II. SUR UNE SURFACE COURBE
§ Sur la surface de la sphère.
1 1°. Passons maintenant à la recherche des intersections des cercles horaires avec une surface courbe donnée , et commençons par la surface sphérique. Si le • rayon est donné, et que l’origine soit placée au centre de la sphère, l’équation de cette surface est dans ce ca s
Eu combinant cette équation avec celle des cercles horaires, on trouve des équations qui appartiennent aux projections de ces intersections , projections que l’on reconnaît facilement pour être en général des ellipses. Quant aux intersections elles-mêmes, il est facile de voir qu’elles sont des circonférences de grands cercles, distribués autour de la sphère, de la même manière que les cercles horaires le sont. dans le ciel. C’est là tout ce que l’on peut dire au sujet de la surface sphérique située, comme on a dit; nous n’examinerons aucune autre position de cette surface, et nous allons passer de suite à la considération de la surface cylindrique. v
§ Sur la surface du cylindre droit géométrique.
12°. Le rayon de la surface cylindrique élant r, et l’axe de celte surface passant par l’origine, son équà-
Io4 ÔNOMONIQUE ANALYTIQUE.
tion est, comme on sait , ■ *•
O- s* (a' + b') — 2 abxj — 2 azx — ?.bjz = r’(a 2 + *’+ 1 Tr-
ou
( bx aff -f- (x — «)* + O' — &z)’ = r* (fl* + ô' + 1).
Supposons d’abord que l’axe du cylindre coïncide avec l’axe des z ; dans'ce cas, a = o et b — o,, et l'équation précédente devient
En combinant cette équation avec celle des cercles horaires , on ne trouve que les projections des intersections, projections qui sont en général des ellipses. On peut déterminer ces mêmes intersections dans leur plan , et l’on trouve encore qu’elles sont généralement des courbes de la meme espèce ; mais il s’agit de tracer ces courbes sur la surface du cylindre, et il faut pour cela chercher différons poipts de leur cours.
Si l'on conçoit qu’on ait fait passerait travers du cylindre et par son axe , un style dirigé vers les pôles, il est facile de voir que toutes les lignes horaires devront passer par les deux points où le style pénètre dans la surface cylindrique. De plus, si l’on fait passer par l’axe du cylindre une suite de plans verticaux , ayant tous les degrés possibles de déclinaison , tous ces plans couperont la surface cylindrique suivant des droites verticales, parallèles à l’axe des z, et dont les équations seront
x — r sln D jr = rcos D.
La rencontré de ces droites avec les plans des cercles horaires se trouve en substituant ces valeurs dans les «quations de ceux-ci, et il vient ainsi.
GNOMONIQUE ANALYTIQUE. Iû5
/•sin D sin L -f- rcos D cot AH -)- z cos L r=o,
d’où l’on tire *
sin D sin L -f- cos D cot AH
cos L
On a donc ainsi les trois coordonnées des points de rencontre de l’intersection du plan vertical avec celle du cercle horaire; mais comme ces points se trouvent sur une surface donnée, et sur des 1 droites dont la position est connue, c’est la valeur seule de z qui doit ici nous intéresser. Cette valéur doit- se. compter depuis "Une section horizontale faite sur la surface cylindrique à la hauteur où le style rencontre l’axe, cette section • étant le véritable plan des xj~* Les. valeurs positives de z se comptent au-dessus, et les valeurs négatives au- . dessous. Ayant trouvé par ce moyen diffe'rens points de la trace du plan horaire su» la surface donnée, on fera passer par tous ces points- une courbe , qui sera la ligne horaire demandée, sur laquelle se projettera toujours l’ombre du style , lorsque le soleil sera dans le cercle correspondant. On voit qu’il faudra tracer autant de courbes qu’il y a des cercles horaires dont tyi voudra avoir la trace sur la surface donnée., et que ces courbes étant décrites , il suffira d 'orienter le cylindre , c’est-à-dire de le placer de manière que le style soit dans le plan du méridien.
*i3”. Disposons l’axe du cylindre de manière qu’il coïncide avec l’axe du inonde. Dans ce cas, b — o et a — cot L , et l’équation de la surface devient
■r’ -f- y* (a 1 -f- i ) -f- o’z’ — a azx ss r* (a 1 -f- 1 ) , ou- ( x — </z)’-(-j-' s (« a + i) (fl 2 -f- i ).
I06 GNOMOKIQUE ANALYTIQUE.
En cherchant l’intersection de cette surface par les plans des cercles horaires, on trouve pour résultat, toute réduction faite,
jr—dir&m AH.
Cette équation , qui appartient à la projection de cfs intersections sur le plan des jrz, nous apprend que ces intersections sont, comme on pouvait le prévoir, des. droites parallèles à l’axe du cylindre, et qu’il est facile de tracer sur sa surface.
i4°. L’axe du cylindre étant toujours dans le plan du méridien , concevons qu’il soit de plus couché dans le plan de l’équateur; l’équation de la surface sera la même que tout-à-l’heure, a étant ici égal à tang L : mais les intersections par les plans des cercles horaires seront en général des ellipses. Pour pouvoir les tracer sur la surface donnée, il faudra, comme dans la première position examinqf , concevoir une série de plans passant par l’axe du cylindre, et faisant avec le méridien tous les angles possibles , angles que je désigne par D'. Ces plans couperont la surface cylindrique suivant des droites, qui ont pour équations
• ' x cos L = sin L -f- r cos D'. . . (> Y = rsin D'.
En. traitant ces équations avec celle des cercles horaires , on aura pour les points où ceux-ci sont rencon-. très par ces droites,
z = r (sin D' cot AH — cos D' sin L), r * = r(sin D' cot AH sin L -f- cos D' cos L) , r sin D'.
Pour trouver ces points avec plus de facilité , ou fera encore passer un style au travers du cylindre , et
GNOMONJQUE ANALYTIQUE. 107
par son axe ; et l’on concevra un plan passant par le style, perpendiculairement à l’axe. Sa section avec la surface cylindrique sera une circonférence de cercle. L’axe du cylindre étant pris pour l’axe des z', la ligne des pôles sera l’axe des x', et l’axe des y’ sera le même que celui des^. En employant les formules connues pour cette transformation, les valeurs ci-dessus deviennent
z'=rsin D'cot AH, x'=rcosD', j / =r sin D\
On aurait obtenu les memes résultats, en faisant dans les formules précédentes L= o.
La valeur de z' est ici la seule qui nous intéresse, parce que les points cherchés sont sur une surface donnée, et sur des lignes connues. Les valeurs de z doivent se compter sur ces lignes, au-dessus et au-dessous, à partir de la section circulaire faite dans la surface cylindrique. Il y •a encore ici autant de courbes différentes que de cercles horaires. La méridienne seule est une ligne droite , et la ligne horaire de six heures est une circonférence decercle, qui se confond avec ,1a section perpendiculaire qui passe par le style.
§ Sur la surface du cône droit géométrique.
i5°. Je passe à une autre surface courbe, la surface du cône circulaire. Ici il est visible que le style ne peut guère être placé qu’au sommet du cône, qui est ea même temps le centre de la surface conique. Ce point doit donc être l’origine des coordonnées, et alors L’équation de la surface est
(z+ax+6yy = M*(a' + b' + t) (x’-f y i +z‘)i l M est le cosinus de l’angle a que la génératrice fait avec
I08 GKOMONIQUK ANALYTIQUE.
l’axe da cône ; a 'et b déterminent la position de cet axe. Plaçons-le d’abord de manière qu’il coïncide avec l’axo des z; dans ce cas l’équation devient
t 1 tang 1 « — y* — z' — o.
Si l’on traite cette équation avec celle des cercles horaires, pour avoir leurs intersections , on trouvera pour résultats des équations du second degré , mais qui n’appartiendront néanmoins qu’à des lignes droites, parce qu’en effet tous les plans coupans passant par le sommet du cône , leurs intersections avec la surface ne peuvent être que des lignes droites. Pour tracer ces lignes avec plus de facilité , ce qui se présente de plus simple , c’est de chercher un seul point de leur cours , celui, par exemple, où elles rencontrent la Circonférence de la base du cône. En appelant h la hauteur verticale du côue , le plan de sa base a pour équation , dans le cas présent,-
L’équation de la section de la surface conique par çe plan est donc
x 1 -h y* — h 1 tang 1 *;
la trace des plans horaires sur ce même plan est aussi x sin L +y cot AH — cos L = o.
En combinant ensemble ces deux équations , on trouve les coordonnées des points ou ces traces se rencontrent ,
* et où doivent aboutir les lignes horaires ; on a d’abori
r 1 (cot a A.H -f sin 1 L)— a hy cot AH cos L = A* ( tang 1 « si n* L cos 1 L ) ,
et ensuite
puis
GNOMONIQUK ANALYTIQUE. I0 Q
{ coiAHco»L± 8 inL y/ ianB» g fcoi» AH+>in 1 L) — cos»L 1 cot*AH+sin*L J
— sinLcosLrfcccuAH j/ iaiig»*(cot« AH+sin»L' — cos 1 L
cot»AH-|-»in*Li
j'etx sont les coordon ne'es des points de la base par où doivent passer les lignes horaires; et comme elles doivent d’ailleurs passer aussi par le sommet, on a donc tout ce qu’il faut pour les tracer. Mais on n’aura pa’s même besoin de calculer ces formules , si l’on a soiu de mener sur le plan donné la trace.du plan horaire. Le point où cette trace rencontrera la circouférence de la base du cône sera le point cherché.
1 6°. Plaçons l’axe du cône dans le plan de l’équateur, sans le faire sortir du plan du méridien ; changeons en même temps les axes des coordonnées. Soit l’axé du cône celui des z', l’axe du monde celui des x\ et l’intersection du cercle horaire de six heures avec l'équateur, l’axe des ; les choses seront alors dans les mêmes circonstances que tout-à-l’heure. L’équation de la surface sera encore *
z ,% tang’ «e— ÿ* — ar'“=ro;
celle de sa base parallèle au plan des x'j sera aussi
y* + x = A’ tang’ * ; m
l’équaÿon des cercles horaires rapportés aux nouveaux’ plans est
J —* tang AH ,
et leur trace sur le plan de la base a pour équation y tang = — h tang AH ;
leurs rencontres avec la circonférence de la base ont pour équations
/= — h ‘«"g AH x'=±h\/ tang’«— tang’ AH.
IIO GNOMONIQOK ANALYT1QCE.
Au moyen de ces valeurs , il sera facile de tracer les lignes horaires sur la surface conique donnée.
Si l’axe du cône étant toujours dans la même situation , l’on supposait que le cône reposât sur un plan horizontal , alors reprenant l’équation première de la surface conique , et observant que b = o et a = tang L, on aurait pour l’équation de cette snrface
x % (sin 1 L — cos 1 * ) — / cos* » -f- z* ( cos* L — cos* «)
• + 2 zx sin L cos L = o ;
sa trace sur un plan horizontal dont l’équation est... ^ z = — h', est
x' (sin* L — cos 1 «) — y * cos* a . — a h’x sin L cos L s= A'* (cos 1 » — cos* L) j
la trace des cercles horaires sur ce même plan étant toujours
x sin L -j-y cot AH — A' cos L — o ,
ces deux équations combinées donneront d’abord
x‘ { cot 1 AH ( sin* L — cos 1 ») — sin 1 L cos* a J — 2 h'x siii L cos L (cot* AH — cos* «)
= A ' 1 {cot* AH (cos’ <c — cos*L ) -f- cos 1 L cos* a } ,
• d’où l’on tirera ensuite par les règles ordinaire?,
,, f sittl-coal^Ol’AH — co«»g)dbcntAHcos» \/cot , AHsin > e< — cos‘a I
!r=Ji‘
coi a AH(sin*L— co 8 3 «) — sin'Lcos 1 *
j A cnsLcolAHcos^azirsInLcosx {/ coPAHsin** — cos*a
> 1 l cot*AH(sin*L — cos 3 *)— sin*Lcos*a
ce sont là les coordonnées des points où doivent arriver les lignes horaires ; mais comme on a dit , on peut sc
GKOMOSIQUE ANAtYTÏQÜfe.
lit
dispenser de les calculer, si l’on trace sur le plan horizontal qui sert de base au cône, les intersections des cercles horaires avec ce plan.
iy°. Enfin, la surface conique pourrait être située de manière que son axe coïncidât avec l’axe du monde. Alors en employant une transformation semblable à celle que l’on a faite pour le cas précédent, l’axe du cône étant l’axe des z' et le plan de l’équateur étant le plan des a: j - ', on trouverait pour les points de rencontré des lignes horaires avec la base du cône ,
.r' = ± h tang * cos AH, et j/= rt h tang et sin AH.
Si le cône étant toujours dans la même position, sa surface se prolongeait jusqu’à un certain plan horizontal ayant pour équation z = — cot h' -, alors en observant que b=o et que a — — cot L, l’équation de la surface conique devient
x* (cos* L — cos’-a) — j-’cos* et + s* (sin* L — cos’ «)
— 2zxsinLcosL = o.
Celle de sa trace sur le plan horizontal est alors • . - ' »
X’ (cos’ L — COS* a) — y* cos’ a -f- 2 h'x sin L cos L = A'*(cos*a — sin’ L) ;
cette équation combinée avec la trace des cercles horaires sur le même plan horizontal, donne d’abord
x* { cot* AH (cos* L — cos’«) — sin* L cos’«]
— 2Ô'xsinLcosL(cot’AH-|-cos’«)
z=.Ji* { cot’ AH (cos’ a • — sin’L) -f- cos’ L cos* a } ;
de celle-ci on tire par les procédés ordinaires
* mfifr 4
t f sinLensL'Vnl» A H-H-os’côrfccot AHtingcos» \/col a AH+i 1 = | cot a AH(CI)8 i Ü — cos'aj — sin’Lcus** J
C cot AH cos L sin » * ± tin L sin a. cos « y/ cot» AH + < / .
^ * / cot* AH (cos* L — cot**) — sin»Lcos»« S
Nous ferons sur ces valeurs les mêmes observations que sur les précédentes , cest-à-dire qu on peut aisément , sans les calculer, trouver sur la base horizontale du cône, les points où doivent arriver les lignes horaires.
§ Sur les surfaces de l’ellipsoïde , de r hyperboloïdc el du paraboloïde de révolution.
i8°. Cherchons encore les intersections des cercles horaires avec l’ellipsoïde de révolution, et supposons que l’axe de la surface coïncide avec l’axe des z , et que son centre soi t placé à l’origine des coordonnées. L'équa-
, », tion dé la surface est * .
