GS
Quoi qu'il en soit, la longueur de l'ombre de ce style droit, réel ou fictif (c'est-à-dire la distance de P à l'ombre de 0), varie d'uu moment à l'aiitre du jour, uniquement (■) par suite de la variation d'inclinaisoa du plan horaire du Soleil sur le plan du mur; et elle est évidemment niinima quand ce cercle horaire est perpendiculaire au mur, c'est-à-dire devient OPC, que l'on appelle parfois, comme on sait (43), le méridien du cadran.
Fig. 3j. — Tracé de la sous-stjlairc : i° par l'ombre minima d'un si vie droit, 2' par deux oml)res égales du même style.
Cette ombre minima se trouve donc aussi dans le plan OPC, et par suite est diri(;eo ou suivant PC, ou en sens inverse, suivant sou prolongeraent, selon la déclinaison du Soleil.
Ainsi la lonfyueur minima de l'ombre du style droit
(') Nous supposons ([ue la déclinaison du Soleil ne varie pas dans l'intervalle des observations, ce qui est vrai dans la limite de la précision que l'on peut atteindre.
donne la tlirection de la sous-stylaire, et, pnr suite, permet de la tracer sur la Tahle.
Le point F ayant été pris quelconque, la sousstylaire répondra à un centre quelconque C. i fig- 3.3) et non au centre clioisi C f /'i,'. .!<) ) ; mais il suffira de mener par C une parallèle à la sous-stylaire qui correspond à C pour avoir celle du centre choisi C
11 esta noter aussi que ce moyen dispense de connaître la déclinaison azimutale du mur.
4'.1. Trace de la sous-stylaire par deux ombres éi>ales d'un style droit. — Au voisina[;e de sa valeur minima, la longueur de l'ombre du style droit varie lentement; aussi lo moyen précédent pour déterminer la sous-stylaire luanque de précision.
V\\ autre moyen plus exact est fourni par l'observation de deux ombres égales.
Considérons {Jig. 35) deux cercles horaires du Soleil placés symétriquement de part et d'autre du plan <'.OP : les ombres correspor)dantes PA. 1*H sont égales parce que l'inclinaison du cercle horaire du Soleil sur le plan du mur est la même et que l'astre s'est déplacé dans un plan perpendiculaire à l'arête du dièdre formé par ces deux plans horaires.
De là résulte un moyen de trouver l'ombre minima de direction CP, en procédant de la même manière que pour tracer la méridienne au moyen d'un gnomon (4) : autour de P comme centre, et avec un rayon convenable, traçons un arc de circonférence AB et marquons les points A, B, où l'ombre du point O tombe sur cette circmférence : le milieu de l'arc AB, joint au point P, est la sous-stylaire demandée du centre C.
Pour augmenter la précision et la commodité, au lieu d'un seul arc de circonférence AH. on peut en tracer plusieurs (Jig- 36) et prendre les milieux des divers arcs, exactement comme dans le cas du gno-
mon. La précision sera en raison de la longueur
Vn.,-^^-
Fig. 36. — Trace de la sous-sljlaire par îles ombres osales sur plusieurs uirconférences concentrigues au pied P.
du style droit, pourvu qu'on ait pris les dispositions nécessaires (4) pour avoir une omJjre nette du point 0.
50. Remarque. — On appelle ét/uiiioxiale d'un cadran considéré, l'intersection de la Table de ce cadran avec un plan parallèle à l'équateur. Cela posé, la figure 35 permet de démontrer cetie propriété importante de la sous-slylaire :
La sous-STYLAiRE est perpendiculaire à /'êquinoxiale.
En effet, le plan OPC (méridien du cadran) est :
1° perpendiculaire à l'équateur, car il contient le style CO, axe du monde;
0." perpendiculaire au plan du Cadran ou Table, parce qu'il est mené par OP normale à cette Table.
L'intersection de ces derniers plans (équateur et
Table) est donc perpendiculaire au plan OPC et par suite à PC; or cette iiilersection est, par^défiiiition, l'equinosiale du cadran.
51. Détermination de la soui-stylatrc par le calcul. — Nous avons (4(i) construit graphiquement l'angle MCI' {/îg- 'i) que la sous-slylaire CP fait avec la verticale CM du Centre C. Comme on peut prétorer le calcul à la construction graphique, établissons rcxpression de cet angle, que nous appellerons S,.
Les trois pians MCO (niéiidien du lieu), MCP (plan de la Table) et PCO [(méridien du cadran) {Jîg. 37) forment un trièdre^qui coupe une sphère
Fis. :^:.
de centre C et de rayon arbitraire CM = CP = CO suivant le triangle spliérique MPO, rectangle en P, de sorte <]ue MO en est lliypoténuse. Celle-ci est d'ailleurs connue, car elle égale 90° — o.
L'angle OMP est connu aussi, car cet anf[le n'est autre que k-, complément do la déclinaison azimufale du mur ou Table MCP |>ar rapport au premier vertical, lequel est à 90° du méridien MCO, supposé donné; nous avons désigné cet angle OMP par D,^ {l'oir p. ,(!;).
Dans ce triangle MPO on peut donc calculer Fangle cherclié MCP = S, ainsi que l'angle PCO ou rt/c PO, que nous désignerons par h, parce qu^ c'est la Iiauteur de l'axe-style sur le plan de la Table ('(3). On a, par les formules ordinaires :
tangS, = col'f cosD^, siu /( = cos'^ siii D^.
Connaissant ainsi Sj, et CM étant connu aussi en direction, on jioiirra donc tracer la sous-stylaire CP sur le plan du Cadran ( /i^. .)3).
52. La Table H (voir plm: loin p. 18^-18.")) pourra éviter ce calcul, car elle donne cet angle S, de degré en degré pour les latitudes comprises iiiitre 42" et Si" (et aussi pour la latitude de Paris, .'l^^°5r) et pour les déclinaisons azimutales de 2° en 2", entre 0° et 70°.
Au delà de 70° le centre est très éloigné, inaccessible, et il fuut avoir recours à d'autres moyens.
Par une interpolation, avec laquelle cliacun se familiarisera rapidement (voir des exemples p. i56...), cette Table donnera la valeur cherchée de S, pour une latitude et une déclinaison azimutale intermédiaires.
53. Uemarque. — Connaissant l'angle S, de la sous-stylaire avec la verticale CM, on connaît aussi celui (90" — S,) qu'elle l'ait avec une horizontale de la Table.
Soit XV (/<>. 33 ) ou xy {/liT. 3'i ) une telle ho-
rizontalo : eu un point (|iiolcon(|iie de \V on de j-)on peut donc ti-acer une parallèle à la hous-slylaire, an nioyen de cet angle [)<>"— S,.
5i. Dé te rmi an lion de ta haulviir li du /lôle sur If plan du cadran. — Celle lianlcnr est l'arc F'O = /( de la li^jure 07, cl elle est donnée par les formules préoédentes ( jl ).
La Table III {voir p. iS(j-i,s- ) donne celle liaiitenr C(;aleiuenl de 2" en 2" de déclinaison azinuiiale, entre o" et "0". elponr cliaiitie de;',ré de latilndi> entre 4'! " et 5i°. En outre elle donne dii-ei'tenient celle hauteur jiour la latitude 4^° J ' »)"' *-'*' celle de Paris.
Pour les déclinaisons a/.inintales et pour les latitudes inlerniédiaires, celle hauteur sera obtenue ])ar inter|K)lation. comme' pour la Tahie III (5'2j.
II. — Oiicniation de I '(ixe-stylc dam^ les cadrans verticaux déclinants à centre accessible.
55. Nous pouvons procéder maintenant à l'opération la plus délicate que l'on rencontre dans la consli'iiction des grands cadrans verticaux déclinants, et dont dépend essentiellement l'exaclilude, savoir : la bonne orientation à donner au style.
Première métiuide. — Par un j>oiiiC d'ombre h midi l'rtti eC In rcali.^atiaii du coniplcment de la latitude. — ÎSous avons eu ]>lusieurs l'ois (-'i5. . ) l'occasion de dire que dans le triangle CMC {Jig. 33, p. G^) rectangle en M, l'angle en C est égal à la hantcur du pôle ou à la latitude ç, et que par suite l'angle en (] est égal à 90° — :p.
Avec le lil à plomb tirons la verticale CM (/ig. 3S) du centre donné C, puis réalisons à part, eu carton on en bois, le triangle auxiliaire cnio représenté sur la
gauche de la figure, et de longueur arbitraire, mais dont l'angle en c soit égal à 90° — tp. Portons ce triangle auxiliaire contre le mur en appliquant le côté cm sur CM, le point c étant en C, de sorte que le triangle auxiliaire cmo prenne la position Cm'o'
Kig. 3x. — Orientation du sljle par un point d'ombre à midi vrai.
Ensuite, un peu avant midi, faisons tourner lentement ce triangle autour de Cm', de manière à le tenir vers le Soleil; enfin marquons la position qu'occupe ce triangle quand, à midi vrai, son ombre se réduit à Cm' : dans cette position, la direction du côté Co' est celle que doit avoir le style.
50. Seconde MiîTUoni, . — Au moyen de la sous-stylatre et de la hauteur h du style sur le plan du cadran. — Nous pouvons supposer la position de la sous-stylaire connue par l'un des procédés que nous avons indiqués précédemment ( i"), 40...), et aussi la hauteur h du style sur le plan du cadran (51).
Soient sur la l'able {Jig. 39) CM et CP la verticale et la soiis-slylaire .
Kéalisoiis en carton ou en bois un trianjjle auxiliaire indelini cpo (représenté à gauche de lu figure 39) et dont l'angle en c soit ('gai à h. On appuiera ce triangle auxiliaire sur le mur, le côté cp placé suivant la sous-stylaire et le point c étant en C. On placera ce triangle dans un plan perpendiculaire à la Table (ce que l'on peut l'aire avec
Fis
3;). — Orionlalion du sljle par la sous-slylairo cl la liaiiteiir li.
une simple équerre) et alors la direction Co' prise par le côté co sera la direction même de l'axe-style.
57. Troisième MÉTHonE. — Au moyeit d'un sljlc droit. — Traçons encore la sous-stylaire sur la Table et en un de ses points prenons le pied d'un style droit; puis déterminons la longueur de ce style. Cela l'ait, on le réalisera au moyen d'une é(iuerre double {voir p. i5. ij2), comme da:ij la
figure l\o, où es est la sous-slylairc, !* le |iicd du style (Ji-oit et PA. sa longueur.
l'iï. 40.
5(S. Quatrième méthode. — Par la dctvrmination directe de Vcqualeur. — Si l'on peut opérer au jour d'un équinoxe ( ce qui rend l'einiiloi de la niétliode assez exceptionnel), jour où le Soleil parcourt l'équalour, on prendra une plancliette et l'on clurrhera la position toile que, pendant toute la journée, le Soleil no l'édaire pas par les faces, mais seulement pir la tranche. Alors toute perpendiculaire à la jilancliette donne la direction de l'axe style.
Pour opérer commodément, on poiiriail lixer la [il.'iiiclielte avec des cliurnit-i'es siii\uiit loquiiii>xi;ile (50) : on n'aurait plus alors qu'à modifier son inclinaison autour des charnières.
On pourra mcnic appliquer la méthode en dehors des éqiiino\es on élevant un style perpendiculairement a la planchette et procédant comme avec le cadran equatorial (IS).
III. — Orientation de l'axe-style dans les cadrans verticaux déclinants à Centre inaccessible, ou situé hors du cadran.
5!). Lorsque le mur a imk; l'orte déclinaison azimutale, c'est-à-diie se rapprocJie de la direction du méridien, de la direction ^o^d-Sud, l'axe-style lui est très oblique; si d-nc on veut que ce stvle soit un peu éloigné du nuir, alin cpic le cadran ne soit pas trop petit, il va rencontrer ce mur très loin; autrement dit, le Centre se trouve très éloigné, même parfois en dehors du mur. Alors les méthodes qui viennent d'être indiquées pour orienter l'axe-style ne s'appliquent j)lus; en outre, pour le tracé des lignes horaires il faut employer aussi des méthodes dillérentes. Nous verrons plus loin (G"L..) comment, pour orienter le style, on peut procéder dans ce cas, qui rentre <lans celui plus général des cadrans dépourvus de Centre (').
D'autres fois, par exemple dans le cas où l'on veut employer tonte la place disponihie pour construire un cadran de grandes dimensions, etc., on
(') Cette expression est ambiguë et |)eut amener une confusion avec certains cadrans qui, en eflet, n'ont pas de centre unique, comme les cadrans azimutaux, dont il sera question plus loin(i). i3r)J.
peut se dispenser de conserver le Centre, qui alors n'est plus qu'un point auxiliaire, momentané, comme dans le cas du Cadran de la ligure ii : c'est là un autre cas de C^tdran dépourvu de Centre, assez pratique d'ailleurs { ' ) en ce qu"on y évite l'opération délicate du scellement du style ( voir p. mo).
60. 1° Cas ou le centre esi- hors du cadran, mais AcCESsiiiLE. — Installons sur trois pieds par exemple, comme dans la figure ii, ou sur une seule tige quelconque, comme dans la ligure 4') li plaque dont le trou 0 (œil ) est un des points de l'axe-style fictif, qu'il faut imaginei- rettiligne et allant de ce trou au Centre. Celui-ci n'est pas connu, et la question à résoudre est précisément de le déterminer.
Pour cela, nous supposons que l'on ait une montre ou une liorloge réglé(* ( par exemple par les passages du Soleil a une méridienne), c'est-à-dire dont on connaît ainsi l'avance ou le retard.
Au moment du midi vrai, marquons sur le mur l'ombre 0' du trou O, et pai' le point O' menons, avec le lil à plomb, la verticale indéfinie MO'C : nous savons que le Centre chcrclié C se trouve sur cette verticale, mais en un point inconnu. Four le déterminer, il suffit par exemple de trouver sa distance au point connu 0'.
A cet effet, notons que le triangle GOO' {/tg. 40 est détermine, de sorte qu'on peut le construire ou le calculer; car nous pouvons mesurer la longueur 00' et nous connaissons l'angle en C, égal à 90° — 9, ainsi
(') Comme on dispose arbitrairement de la place de la plaque [JCrcée, destinée à servir de style, on :iura soin de l'écarter du mur de façon qu'au solstice d'été l'image solaire tombe dans l'enceinte réservée au Cadran, mais prés de l'horizontale qui le termine vers le bas.
que l'angle en 0' : celui-ci est égal à Çq, la dislance zénithale niihulieiiiie du Soleil, distance zcnitliale qiieroiidéduitimmédi:ilemenldc la latitude ©du lieu
Fig. 41. — Delermination du Cénlic C, supposé éloigné en raison de la forte déclinaison aziniulalc de la Table.
et des données de la Connaissance des Temps ( ' ). Au besoin on pourrait d'ailleurs le mesurer.
(') SoitcOg la déclinaison du Soleil, en valeur absolue, prise dans la Connaissance des Temps pour le jour de l'opération, à midi vrai du lieu. On a
le signe — devant cOq répond aux déclinaisons
boréales (du u juin au .>i septembre) et le signe + aux déclinaisons australes.
On peut donc réaliser ce triangle COO', et mesurer ainsi CO', ce qui donnera le point C; d'ailleurs on ne le marquera que provisoirement, puisqu'il est supposé hors des limites de la Table.
Il sera mieux encore de calculer cette ligne ( ' ) CO' et de perler sa longueur à parlir du point connu 0'.
ni. Au lieu de mesurer 00', on peut abaisser de O une perpendiculaire 011 sur la verticale MO C, avec une simple équerre par exemple (notez que cette perpendiculaire à MO'C n'est pas un style droit), déterminer son pied 11, et mesurer On. Alors, dans le triangle rectangle CO II on connaît la loni^ueur OU et l'angle C = go" — a : on peut donc construire ou calculer Cil, et par suite déterminer le centre C cherché : ClI^Ontangç.
Quand on se sera servi de ce point C, pour tracer les lignes horaires par exemple, en fin quand le cadran sera construit, on pourra le l'aire disparaître.
■1° Cas ou le centre est inaccessible. — • Pour placer le style dans ce cas, nous allons indiquer diverses méthodes qui sont très analogues à celles données pour le cas ordinaire (55, ...).
02. Première méthode. — Par un point d'ombre à midi vrai et par In co/islriiclion d'un trapèze auxiliaire. — Cette méthode esl presque identique à celle du cas ordinaire ( 55 ) ; seulement, au lieu de réaliser le triangle auxiliaire c /n o {fig. 38 à gauche) tout entier, on ne réalise qu'une partie abo" m" (représentée à droite de la même ligure 38), ce qui ne présente aucune difficulté. Comme le centre C est
sin -s
