PROBLÈME NEUVIÈME

T'racer les lignes horaires sur une surface

spherique Convexe,

On peut construire un cadran solaire sur la surface d'un globe, de deux manières différentes. Nous supposerons que le globe est donné, et qu'il est posé au milieu d'un jardin d'une manière invariable.

SOLUTIOirS.

Première solution.

i. On cherchera d'abord Fînterseclion du globe par le plan du méridien céleste , ce qui peat se faire de différentes manières. On plantera , par exemple, un faux style verticalement sur le sommet du globe : l'ombre de ce faux style , à l'heure de midi , indiquera la trace du méridien sur le globe. Il sera donc facile de décrire cette trace et d'avoir ainsi la méridienne ^ qui sera évidemment une circonférence de çercle, ayant pour centre le centre même du globe.

3. Sur cette circonférence, à partir du point le plus élevé, on prendra , du côté dn nord, un arc égal au complément de la latitude , et le point ainsi trouvé sera le pôle du globe, et ré-

48 GNOMONIQUe GAAPHIQUK.

pondrajustementaupôledu monde. Une droite, menée de ce point au point diamétralement opposé, représentera l'axe de la sphère, autour duquel le soleil exécute sa révolution journalière.

3. Sur la même circonférence, à partir du morne point, on prendra , du côté du sud , un arc égal à la latitude , et le point qu W trouvera ainsi appartiendra à la circonférence de réquateur du globe. Par ce point , traçant sur le globe une circonférence qui soit perpendi*' culaire à la méridienne, elle sera l'intersection du globe avec le plan de l'équateur céleste , ou la ligne équinoxiale.

4. On partagera l'équinoxiale en arcs de quinze degrés chacun , à partir du point dlntersection avec la méridienne et par chaque point de division, on fera passer des circonférences, qui iront toutes se réunir aux deux pôles ; ce seront les traces des cercles horaires sur le globe, et par conséquent les lignes horaires demandées.

5. Pour avoir l'heure par leur moyen , on embrassera le globe par un demi-cercle de métal fixé aux deux pôles, mais de manière qu'il puisse se mouvoir sur ces deux points et tourner autour du globe, pour être arrêté dans la position qu'on voudra. Ce demi-cercle aura , par exemple, un pouce de hauteur sur une ligne

gnomomiquë graphique. 4q

environ d'épaisseur^ afin qu'on puisse reconnaître plus aisément s'il est placé comme il faut. En effet > lorsqu'on voudra savoir quelle heure il est au soleil^ on fera mouvoir ce demi-eércle jusqu'à ce qu'il soit arrivé dans la position ou son ombre est la plus étroite possible.Dans cette situation ^ le plan du demi-cercle passe par le centre du soleil, et se confond par conséquent avec le plan du cercle horaire où cet astre se trouve en ce moment. Son ombre fera donc connaître l'heure qu'il est^ par le point où elle rencontre Féquateur du globe.

6. Pour achever la construction du cadran sur notre surface sphérique, il faudra^ sur la circonférence de l'équateur, écrire le nombre XII à son intersection avec le méridien , les nombres XI^ X, etc., du <^té du levant , aux points où il est coupé parles cercles horaires du matin ^ et les nombres I, 11^ etc., du côté du couchant, à ceux où il est renconttnépar les cer-^ ctes horaires du soir* On aura les demies et les quarts en divisant en quatre parties égales les intervalles compris entre deux cercles horaires consécutifs.

Seconde solution.

On cherchera d'abord ^ comme dans la solution précédente^ la méridienne ^ l'équinoxiale ,

5o GNOMONIQUB GRAPHIQUE.

et sur celle-ci les points d'intersection avec les différens cercles horaires. Mais ici il n'j aura point de demi -cercle mobile pour trouver l'heure; elle sera donnée immédiatement par les confins de l'ombre sur le globe.

Lorsqu'un globe est en présence du soleil, toujours une de ses moitiés est illuminée^ et l'autre moitié est dans l'ombre. Ces deux moitiés con* finent l'une à l'autre , et se touchent , suivant un grand cercle que l'on appelle cercle {riHu" mination» Ce cercle , dont l'axe passe constamment par le centre du soleil , coupe tous les grands cercles en deux parties égales ; d'où il suit qu'il y a toujours une moitié de l'équateur qui est édairée par le soleil , quelle que soit la position de cet astre dans le ciel.

Le cercle d'illumination ne coïncide avec les cercles horaires qu'autant que le soleil est dans les équinoxes ; car l'axe de ce cercle étant alors renfermé dans le plan de l'équateur, sa circonférence passie nécessairementpar les pôles y et se confond ainsi successivement avec tous les cercles horaires. Mais dans tout autre temps de l'année , l'un des pôles du globe recevant les rayons du soleil ', tandis que l'autre en est privé, le cercle d'illumination ne peut plus coïncider avec aucun des cercles horaires, et il s'en écarte d'autant plus, que la déclinaison du soleil est plus grande.

GNOMOMQUE GRAPHIQUE. 5l

Maintenant considérons lë soleil au moment où il est dans le méridien. Le cercle d'illumination aura bien alors sur le globe une position différente^ selon que le soleil sera plus haut ou plus bas^ mais il coupera touj ours Féquateur aux mêmes points d'orient et d'occident; car le méridien où est le soleil est tout-à-la-fois perpendiculaire au cercle d'illumination et à l'équa-* teur. Il est donc aussi perpendiculaire à leur iatersciçtîon commune, cpii est la droite menée par les deux points où le cercle de six heures coupe l'Equateur du globe. C'est donc à ces deux points-là qu'il faut placer le numéro XII ; et il sersten effet midi lorsque le cercle d'illumina-*' tipn atteindra ces points, ou sera renfermé entre eux.

. Un raisonnement semblable nous fera voir que lorsque le soleil est dans le cercle horaire d^ime heure, par exemple, les confins de la lumière et de l'ombre doivent arriver sur l'équa-^ teur, aux points où il est coupé par le cercle horaire qui est perpendiculaire à celui-là; c'estàrrdir^ parlé cercle horaire de sept heures. C'est donc à ces deux points qu'il faut placer le numéro I , et on sera assuré qu'il est une heure , lorsque l'ombre ou la lumière atteindra l'un de ces, points. On placera de même les numéros des, heures suivantes sur la circonférence de l'équateur, et Iç cadran sera construite Dans

5â GKOBfONIQtJE GRAPHIQtlE.

cette espèce de cadran solaire^ l'heare est cohtinuellement indiquée parles intersections avec Féquateur du cercle horaire j qui est perpendiculaire à celui où se tirooye réellement le sodeiL

PROBLÈME mXIÉME.

Tracer les lignes horaires sur une surface cy^ Undrique droite et verticale.

Nous ne considérons ici que le cylindre géo^ métrique j c'est-à-dire celui dont la base est Une circonférence de cercle. Toute surfece cylindrique n'est droite que dans un sens ^ dans It sens parallèle à l'axe : dans tout autre sens^ elle est courbe. Ainsi toute ligne tracée sur une pareille surface est une ligne courbe , à moins qu'elle ne soit menée parallèlement à l'axé du cylindre. Les droites tracées ainsi sur une sur* face cylindrique , s'appellent assez souvent les génératrices de cette sur£sice^ parce qu'on peut en effet concevoir cette surface comme engendrée par l'une quelconque de ces droites, tournant parallèlement à elle-même autour du cercle qui sert de base au cylindre.

1 . Supposons donc qu'on a un cylindre droite c'est-à-dire dont l'axe est perpendiculaire à la base ; que ce cylindre est posé verticalement au milieu d'un jardin , et qu'on veut y tracer un cadran solaire tnéridionaL

GSrOAIOIUQUfi GRAPmQOS. 53

SOLUTION

1 . On cherchera d'abord quelle est la génera- Hîce de la sur&ce donnée qui est dans le plan du méridien céleste , ce qui peut se faire de {dusieurs manières différentes.. Un point delà noîéddienne. étant trouvé y on tracera cette ligne sur la surface du cylindre^, au. moyen d'un ISI à-plomb.

!2, La méridienne étant tracée ^ on plantera en un de ses points un faux style ^ perpendicu- Wcement à la surface donnée , et on le fera servir d'appui au véritable style, qui fera avec celui-là un angle égal à la latitude du lieu , et ira s'enfoncer dons la surface en un autre point de la raérid^nne , j^acé au-de^u& du premier.

lia méridienne est la seule ligne hor^gire qui puisse être une ligne droite sur notre surface, par la raison que le méridien est le seul cercle ]K>raire qui soit vertical , et dont le plan , par conséquent ^ passant par l'axe du cylindre , en rencontre la surface suivant deux droites opposées et parallèles.. Tous les autres plans horaires coupent le cylindre plus ou moins obliquement, et leurs intersections avec sa surface sont des ellipses diversement allongées.

Û y a un point de la surface cylindrique qui appartient à toutes ces courbes , c'est celui où elle est pénétrée par le vrai style : car ce point

54 GNOMONfQÙE GRAPHIQUE»

appartenant à l'axe du inonde représenté par ce style y et cet axe étant une droite commune à tous les plans horaires^ le point en question est dans tous ces plans^ et par suite dans leurs intersections avec la surface donnée. Maiifl faut a présent trouver d'autres points de ces intersectionsy pour pouvoir tracer chacune d'elles avec une suffisante précision. Voici quelle est la méthode qu'on suivra pour cela.

3. On concevra un plan vertical^ passant par l'axe du cylindre » et perpendiculaire au rnéri* dien. Sur ce plan on tracera un cadran solaire f dont le style soit le prolongement de celui qui est fixé sur la surface cylindrique^

4« Au-dessous du plan vertical wl imaginera un plan horizontal , qui est celui de la base du cylindre; et sur celui-ci on tracera un autre ca-dran solaire^ disposé de manière que son styk soit le prolongement du style de l'autre> et que la méridienne et les autres lignes borai^ se rencontrent aux mêmes points de la ligne qui sépare les deux plans, ou plutôt qui est leur section commune. On aura donc ainsi les traces des plans horaires sur deux plans perpendicu-* laires l'un à l'autre.

5. Du point où la méridienne du cadran vertical rencontre le pian horizontal ^ et avec un rayon égal à celui du cylindre^ je décris sur ce dernier plan une demi-circonférence , qui

GNOMOMIQUE GRAPHIQUE. 55

me représente la base de la moitié antérieure de ce cylindre. Sur chacun des points de cette demi-circonférence s'élèvent les diverses génératrices de la surface cylindrique , que Ton peut tracer facilement sur le plan vertical.

6. Je divise la demi-circonférence décrite en un nombre quelconque de parties^ par des droites parallèles à la section commune des deux plans ^ et je considère toutes ces droites comme les traces horizontales d'autant de plans verticaux y parallèles à celui que Ton a mené par Taxe du cylindre. Ces plans couperont la surâice cylindrique , chacun suivant deux de ses génératrices , dont la position sera connue par les points où ils rencontrent la circonférence delà base> et qu'on pourra pat conséquent tracer sur le plan vertical mené par l'axe.

7* Les intersections de tous ces plans verticaux avec la surface cylindrique étant tracées , on cherchera de la manière suivante les points où elles sont rencontrées par les plans horaires. Je prends pour exemple le plan horaire de trois heures.

8. Par tous les points où les plans parallèles coupent la base du demi-cylindre, et seulement du côté de la méridienne où la ligne horaire est placée , on mènera des parallèles à cette ligne de trois heures, prise sur le cadran horizontal. Des points où ces parallèles rencontrent la sec-

56 GIVOMOKIQUB GRAPmQUE.

tioa Gommune, oa élèvera nées'par la même ligne horaire prise sar le ca« dran vertical. Enfîa , par ces points de rencontre, on mènera des parallèles à la section conmmne^ qui iront couper quelque part les gënératrioes correspondantes aux divers points de la base. Ces points d'intersection donneront les liautenis Oià le plan horaire de trois heures renr contre ces différentes génératrices.

g. Qn fera passer par tous les points ainsi trouves y et par celui qui répond perpendicu* lairement à l'origine du style , une courbe continue , 4]ui sera , non la ligne horaire de trois heuces tracée sur la surface cylindrique , mais la projection de cette ligne sur le plan vertical mené par Taxe. Pour avoir cette demjère ligne telle qu'elle est^ il faut développer le cylindre, ^n un plan , et voici comment.

lo. On prendra une ligne droite égale en Ion-*, gueur à la circonférence du cylindre: on élèvera sur cette droite les perpendiculaires , espacées entre elles comme l'étaient les génératrices de la surface cylindrique dans la construction précédente. Sur celle de ces perpendiculaipes qui représente la méridienne du cylindre , on prendra une hauteur égale à celle où est fixé le vrai 9tyle; et sur les perpendiculaires suivantes on marquera les points trouvés tout à l'heure ^ et dont les hauteurs au-dessus de la base sont

CirOMOlfIQUB GRAPHIQUE. 67

raaiatepantGonnaes. Parles points qai appar-* lienneot à une même heure , et par l'origine du style f on fera passer une courbe, qui sera la véritable ligne horaire développée sur un plan . On fera les mêmes contractions pour toutes les lignes horaires du cadran demandé; et lorsqu'elles seront toutes ain^ développées sur un même plan , il ne restera plus qu'à appliquer ce plan , que je suppose flexible , sur la surface du cjrlindre, en ayant soin de £aire concourir lorigine commune de toutes les courbes avec le point de la surface où le style doit être implanté. Les lignes horaires prendront alors la courbure et la position qu elles doivent avoir*. On pourra les graver ainsi sur ce cylindre, et le cadran demandé sera construit.

Far la nature de notre cadran , il est aisé de voir que les lignes horaires du matin sont semblables à celles du soir , et que la même construction doit donner les unes et les autres. Ainsi le travail est réduit de moitié par cette observation.

Au cadran méridional que nous venons de construire , on pourrait donner pou r supplémen t un cadran septentrional , construit sur la moitié çpposée du cylindre. La chose , après ce que ijious avons fait jusqu'ici , offre peu dedifficultés, et nous la laisserons à faire au lecteur.