfOMONIQÜE ANAtYTIQDB.

x'(sin L l/ sm’D' — cos*I -f- cos D' cot AH) *

j sin* I cos L 4- cos D' 1

z \ — cos I cot AH l/sin* D' — cos* I j ° L’angle D' n’est pas la même chose que la déclinaison, . D ; car après avoir fait tourner un plan sur l’axe des a, ce qui lui donne une certaine déclinaison, si l’on vient à incliner ce plan , l’angle D' qu’il fait alors avec le premier vertical n’est plus le même que celui qu’il faisait auparavant; mais il est facile de voir que ce nouvel, angle dépend de la déclinaison D et de l’inclinaison I. On trouve que

cos.D' = cos D siu I.

En substituant dans la formule, on a x (sin L sin D + cos D col AH )

•+• a' (sinl cosL -f- cosl sinLcos D — cosl sinD cot AH ) = o. Telle est la formule pour les intersections des cercles" horaires avec un plan incliné et déclinant quelconque; mais l’axe des x' est toujours la trace de ce plan sur le, plan horizontal. Au reste, on peut encore rapporter les lignes horaires à la méridienne du pjan , eu se rappelant que cette méridienne a pour équation

sin <P

a z=zx '

cos 1 cos <p ’

et faisant usage des valeurs trouvées ci-dessus; pour sin <p et cos p, lesquelles se réduisent à cos D et sin D, lorsqu’on substitue D à D' : on a ainsi, en prenant la. méridienne pour l’axe des x",

x" ( cos I sin L -}- cos D sin I cos L)

f sin I sin D (cosl cos L — sin 1 sinL cosD) > — culAH(t — sin’Isin’ D)

GNOMONIQUE ANALYTIQUE. Iû5

Cette formule donne la direction des lignes horaires relativement à la méridienne du plan , et l’on peut la vérifier comme les précédentes.